2020高三数学文北师大版一轮重点强化训练2平面向量Word版含解析

要点加强训练(二)平面向量(对应学生用书第222页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则以下说法正确的选项是( )A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb[由于a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]2．若a，b，c均为单位向量，且值为( )

a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大【导学号：00090149】A．2－1B．1C．2D．2[由于|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，因此|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝2.睁开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，因此3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.因此|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.]3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件D[若|a|＝|b|建立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不必定相等，因此|a＋b|＝|a－b|不必定建立，进而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|建立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不必定相等，因此|a|＝|b|不必定建立，进而不是必需条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不用要条件．]4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，→→，α∈，π)，则→→若|OA＋OC＝(0与OC的夹角为( )|13OBππA．6B．325C．3πD．6π由题意，得→→A[＋OC＝(3＋cosα，sinα)，OA因此→→＝＋22|OA＋OCα＋sinα|3cos10＋6cosα＝13，1即cosα＝2，π13由于α∈(0，π)，因此α＝3，C2，2.→→设OB与OC的夹角为θ，→→3323OB·OC则cosθ＝→→＝3×1＝2.|OB||OC·|π由于θ∈[0，π]，因此θ＝6.]5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1订交于A，B两点，且AB＝3，→→( )则OA·的值是OB11A．－2B．23C．－4D．0A[取AB的中点C，连结OC，AB＝3，3则AC＝2，又由于OA＝1，1AC3因此sin2∠AOB＝sin∠AOC＝OA＝2，因此∠AOB＝120°，→→＝1×1×cos120°－＝1则OA·2.]OB二、填空题→→→＝(k,12)，OB＝(10，k)，OC＝(4,5)，若A，B，C6．设O是坐标原点，已知OA三点共线，则实数k的值为________．11或－2→→→[由题意得CA＝OA－OC＝(k－4,7)，→→→CB＝OB－OC＝(6，k－5)，因此(k－4)(k－5)＝6×7，k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k＝－2.]7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a，b知足|a|＝1，|a－2b|＝21，且a与b的夹角为120°，则|b|＝________.【导学号：00090150】[由|a－2b|＝21得a2－4a·b＋4b2＝21.25即1＋2|b|＋4|b|＝21，解得|b|＝2或|b|＝－2(舍)．]→→→→→→→→→8．已知点A，B，C知足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·＋CA·CAAB＝________.→2→2→243→→－25[由|AB|＋|BC|＝|CA|得∠B＝90°，cosC＝5，cosA＝5，AB·BC＝0，→→＝4×5×－4→→＝5×3×－3→→BC·CA＝－16，CA·＝－9，因此AB·＋5AB5BC→→→→＝－25.]BC·CA＋CA·AB三、解答题9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三→→→，∈．边围成的地区(含界限)上，且OP＝mAB＋nACR)(mn2→(1)若m＝n＝，求|OP；3|(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．2→→[解](1)∵m＝n＝3，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)，→22∴OP＝3(1,2)＋3(2,1)＝(2,2)，3分∴→222.5分|OP＝2＋2＝2|→＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，(2)∵OP∴x＝m＋2n，8分y＝2m＋n，两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t获得最大值1，故m－n的最大值为1.12分10．设向量

a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈

π0，2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．【导学号：00090151】[解]

(1)由|a|2＝(

3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，222|b|＝(cosx)＋(sinx)＝1，及|a|＝|b|，得

4sin2x＝1.

3分又x∈

π0，2，进而

1sinx＝2，因此

πx＝6.

5分(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x311π1＝2sin2x－2cos2x＋2＝sin2x－6＋2，8分πππ当x＝3∈0，2时，sin2x－6取最大值1.3因此f(x)的最大值为2.12分B组能力提高(建议用时：15分钟)．·兰州模拟已知向量，的夹角为°，且＝，＝，设→→＝a，OB1(2018)ab60|a|2|b|3OA→m＝()＝b，OC＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则【导学号：00090152】A．－4B．3C．－11D．10[a·b＝2×3×cos60＝°3，→→→→→AB＝OB－OA＝b－a，AC＝OC－OA＝(m－1)a－2B．→→∵AB⊥AC，∴AB·AC＝0，即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，解得m＝－11.应选C．]2．如图2，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱→→形内随意一点(含界限)，则AM·AN的最大值为________．图29[由平面向量的数目积的几何意义知，→→→→→AM·AN等于AM与AN在AM方向上的投影之积，因此→→→→＝1→→→→＝1→2→2＋3(AM·max＝AM·AB＋AD·＋AD2AB＋AD2AN)AC2(AB)→→AB·AD＝9.]3．已知函数f(x)＝a·b，此中a＝(2cosx，－3sin2x)，b＝(cosx,1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单一递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．[解](1)f(x)＝a·b＝2cos2x－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋π2分2cos2x＋3，π令2kπ≤2x＋3≤2kπ＋π(k∈Z)，ππ解得kπ－6≤x≤kπ＋3(k∈Z)，ππ∴f(x)的单一递减区间为kπ－6，kπ＋3(k∈Z).5分π(2)∵f(A)＝1＋2c