桥梁设计理论第六讲二

第六讲薄壁杆件的约束扭转第一节基本假定薄壁杆件的自由扭转是指杆件受扭时，截面的纵向翘曲位移不受约束，因而纵向翘曲应变和相应的正应力都不存在。当截面的纵向翘曲位移受到约束时，便产生约束正应力和相应的附加剪应力，这便是约束扭转。约束扭转的分析，可以从确定截面上纵向翘曲位移着手，进而利用弹性理论的几何方程确定纵向翘曲应变；利用物理方程确定翘曲正应力；最后利用微单元的平衡方程确定相应的翘曲剪应力。薄壁杆件的约束扭转分析中，除沿用前两章的若干基本假定（包括平面假定、线性假定、小变形假定和周边投影不变形假定）外，补充的基本假定有：1、约束扭转产生的正应力和剪应力沿壁厚均匀分布（参见图5-7），并且杆件纵向纤维不存在正应力。据此假定，由图3-2所示薄壁单元体在轴方向的平衡条件，可得到截面正应力和剪应力间的微分关系，即式（3-19）（6-1）（3-19）2、在约束扭转分析中，杆件纵向翘曲位移采用自由扭转时的表达式。根据弹性理论，参照图6-1，薄壁单元体的剪切应变为：（6-2）图6-1图6-1由周边投影不变形假定有：。这里，为扭转角，为扭转中心到点切线的垂直距离（见图3-4），于是式（6-2）可写为：那么，纵向翘曲位移的一般表达式便可由此积分求得，即（6-3）式中为=0处的翘曲位移值。参照第三讲剪力中心推导中关于扇性坐标的定义有：（6-4）（3-30-1）式中为自积分起点至扇性零点（=0，到点所包围的扇性面积的2倍。于是，纵向翘曲位移的一般表达式（6-3）可写为：（6-5）对于开口薄壁杆件，其在中面上的自由扭转剪应变，代入上式便得截面的纵向翘曲位移表达式（6-6）对于闭口薄壁杆件，其在中面上的自由扭转剪应变，根据虎克定律，分别按单室或多室闭口截面确定剪应力剪应变。对于单室截面，剪应力由式（5-38）给出，于是，剪应变可写成：（6-7）式中自由扭转矩（6-8）将式（6-7），式（6-8）代入式（6-3），化简后便可得：（6-9-1）或（6-9-2）其中：（6-10）称为广义扇性坐标，它表示产生单位扭转角（时的纵向翘曲位移，因此，常称为单位翘曲。显然，其中第二项则为计及中面自由扭转变形影响的修正项，此即与开口截面（）的差别所在。对于多室截面，在剪切变形表达式中，引入相应的剪力流，即将以下各式：代入中得到多室截面自由扭转变形剪应变：＝对于截面周界壁和交界壁则分别为：截面周界壁上：（6-11-1）截面交界壁上：（6-11-2）将式（6-11）代入式（6-3）后积分，得到多室截面翘曲位移表达式如下：周界壁：交界壁：或统一写成：（6-12）式中：周边（6-13-2）交界（6-13-2）上式展开并引入扇性坐标后，改写为：周界壁（6-14）交界壁称为闭口截面的广义扇性坐标，当以扭转中心为极点，以主扇性零点（）为积分起点（=0）时，则称为主广义扇性坐标。上述推导中均引用了自由扭转的剪切特性。为计及约束扭转引起的翘曲剪应力的影响，苏联学者YMANCKИЙ建议以一待定函数来代替扭转角，即将式（6-12）写成：（6-15）这便是闭口截面约束扭转翘曲位移的表达式，它具有与开口截面翘曲位移式（6-6）相似的形式。由于式（6-5）为纵向翘曲位移的一般表达式，其中剪应变沿用了自由扭转的有关公式，对于开口截面，式（6-6）中显然忽略了沿壁厚均匀分布的约束扭转剪应力产生的剪应变；对于闭口截面，式（6-15）也只是近似地计及了约束扭转剪应力的影响。故本书将纵向翘曲位移表达式（6-6），式（6-15）视为约束扭转分析的一种基本假定。第二节开口薄壁杆件的约束扭转本节将按上节指明的约束扭转分析步骤讨论开口薄壁杆件的约束扭转问题。一、纵向翘曲位移如上节所述，开口薄壁截面的纵向翘曲位移这里，为以扭转中心为极点，任选曲线坐标起算点的扇性坐标，其中为待定的积分函数，它表示起算点处的纵向翘曲位移。