专题03函数概念和单调性（考点通关）（解析版）

专题03函数概念和单调性考点通关【题型解读】【必备知识】1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.4．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.5．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.6．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.7．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．（3）复合函数的单调性（同调增；异调减）对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．8．函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【题型精讲】【题型一函数的定义域】方法技巧函数的定义域（1）根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式.（2）已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.（3）抽象函数定义域关键是对函数概念的理解，进行等价转换.例1（2022·山东济宁·高一期中）函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．故选：C.例2（2022·河北石家庄期中）（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）对于函数，有，解得，因此，函数的定义域为；（2）因为函数的定义域为，即，则，所以，函数的定义域为，对于函数，有，解得，因此，函数的定义域为.例3（2022·山西·怀仁市第月考）函数f（x）=-mx2-2x+1的定义域为A．（0，1）B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【答案】B【解析】解：f（x）的定义域是R，则﹣mx2﹣2x+1≥0恒成立，即mx2+2x﹣1≤0恒成立，则m＜0△≤0，解得m所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．故选：B．【跟踪精练】1．（2022·湖北十堰高一期末）函数的定义域是________.【答案】【解析】得或故答案为：2．（2022·河北·高一期末）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．∴，∴，即的定义域为．（2）由题意知中的，∴.又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．（3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．又，即，∴函数的定义域为.3.（2022·福建·厦门高一期中）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】解：因为函数的定义域是.所以不等式恒成立．所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；当时，则有，即，解得.综上，实数a的取值范围为.故答案为:【题型二求函数的解析式】必备技巧求函数解析式的方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．例4（2022·安徽宣城·高一期中）根据下列条件，求的解析式(1)已知满足(2)已知是一次函数，且满足；(3)已知满足【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)解：令，则，故，所以；(2)解：设，因为，所以，即，所以，解得，所以；(3)解：因为①，所以②，②①得，所以.【跟踪精练】1．（2022·陕西·咸阳市高新高一期中）（1）已知求的解析式.（2）已知函数，求函数，的解析式（3）已知是二次函数，且，求的解析式（4）已知函数满足，则=_____________.【答案】（1），；（2）；；（3）；（4）.【解析】（1）令，当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立；所以；又，所以，，因此，；（2）令，因为，所以，即；所以；（3）设二次函数，因为，所以，即，即，因此，解得，所以；（4）因为函数满足①，所以②，②①可得：，整理得.2.（2022·河南·夏邑第一高级高一期末）设，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以又因为，所以，令，则，，所以.故选：B.【题型三求简单函数的值域】例5（2022·全国·高一课时练习）求值域(用区间表示)：(1)，①；②；(2)；(3).【答案】(1)①[7，28]；②[3，12](2)(3)(∞，1)∪(1，+∞)【解析】(1)，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．(2)令，则，因为，所以，即，所以函数的值域为；(3)，因为，所以所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞).【跟踪精练】1．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的定义域是，令，则，，所以，因为，所以，所以原函数的值域为．故选：D.2.（2022·陵川县高级实验中月考）求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；(3)y＝；(4)y＝x＋．【答案】(1)R；(2)[2,11)；(3){y|y≠3}；(4)[0,＋∞).【解析】(1)因为x∈R，所以2x＋1∈R，即函数的值域为R．(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示：所以所求函数的值域为[2，11)．(3)借助反比例函数的特征求．，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|y≠3}．(4)设(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，，由u≥0，可知≥，所以y≥0．所以函数y＝x＋的值域为[0,＋∞)．【题型四判断同一函数】例6（2022·河南开封·高一期末）（多选）下列各组函数是同一组函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与【答案】BCD【解析】A：，，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；B：，，定义域和对应法则都相同，同一函数；C：与，定义域和对应法则都相同，同一函数；D：，，，定义域和对应法则都相同，同一函数；故选：BCD.【跟踪精练】1．（2022·山西·怀仁市第月考）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】解：由题意得：对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.故选：C【题型五判断函数单调性】例7（2022·山东·济南期中）已知函数，且.（1）求实数的值；（2）判断在区间上的单调性并用定义证明.【答案】（1）1；（2）在区间上单调递减，证明见解析.【解析】（1）由，得，所以.（2）由（1）知，其定义域为，在区间上单调递减.证明如下：任取，且，.因为，，且，所以，，，则，所以，故在区间上单调递减.例8（2022·山东济宁·高一期中）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间：（1）；（2）；（3）；【答案】见解析【解析】（1），图象如图所示：函数在和为减函数；（2），图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数；（3），图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数；例9（2022·山西·怀仁市第月考）函数的单调增区间为（）A． B． C．和 D．【答案】C【解析】由可得且，因为开口向下，其对称轴为，所以的减区间为和所以的单调增区间为和故选：C【跟踪精练】1.（2022·广东中山市月考）已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.【答案】证明见解析.【解析】证明：∀x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，f(x)=则f(x1)-f(x2)==，因为x1>x2>-2，所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，所以>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.2.（2022·河北石家庄期中）函数的单调减区间为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，画出函数图象，如图所示：根据图象知：函数的单调减区间为.故选：B.3.（2022·河南开封·高一期末）函数的单调递减区间为________【答案】（或）【解析】对于函数，有，解得或.所以，函数的定义域为.内层函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，外层函数在上为增函数，因此，函数的单调递减区间为（或）.故答案为：（或）.【题型六函数单调性的应用】例10（2022·浙江省淳安县汾口高一开学考试）（多选）已知函数是上的增函数，则实数的取值可以是（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为，因为函数是上的增函数，所以，解得.所以实数的取值可以是，.故选：BD.例11（2022·陵川县高级实验中月考）已知,则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】的图象如下图所示：由图象可知：在上单调递增，因为，所以，所以即，所以解集为：.故选：C.【跟踪精练】1.（2022·陕西·咸阳市高新高一期中）若是定义在上的减函数，则a的取