考研包高等数学上高数第七章

一、二元函数及其图形第七章多元函数的微分法§7.1多元函数的基本概念

例1：任意三角形的面积S与底x高y的关系：例2：理想气体的状态方程是(R为常数)其中p为压强,V为体积,T为温度.

定义1设有三个变量x、y、z，若对于变量x、y在各自变化范围内独立取定的每一组值，变量z按照一定的规律，总有一个确定的值与之对应，则z称为x、y的二元函数，记作称x,y为自变量,称z为因变量,自变量的变化范围称为函数的定义域。可类似定义三元以及三元以上的函数。注：二元以及二元以上的函数都称为多元函数。二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域。区域分为开区域和闭区域，区域可能是有界的，也可能是无界的。例3

求函数的定义域。例4

求函数的定义域。例5

求函数的定义域。二元函数的图形：当点在二元函数的定义域内变动时，对应点的全体形成一个空间曲面。（参考第六章）二、二元函数的极限与连续定义2：设函数在点P0(x0,y0)的附近P0(x0,y0)时（即时），函数总是有定义，如果当动点P

(x,y)以任何方式趋向于点无限接近于一个固定的数A。那么就说函数f(x,y)当点P

(x,y)趋向于P0(x0,y0)时极限存在，A叫做函数当P

(x,y)趋向于P0(x0,y0)时的极限。记作1、二元函数的自变量有两个，自变量的变化过程要比一元函数复杂得多。2、关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.注定义3：若二元函数在点P0(x0,y0)及其附近有定义，且则称函数在点P0(x0,y0)连续。若函数在平面区域D内每一点都连续，就说函数在区域D内是连续的。称为二元初等函数。积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样,二元连续函数的和、差、自变量x、y的基本初等函数经有限次四则运算与复合步骤而构成的一个数学式子一切二元（多元）初等函数在它们的定义域内是连续的.

注内容小结多元函数的极限多元函数的连续性(与一元函数的极限加以比较:注意相同点与差异)多元函数的概念

一、偏导数1.定义而x在x0有增量时，相应地函数有增量，当y固定在y0，有定义，设函数及附近在点P0(x0,y0)§7.2

偏导数与全微分的偏增量，记作增量叫做函数在点P0(x0,y0)对x这个存在,如果极限则称此极限为函数对x的偏导数,记为在点P0(x0,y0)或.类似可得函数在点P0(x0,y0)对y的偏增量存在,如果极限则称此极限为函数在点P0(x0,y0)对y的偏导数,记为或.偏导函数的定义如果函数在区域D内任一点(x,y)处对x、y的偏导数都存在，则称与为函数的两个偏导（函）数。与1.习惯上把偏导函数叫做偏导数。对x的偏导数记作或，对y的偏导数记作或.2.、分别叫做偏导数在点P0(x0,y0)的函数值.3.一元函数的求导公式和法则对求二元函数的偏导数仍然适用。

注2.偏导数的计算(1)求对x的偏导数时，将y视为常数对x求导；对y求偏导数时将x视为常数对y求导.(2)求

在点P0(x0,y0)的导数的方法法一：先求出偏导函数再代入该点的坐标值;法二：如求,可先代入y=y0,得到到，再对x求导得,然后代入x=x0.例1求在点（1,2）的偏导数.提示：有两种方法.例2

求的偏导数.例3

求的偏导数.二、高阶偏导数定义：设函数在区域D内有偏导数与,这两个函数的偏导的二阶偏导数.数如果也存在，则称它们是函数根据对变量x，y的求导次序不同，二元函数的二阶偏导数有四个：

其中称为函数的二阶混合偏导数。注：类似可定义三阶、四阶以至n阶偏导数.二阶以及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.

定理1：若函数在点（x,y）是连续的，则两者相等。的两个混合偏导数证明略.，例1：设求例2:设，求三、全微分函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时全增量的概念内有定义,函数取得的增量的全增量.的某邻域在点设二元函数当变量x、y在点(x,y)处分别给以增量时，称为在点(x,y)引例：已知矩形的边长x与y分别由x0，y0变为

x0+,，y0+研究矩形面积S的全增量的表达式。全微分的概念

如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)具有连续偏导数、，则函数z=f(x,y)在点P(x,y)的线性主部叫做函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全微分。

的全增量记作或

，即或

也可写为

其中叫函数z=f(x,y)在点P(x，y)对x的偏微分，

叫函数z=f(x,y)在点P(x,y)对y的偏微分。

全微分的应用、由全微分的定义，当二元函数z=f(x,y)在点P0(x0，y0）可微，且,很小时，有下列近似公式：1.；2．例3求函数的全微分。例4计算函数在（1，2）的全微分。例5计算的近似值。内容小结偏导数的求法（两种方法）全微分的概念偏导数的定义§7.3二元函数的极值一、二元函数极值的概念若对点附近的一切点都有，则称是的极大值；定义：设函数在点及其附近有定义。极大值和极小值统称为极值。

，则称是的极小值。若1.二元函数的极值是一个局部范围的性质。2．函数在一点可能即不取得极大值也不取极小值。

注注二、二元函数极值存在的条件则函数在该点的两个一阶偏导数必为零。即。定理1：（极值存在的必要条件）设函数在点取得极值，且在该点的两个一阶偏导数存在，驻点定义：使成立的点称为函数的驻点。