二、约束扭转的正应力引用弹性理论的几何方程，可直接写出纵向翘曲应变为：根据物理方程——虎克定律及杆件纵向纤维间不存在正应力的基本假定，可得出约束扭转正应力为：＝（6-16）式中待定函数可由静力学方程来确定，注意到截面内力中除外，其余内力，因此，约束扭转正应力在截面上是自相平衡的，即其合力为零。（6-17）注意到,将式（6-16）代入式（6-17）后得到待定积分函数（6-18）将式（6-18）代回式（6-16）有：（6-19）适当地选择曲线坐标起算点（=0），使积分式（6-19）中，。相应的起算点称为主扇性零点，当满足条件式（6-19）有几个点时，则以距扭转中心最近的扇性零点为主扇性零点。基于主扇性零点的坐标称为主扇性坐标，利用这一特点，当主扇性零点易于判断确定时，将简化主扇性坐标地计算，详见第五节算例。对于主扇性坐标，由式（6-18）得到：或=常数其物理意义为：主扇性零点处的纵向翘曲位移为沿杆轴向为常数。即主扇性零点处无翘曲应变，翘曲正应力为零。于是，用主扇性坐标表达翘曲位移时，时（6-19）可简化为：（6-20）即翘曲正应力按主扇性坐标（）的规律分布。三、约束扭转剪应力利用式（6-1）表示扭转正应力与剪力流的关系式（6-21）将式（6-20）表示的约束正应力代入上式移项后积分，可得开口薄壁截面约束扭转剪力流：或（6-22）其中：（6-23）称为扇性静矩。显然，式（6-22）中积分常数为积分零点处的剪力流。对于开口薄壁截面，当积分零点选在开口处的自由边缘时，则约束扭转剪力流的最后表达式（6-22）可简化为：（6-24）而约束扭转剪应力为：（6-25）观察上述各式可知，开口薄壁杆件约束扭转正应力和剪应力的计算涉及到扭转变形和，因此，需先求出杆件的约束扭转变形（在下一讲讨论），再根据截面的扭转中心和主扇性零点，计算主扇性坐标和扇性近矩，最后利用式（6-20）及式（6-25）求算开口薄壁截面约束扭转的正应力和剪应力。四、约束扭转双力矩和约束扭转力矩在前二章关于弯曲和自由扭转分析中，弯曲正应力，弯曲剪应力，自由扭转剪应力等都采用截面内力以及截面几何特性来表示，而本章约束扭转正应力和剪应力则没有以相应的截面内力表示。为取得更为直观的物理概念，将约束扭转正应力和剪应力与截面内力和几何特性相联系，因此式（6-20）和式（6-25）表示的约束扭转正应力和剪应力合成为截面内力。令（6-26）则：（6-27）注：式中由于为主扇性坐标，因此，。其中：（6-28）称为截面的主扇性惯矩。为约束扭转剪应力合成的力矩。故称为约束扭转力矩。则称为约束扭转双力矩，它是正应力以扇性坐标为“力臂”合成的广义力矩。在如图6-2a所示的工字型截面中，表现为大小相等方向相反，分别作用在两翼缘板内的一对力偶，故形象的称之为双力矩。从图6-2b）也可看到对应于这样的双力矩，截面变形呈“翘曲”状态，故这种约束扭转正应力和剪应力又称为翘曲正应力和翘曲剪应力。a)a)图b)翘曲变形图6-2显然，由式（6-26）、（6-27）可见，约束扭转双力矩和约束扭转力矩之间有下列微分关系：（6-29）将式（6-26）表示的及式（6-27）表示的代回式（6-20）及式（6-25），可得到用截面内力和几何特性表示的约束扭转正应力及剪应力计算公式如下：（6-30）五、约束扭转与梁平面弯曲的比较分析式（6-26）、（6-27）、（6-29）及式（6-30）可见，约束扭转的基本方程与梁的平面弯曲基本方程具有相似的数学表达式。为便于记忆。现将二者综合比较列于表6-1。