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文档简介

最大值与最小值问题.已知八%)=2%3—6%2+机(根为常数)在[—2,2]上有最大值3,那么此函数在[—2,2]上的最小值为()A.-37 B.-29 C.-5 D.-11.函数於)=%(1—欧)在上的最大值为().将一段长为100的铁丝截成两段,一段折成正方形,一段弯成圆,当正方形与圆的面积之和最小时,圆的周长为()TOC\o"1-5"\h\zA.50 D.25.把函数八%)=%3—3%的图像j向右平移比个单位长度,再向下平移。个单位长度后得到图像•若对任意比>。,曲线J与。2至多有一个交点,则。的最小值为()A.2 B.4 C.6 D.8.定义在(0,+8)上的函数八%)=(以2+法)(4%-2+笈-1)(如>0),则“¥)( )A.有最大值(。+32,没有最小值B.有最小值(。+32,没有最大值C.有最大值3+32,有最小值(4—>)2D.没有最值.某公司生产某种产品,每年固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益H与年产量%的关系是尺=}00%—1%2,0W%<400,80000,%>400,则总利润最大时,每年生产产品的产量是()A.100 B.150 C.200 D.300.函数f%尸a%4—4a%3+b(a>0),%£[1,4],f%)的最大值为3,最小值为-6,则a+b.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为..用总长m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面一边比另一边长m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积..已知函数f%)=a%3—12%,f%)的导函数为f(%).(1)求函数f%)的单调区间;(2)若f(1)=—6,求函数f%)在[—1,3]上的最大值和最小值..设函数f%)=%4+a%3+2%2+b(%£R),其中a,b£R.(1)当a=—130时,讨论函数f%)的单调性;(2)若对于任意的a£[—2,2],不等式f%)<1在[—1,1]上恒成立,求b的取值范围.

参考答案.解析:f(x)=6x2-12x,x£[—2,2],令f'(x)=0,得x=0或x=2.可得f(x)在[一2,0]上递增,在[0,2]上递减,故f(x)max=f(0)=m=3,所以f(一2)=-37,f(2)=-5.故f(x)的最小值为一37.答案:A.解析:f(x)=x—x3,f'(x)=1-3x2,令f'(x)=0,得x=±^33.X^)=乎,[-坐)=一等,10)=0,川尸0,所以f(x)在[0,1]上的最大值为d*5=293.答案:A.解析:设圆的周长为x,则正方形的周长为100-x,且0Vx<100,所以圆的半径厂x x 1 x 4+n 25=加,正方形的边长为25-4.所以面积和s(x尸1x2+(25-4)=后-x2-3x+625(0Vxv100).令100).令S'(x)=0,得100nx=4+n.答案:B.解析:f'(x)=3x2-3.令f'(x)>0,得x>1或xV-1.x(一8,一1)—1(—1,1)1(1,+8)f'(x)十00十f(x)/2\—2/答案:B.解析:fx)=ab(x+:)+(a2+b2),f'(x)=ab(1-《)=ab-x2^x x2 x2•・•x£(0,+8),.•.当x£(0,1)时,f'(x)V0,当x£(1,+8)时,f'(%)>0.f(x)在(0,1)上是减少的,在(1,+8)上是增加的,f(x)有最小值f(1)=(a+b)2,无最大值.答案:B6.解析:由题意知总成本为。=20000+100%,所以总利润为%2一一—一一一一一一一一一一 —P=H—300%—不一20000,0W%W400, 60000—100%,%>400.P'={300—%,0W%<400, —100,%>400.令P'=0,当0<%<400时,得%=300;当%>400时,P'<0恒成立,易知当%=300时,总利润最大.答案:D.解析:f(%)=4a%3—12a%2.令f(%)=0,得%=0(舍去)或%=3.由f%)的单调性可知f%)的最小值为f(3)=b—27a.又f(1)=b—3a,f(4)=b,所以八4)为最大值,j一一一一.」 1 10即{b=3, b—27a=—6,解得卜=3, b=3.所以a+b=-y.答案:130.解析:设圆柱体的高为2瓦则底面半径为一..R22—h2,所以圆柱体的体积V=n(R2—3一, 2\,'3 、一h2)^2h=2nR2h—2nh3,则V=2nR2—6nh2.令V=0,得h=3-R,即当2h=3R时,圆柱体的体积最大.小士卓答案:U-R.解:设容器底面短边长为%m,则另一■边长为(%+m,高为错误!=—2%)m.由一2%>0和%>0,得0V%<.设容器的容积为ym3,则有y=%+%)•—2%)=—2%3++(0<%<.所以y'=-6%2++.令y'=0,有一6%2++=0,解得%1=1,%2=一2(不合题意,舍去).1 2 15由函数的单调性可知,当%=1时,y取最大值,y=—2++=(m3),这时高为一2X1最大=(m).所以当高为m时容器的容积最大,最大容积为m3..解:(1f‘(%)=3a%2—12=3(a%2—4).当a<0时,f(%)<0,f(%)在(一8,+8)上递减.

当a>0时,%变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:xj-}_2_aja(^[前国)2\[a(三—8)f(x)十00十f(x)/极大值极小值此时,f(x述(-8,—京n3,+8)上递增,在卜三,左)上递减.(2)由f(1)=3a—12=—6,得a=2.由(1)知,f(x)在(一1,也)上递减,在(\:23)上递增.因为f(—1)=10,f('⑵=—8\;5,f(3)=18,所以f(x)在[—1,3]上的最大值为18,最小值为一8\逐.解:(1f'(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).„ 10…当a=一不时,f'(x)=x(4x2—10x+4)=2x(2x—1)(x—2).令f'(x)=0,解得x1=0,x2=2,x3=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(—8,0)0(0,2)12(2,2)2(2,+8)f(x)0十00十fx)X极小值/极大值X极小值/所以f(x)在(0,2),(2,+8)内是增加的,在(一8,0),(:,2)内是减少的.(2)由条件a£[—2,2]可知A=9a2—64V0,从而4x2+3ax+4>0恒成立.当xV0时,f(x)V0;当x>0时,f(

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