四川省北大附中成都为明人教版高中数学必修二导学提纲2-1-1平面

2.1.1学习目标1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系．知识点一平面思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？梳理(1)平面的概念①平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象．(2)平面的画法常常把水平的平面画成一个___________，并且其锐角画成______，且横边长等于邻边长的____倍.一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用______画出来.(3)平面的表示方法①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？思考2观察图中的三脚架，你能得出什么结论？思考3观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C梳理公理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在_________A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2过________________的三点，________一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.类型二点线共面例2如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.引申探究将例2中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．跟踪训练2已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．类型三点共线、线共点问题例3如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F，跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是()A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l∉αD．A⊂l，l⊄α2．下列说法正确的是()A．桌面是平面B．一个平面的面积是26mC．空间图形是由点、线、面构成的D．用平行四边形表示平面，2个平面重叠在一起，比一个平面要厚3．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．5．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．2.学习目标1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系．知识点一平面思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？梳理(1)平面的概念①平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象．(2)平面的画法常常把水平的平面画成一个___________，并且其锐角画成______，且横边长等于邻边长的____倍.一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用______画出来.(3)平面的表示方法①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？思考2观察图中的三脚架，你能得出什么结论？思考3观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C梳理公理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在_________A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2过________________的三点，________一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.类型二点线共面例2如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.引申探究将例2中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．跟踪训练2已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．类型三点共线、线共点问题例3如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F，跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是()A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l∉αD．A⊂l，l⊄α2．下列说法正确的是()A．桌面是平面B．一个平面的面积是26mC．空间图形是由点、线、面构成的D．用平行四边形表示平面，2个平面重叠在一起，比一个平面要厚3．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是________．5．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．答案精析问题导学知识点一思考没有．平行四边形．梳理(2)平行四边形45°2虚线知识点二思考点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．知识点三思考1前者不在，后者在．思考2不共线的三点可以确定一个平面．思考3不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理两点此平面内不在一条直线上有且只有公共直线题型探究例1解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.跟踪训练1解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.例2证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．跟踪训练2证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．例3证明如图，连接EF，D1C，A1B∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又∵A1B綊D1C∴EF綊eq\f(1,2)D1C，∴E，F，D1，C四点共面，∴D1F与CE相交，设交点为P又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、D