习题最大值与最小值问题

最大值与最小值问题.已知八%)=2%3—6%2+机(根为常数)在［—2,2］上有最大值3,那么此函数在［—2,2］上的最小值为()A.-37 B.-29 C.-5 D.-11.函数於)=%(1—欧)在上的最大值为().将一段长为100的铁丝截成两段，一段折成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆的面积之和最小时，圆的周长为()TOC\o"1-5"\h\zA.50 D.25.把函数八%)=%3—3%的图像j向右平移比个单位长度，再向下平移。个单位长度后得到图像•若对任意比>。，曲线J与。2至多有一个交点，则。的最小值为()A.2 B.4 C.6 D.8.定义在(0,+8)上的函数八%)=(以2+法)(4%-2+笈-1)(如>0),则“¥)( )A.有最大值(。+32,没有最小值B.有最小值(。+32,没有最大值C.有最大值3+32,有最小值(4—>)2D.没有最值.某公司生产某种产品，每年固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益H与年产量％的关系是尺=}00%—1%2,0W%<400,80000,%>400,则总利润最大时，每年生产产品的产量是()A.100 B.150 C.200 D.300.函数f%尸a%4—4a%3+b(a>0),%£［1,4］,f%)的最大值为3,最小值为-6,则a+b.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为..用总长m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积..已知函数f%)=a%3—12%,f%)的导函数为f(%).(1)求函数f%)的单调区间；(2)若f(1)=—6,求函数f%)在［—1,3］上的最大值和最小值..设函数f%)=%4+a%3+2%2+b(%£R),其中a,b£R.(1)当a=—130时，讨论函数f%)的单调性；(2)若对于任意的a£［—2,2］,不等式f%)<1在［—1,1］上恒成立，求b的取值范围.

参考答案.解析：f(x)=6x2-12x,x£［—2,2］,令f'(x)=0,得x=0或x=2.可得f(x)在［一2,0］上递增，在［0,2］上递减，故f(x)max=f(0)=m=3,所以f(一2)=-37,f(2)=-5.故f(x)的最小值为一37.答案：A.解析：f(x)=x—x3,f'(x)=1-3x2,令f'(x)=0,得x=±^33.X^)=乎，［-坐)=一等,10)=0，川尸0,所以f(x)在［0,1］上的最大值为d*5=293.答案：A.解析：设圆的周长为x，则正方形的周长为100-x，且0Vx<100,所以圆的半径厂x x 1 x 4+n 25=加，正方形的边长为25-4.所以面积和s(x尸1x2+(25-4)=后-x2-3x+625(0Vxv100).令100).令S'(x)=0,得100nx=4+n.答案：B.解析：f'(x)=3x2-3.令f'(x)>0,得x>1或xV-1.x(一8,一1)—1(—1,1)1(1,+8)f'(x)十00十f(x)/2\—2/答案：B.解析：fx)=ab(x+：)+(a2+b2),f'(x)=ab(1-《)=ab-x2^x x2 x2•・•x£(0,+8),.•.当x£(0,1)时，f'(x)V0,当x£(1,+8)时，f'(%)>0.f(x)在(0,1)上是减少的，在(1,+8)上是增加的,f(x)有最小值f(1)=(a+b)2,无最大值.答案：B6.解析：由题意知总成本为。=20000+100%,所以总利润为％2一一—一一一一一一一一一一 —P=H—300%—不一20000,0W%W400, 60000—100%,%>400.P'={300—%,0W%<400, —100,%>400.令P'=0,当0<%<400时，得%=300;当%>400时，P'<0恒成立，易知当%=300时，总利润最大.答案：D.解析：f(%)=4a%3—12a%2.令f(%)=0,得%=0(舍去)或%=3.由f%)的单调性可知f%)的最小值为f(3)=b—27a.又f(1)=b—3a,f(4)=b,所以八4)为最大值，j一一一一.」 1 10即{b=3, b—27a=—6,解得卜=3, b=3.所以a+b=-y.答案：130.解析：设圆柱体的高为2瓦则底面半径为一..R22—h2，所以圆柱体的体积V=n(R2—3一, 2\,'3 、一h2)^2h=2nR2h—2nh3,则V=2nR2—6nh2.令V=0,得h=3-R，即当2h=3R时，圆柱体的体积最大.小士卓答案：U-R.解：设容器底面短边长为%m,则另一■边长为(%+m,高为错误！=—2%)m.由一2%>0和%>0,得0V%<.设容器的容积为ym3,则有y=%+%)•—2%)=—2%3++(0<%<.所以y'=-6%2++.令y'=0,有一6%2++=0,解得%1=1,%2=一2(不合题意，舍去).1 2 15由函数的单调性可知，当%=1时，y取最大值，y=—2++=(m3),这时高为一2X1最大=(m).所以当高为m时容器的容积最大，最大容积为m3..解：(1f‘(%)=3a%2—12=3(a%2—4).当a<0时，f(%)<0,f(%)在(一8,+8)上递减.

当a>0时，％变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表:xj-}_2_aja(^[前国)2\[a(三—8)f(x)十00十f(x)/极大值极小值此时，f(x述(-8，—京n3，+8)上递增,在卜三,左)上递减.(2)由f(1)=3a—12=—6,得a=2.由(1)知，f(x)在(一1,也)上递减，在(\：23)上递增.因为f(—1)=10,f('⑵=—8\；5,f(3)=18,所以f(x)在［—1,3］上的最大值为18,最小值为一8\逐.解：(1f'(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).„ 10…当a=一不时，f'(x)=x(4x2—10x+4)=2x(2x—1)(x—2).令f'(x)=0,解得x1=0,x2=2，x3=2.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表:x(—8,0)0(0,2)12(2,2)2(2,+8)f(x)0十00十fx)X极小值/极大值X极小值/所以f(x)在(0,2),(2,+8)内是增加的，在(一8,0),(：,2)内是减少的.(2)由条件a£［—2,2］可知A=9a2—64V0,从而4x2+3ax+4>0恒成立.当xV0时，f(x)V0;当x>0时，f(