20192020学年高中数学第四章指数函数与对数函数451函数零点与方程解应用案巩固提升新人教A版

函数的零点与方程的解[A基础达标]1．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不停的，且有以下对应值表：x123f(x)3.42.6－3.7则函数f(x)必定存在零点的区间是()A．(－∞，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，＋∞)分析：选C.若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0则f(x)在(a，b)上必定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，因此f(x)在(2，3)上必定存在零点．x－1，x≤1，2．已知函数f(x)＝21＋log2，>1，则函数f(x)的零点为( )xxA.1，0B．－2，021C.2D．0分析：选D.当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，因此x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，因此x＝1，不建立，因此函数的零点为0.23．若函数f(x)的图象是一条连续不停的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有独一零点需知足的条件是( )A．f(3)<0B．函数f( )在定义域内是增函数xC．f(3)>0D．函数f(x)在定义域内是减函数分析：选D.由于f(1)>0，f(2)<0，因此函数f(x)在区间(1，2)上必定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内一定是减函数．4．函数f( )＝x3－1x的零点个数是( )x2A．0B．1C．2D．无数个31x分析：选B.作出y＝x与y＝2的图象，以下图，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．应选B.a5．若函数f(x)＝x＋x(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是( )A．－2B．0C．1D．3a分析：选A.f(x)＝x＋x(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不停的，逐一选项代入考证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1，2)上有零点，同理，其余选项不切合，选A.6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．分析：由于f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)(x－1)(x＋5)(x－2)，因此由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：37．已知函数f(x)＝a＋log2x，且f(a)＝1，则函数f(x)的零点为________．分析：依题意有a＋log2a＝1，即log2a＝1－a，易知a＝1，1因此f(x)＝1＋log2x，令f(x)＝0，得x＝2.1答案：28．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值会合是________．分析：当a＝0时，f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，解得x＝2，因此函数只有一个零点2，切合题意；当a≠0时，由函数只有一个零点可得＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝18.1综上a＝8或a＝0.1答案：0，89．判断以下函数能否存在零点，假如存在，恳求出．f(x)＝x4－x2；f(x)＝4x＋5；f(x)＝log3(x＋1)．解：(1)由于f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，因此x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.xx＝－5<0，方程x＋5＝0无实数解．(2)令4＋5＝0，则44因此函数f(x)＝4x＋5不存在零点．(3)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，因此函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.cx－110．已知函数f(x)＝x＋1(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．求c的值；证明函数f(x)在[0，2]上是单一增函数；(3)已知函数()＝(ex1(x)的零点．)－，求函数gxf3g解：(1)由于1为函数f(x)的零点，因此f(1)＝0，即c＝1.证明：设0≤x1<x2≤2，x2－1x1－1则f(x2)－f(x1)＝x2＋1－x1＋12（x2－x1）＝，（x2＋1）（x1＋1）由于0≤x1<x2≤2，因此x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，因此f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是单一增函数．1ex－11令g(x)＝f(e)－3＝ex＋1－3＝0，因此ex＝2，即x＝ln2，因此函数g(x)的零点是ln2.[B能力提高]11．方程log3x＋x＝3的零点所在的区间为( )A．(0，2)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)分析：选C.令f(x)＝log3＋－3，则f2<0，(3)＝log33＋3－3xx3f＝1>0，因此方程

log3x＋x＝3的零点所在的区间为

(2，3)．12．已知函数

f(x)是定义域为

R的奇函数，－

2是它的一个零点，且在

(0，＋∞)上是增函数，则该函数有

________个零点，这几个零点的和等于

________．分析：由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，因此f(0)＝0.又由于f(－2)＝0，因此f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：3013．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内能否有解，为何？解：方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解，原因以下：由于f(－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，(0)＝20－02＝1>0，而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续不停的曲线，因此f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．14．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，因此f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.因此f(x)的零点是1和3.由于f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，因此b>4.故b的取值范围为(4，＋∞)．[C拓展研究]xa－2＋a·215．已知函数f(x)＝1＋2x.当a＝1时，判断函数f(x)的奇偶性并证明；试议论f(x)的零点个数．1＋2x解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝1＋2x，该函数为奇函数．证明以下：依题意得函数f(x)的定义域为R，对于原点对称，－x－xx－1＋22＋1－1＋2又f(－x)＝1＋2－x＝2x＋1＝－1＋2x＝－f(x)，因此函数