注极值点驻点（1）二元函数,(0,0)是其驻点，但非其极值点。马鞍面（2）极值点可能是驻点，也可能是偏导数不存在的点。

如何判定一个驻点是否为极值点?定理2(充分条件)及其附近有连续二阶偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,再判定是否是极值.例1：求函数的极值。例2：将正数12分成三个正数之和，使得为最大.内容小结二元函数极值存在的条件二元函数极值的定义二元函数求极值的步骤§7.4最小二乘法一、问题的提出在农业科学技术及其他工程技术中，经常需要依据实验观测所得到的数据来建立研究对象之间的函数关系。一般情况下，根据实验观测数据常常无法得到函数关系的精确表达式，而只能建立起函数关系的近似表达式。通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式。已知一组实验数据，来求它们的近似函数关系解决两方面问题：一是要根据实验数据点的分布规律或者问题的实际背景确定近似函数的类型；二是确定近似函数的标准，不能要求允许有偏差，只要使偏差尽量小。

最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法.找出的函数关系称为经验公式.,它们大体二、线性函数的经验公式例1：为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567其中i表示顺序编号，表示时间，单位为小时；表示刀具厚度，单位为毫米。试根据上面的实验数据找一个能使上述数据大体适合的函数关系式.解:

通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,故可设经验公式为选取常数a，b，使每个偏差的绝对值都很小

,

最小来保证化简即

-------正规方程组根据二元函数取得极值的必要条件，必须取

列表计算及.0123456701491625364927.026.826.526.326.125.725.324.8026.853.078.4104.4128.5151.8173.628140208.5717.0代入正规方程组得

解得故所求经验公式为上述经验公式算出的函数值与实测的有一定偏差，为衡量经验公式的优劣，计算各点的偏差，列表比较如下：

01234567实测的27.026.826.526.326.125.725.324.8算得的27.12526.82126.51826.21425.91125.60725.30325.000偏差-0.125-0.021-0.0180.0860.1890.093-0.003-0.200它在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数的近似程度的好坏。偏差的平方和，它的均方差，三、非线性函数的经验公式有些实际问题，经验公式的类型不是线性函数，但有的我们可以通过把它化成线性函数的类型来讨论。下面结合例子，考虑函数关系是二次函数、幂函数及指数函数的经验公式的求法。二次函数的经验公式例2：由实验测得两个变量x，y的一组实验数据试建立x与y之间的经验公式。

如下表，-3-2-10123-0.71-0.010.510.820.880.810.49解：用描点法在xOy坐标平面上作出散点图。可以看出这些点近似地分布在一条抛物线上，因此可以近似地用一个二次函数作为其经验公式，其中a，b，c为待定系数。同样采取最小二乘法来确定a，b，c。设各偏差的平方和为

为了选取a，b，c使Q的值最小，必须取

即

将实验数据代入化简整理得

故所求经验公式为

。解此方程得，2.幂函数和指数函数的经验公式采用将幂函数和指数函数线性化的方法，将幂函数和指数函数转化为线性函数，从而建立其经验公式。

例3：设观察土壤水分渗透速度时，得到观察时间t与水的重量w的数据如下表：1248163264…4.224.023.853.593.443.022.59…试建立t与w之间的经验公式。

解：用描点法，在tOw坐标平面上作出散点图。从图中看出t与w之间不是线性关系，而是近似地分布在一条幂函数的曲线上，故可设经验公式为,其中c和a是待定常数。

对上式两边同时取以10为低的对数，得再令，则上式变为，将实验数据代入得下表：00.30.60.91.21.51.8…0.6250.6040.5850.5550.5370.4800.413…将各个点散点图，可以看出，这些点近似地分布在一条直线附近。可采用最小二乘法对上表计算并代入

在xOy直角坐标系下作出正规方程组解之得，又得，将a，c的值代回公式则得所求经验公式注：上述通过取对数运算将原来的非线性函数转化为线性函数为函数的线性化。

的过程称对指数函数的经验公式，也可同样采用先将函数线性化，再进行最小二乘法的计算步骤。

例4：在研究某单分子化学反应速度时，得到下列数据：

i12345678369121518212457.641.931.022.716.612.28.96.5其中表示从实验开始算起的时间，y表示时刻反应物的量。试根据上述数据定出经验公式。解：用描点法在Oy平面直角坐标系下作出散点与y之间不存在线性函图，从图中可以看出数关系，而可以看作近似于指数函数关系。，其中k和m是待定常数。先将线性化，两边取常用对数得，再令，

得到一个线性函数,a和b是待定常数

故可设经验公式为

正规方程组

应用最小二乘法，将上表中的代入经整理计算得解得，所以所求经验公式为。内容小结线性函数的经验公式最小二乘法的原理非线性函数的经验公式§7.5复合函数微分法

一、二元复合函数求导。定义1：设函数是变量u、v的函数，而u、v又都是x、y的函数：中间变量u、v成为自变量x、y的复合函数，则z通过下面给出多元复合函数微分法的定理：

而函数在其对应点（u,v）处存在连续偏导数，则复合函数定理1:如果函数在点（x，y）处存在偏导数在点（x，y）处有关于，且有下列公式：x和y的偏导数，……公式（1）……公式（2）

注，是中间变量

1.对于中间变量和自变量多于两个的情形，可以得到类似的结果。其中u,v,w

如函数在满足定理的条件下有求偏导公式：