立体几何中的平行问题概况

高中数学专题讲座空间中的平行问题1、空间中的平行关系 22、两直线平行 23、直线与平面平行 2判定定理 2性质定理 34、平面和平面平行 4判定定理 4性质定理 4练习 5高考真题 9（2013辽宁文） 9（2013课标2理） 9（2013课标2文） 10（2014课标2理） 11(2014课标2文) 12

1、空间中的平行关系线∥性线∥面面证明线//面的方法有两种：（1）线面平行的判定定理（2）两个平面平行的性质定理2、两直线平行在立体几何中，平行问题的基础是“两条直线的平行”，要在空间证明两条直线a∥b（线段）平行，基本方法：（1）相似三角形；最常见的是三角形中位线与底边平行（且等于底边的一半）；（2）平行四边形；这里涉及到如何证明在空间一个四边形是平行四边形，方法是：若一个四边形的一组对边平行且相等，则该四边形为平行四边形；（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行，即；3、直线与平面平行判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，简记为“线线平行线面平行”，即（三个条件在书写时缺一不可）线线平行的证明方法，基本方法有下列两种：典型例题：例题1如下图，设P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD的中点，求证：直线MN∥平面PBC.分析：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线即可，那么MN和PBC内的哪条直线平行呢，我们可以猜想，如果把MN平移进平面PBC，MN大致会落在什么位置，猜测M会落在点B处，N会落在PC的中点处，下面我们来证明这个思路是否可行；证明：取PC的中点R，连接RB，在△PDC中，NR∥DC,且NR=DC，依题意DC∥AB，于是NR∥MB，且NR=MB，∴四边形MNRB是平行四边形，∴MN∥RB.则技巧总结：在寻找平面内那条与面外的线平行的线时，可以将面外的线进行平移，猜测它进入平面内的大概位置，一般若已知条件中出现中点，往往取相关棱的中点，构造中位线或平行四边形性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即“线面平行线线平行”4、HYPERLINK平面和平面平行判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.即简记为“线面平行面面平行”，可见，证明面面平行，只需证明两次线面平行即可，因此关键还是线面平行的证明！！！性质定理（1）如果两个平面平行，则被第三个平面所截得的两条交线必平行；（2）如果两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面课本上没有把性质二作为定理，但是可以证明成立

HYPERLINK练习1、题组一：使用平行四边形来证明线//线，进而证明线//面题组二：使用三角形中位线实现线//线，进而证明线//面E为BC中点，求证：//平面2、判断（1），则；（2）；（3）;（4）直线与平面内一条直线平行，则∥.（5）若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（6）3、（北京文7理3）平面平面的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线 Ｂ．存在一条直线Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线4、已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是（）（A）平面ABC必不垂直于 （B）平面ABC必平行于（C）平面ABC必与相交D）存在的一条中位线平行于或在内5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；6、如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，求证：面；7、如图，在三棱柱ABC—A1B1C1求证：∥平面8、如图，在长方体中，，，、分别为、的中点；求证：平面．9、下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形的序号)．解析：①∵面AB∥面MNP，∴AB∥面MNP；②过N作AB的平行线交于底面正方形的中心O，NO⊄面MNP，∴AB与面MNP不平行；③易知AB∥MP，∴AB∥面MNP；④如图，过M作MC∥AB，∵MC⊄面MNP，∴AB与面MNP不平行．答案：①③10、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B分析一：若能证明MN平行于平面AA1B1B中的一条直线，则依线面平行判定定理，MN∥平面AA1B1B.于是有以下两种添辅助线的方法．证明：证法一：如右图，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F.连结EF，则EF⊂平面AA1B1B.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵eq\f(ME,BC)＝eq\f(B1M,B1C)，eq\f(NF,AD)＝eq\f(BN,BD)，∴eq\f(ME,BC)＝eq\f(BN,BD)＝eq\f(NF,AD)，∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，∴MEFN为平行四边形．∴MN∥EF.又MN⊄平面AA1B1B，EF⊂平面AA1B1B.∴MN∥平面AA1B1B.11.四棱锥的底面是平行四边形，，在PC上确定一点F，使平面，并证明你的结论高考真题1.(2009山东卷理)EABCFE1A1B1C1D1DEABCFE1A1B1C1D1D证明：直线EE//平面FCC；解:在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，EABCFE1A1BEABCFE1A1B1C1D1DF1OP所以CDeq\o(=,\s\up8(//))A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.（2013辽宁文）如图,是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点，(=1\*ROMANI)求证:平面；(=2\*ROMANII)设为的中点，为的重心，求证：平面（2013课标2理）如图,直棱柱中,分别是的中点,.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的正弦值.【答案】1（2013课标2文）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1(1) 证明:BC1//平面A1CD;(2) 设AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C一A1DE的体积.【答案】（2014课标2理）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.【答案】（