梁的平面弯曲与开口截面约束扭转比较表6-1内容平面弯曲（平面面）约束扭转位移挠度转角扭转角单位扭转角截面几何特性静矩惯矩扇性静矩扇性惯矩内力弯矩剪力分布荷载扭转双力矩扭转力矩分布扭矩应力正应力剪应力正应力剪应力微分方程第三节闭口薄壁杆件的约束扭转一、纵向翘曲位移闭口截面约束扭转的纵向翘曲位移采用式（6-15），它具有与开口截面相似的形式，以代替，以待定函数代替扭转角，即有：（6-31）（6-15）二、单室闭口截面的的约束扭转转正应力由于闭口截面的的纵向翘曲曲位移具有有与开口截截面完全相相似的形式式，故其约约束扭转正正应力可对对比开口截截面直接写写出，不再再推导。（6-32）（6-20）而（6-33）（6-19）如果用约束扭转转双力矩表表示，则有有：（6-34）（6-26）（6-35）（6-30）（6-36）（6-28）其中可用与图图图乘计算得得出。三、单室闭口截面的的约束扭转转剪应力约束扭转剪应力力同样可对对比开口截截面的扭转转剪应力公公式（6-22）及式（66-23）直接写写出。（6-37）其中：（6-38）闭口截面没有自自由边缘，值不能直接定出，参照第三讲第五节闭口截面弯曲剪应力的做法，将闭口截面“切开”使其成为开口截面，在切口处加上赘余力，若曲线坐标积分起点取在切口处，则式（6-37）中即为切口处的赘余力，而即为相应的开口截面剪力流。仍根据切口处的的变形连续续条件求解解，即（6-39）将式（6-377）代入，移移项得：（6-40）将式（6-400）代回式式（6-37）得：（6-41）其中：＝－（6-42）称为广义扇性近近矩。于是是，得到闭闭口截面的的约束扭转转剪力流（6-43）和开口截面类似似，引入约约束扭转力力矩，则有有：（6-44）（6-27）（6-45）（6-28）（6-46）（6-30）四、多室闭口截截面的约束束扭转剪应应力对于多室截面，仿仿照第三讲讲第五节将各室“切开”，确定各各室赘余剪剪力流，与与各室安开开口截面解解得的约束束扭转剪力力流叠加，即即参照式（2-41）不难求求出多室闭闭口截面约约束扭转的的总剪力流流。即（周边边）（6-47-11）（交界）（6-47-22）其中仍由各室切切口处的变变形连续条条件给出的的线形方程程组求解。即即由式（6-477），并根根据虎克定定律及剪力力流的定式式（2-3），便有有：代入前式，并注注意到在截截面上=常数（与与的坐标无无关），得得到线性方方程（6-48）式中开口截面约约束扭转剪剪力流可仿仿照（6-30）写成（6-49）代入式（6-448）并移项项后得到：：（6-50）用式（6-500）除以，并并令：；（6-51）于是，式（6--50）转化为为：（6--52）（3-41）对于室闭口截面面，此式提提供了求解解的线形方方程组，而而未知数则则表示当时时，各室的的约束扭赘赘余剪力流流。显然，当当基本体系系（开口截截面）对于于主扇性坐坐标的静矩矩为已知时时，即可根根据（6-52）求求解。将式（6-511）及式（66-49）代入（66-47）便有：：（6-53）其中：（周边边）（6-54-11）（交界）（6-54-22）称为多室截面的的广义扇性性静矩，它它表示截面面约束扭转转翘曲剪力力流的分布布规律，故故又称为约约束扭转翘翘曲剪力流流的分布函函数。至于多室截面的的主扇性惯惯矩，则由由单室截面面的定义式式（6-45）不难写写出（6-55）可应用图进行图图乘计算，式式中表示截截面的壁段段。第四节薄壁截截面的扇性性特性上两节分析表明明，无论开开口或闭口口截面，约约束扭转的的分析都归归结为与弯弯曲分析相相类似的的的形式，但但具体求解解则繁复的的多。首先先是相应于于挠度的扭扭转角系约约束扭转和和自由扭转转的综合效效应，因而而还不能按按表6-1给出的扭扭转角微分分方程单独独求解。此此外。截面面扇性几何何特性的计计算也远较较弯曲分析析中几何特特性的计算算复杂得多多，为此，将将开口和单单室闭口截截面的扇性性几何特性性的一般公公式归纳于于表6-2。项目开口截面单室闭口截面多室闭口截面扇性坐标主扇性坐标(1)以扭转中心心S为极点(2)(1)以扭转中心心S为极点(2)条件同左.扇性静矩零点取在开口边边缘扇性零点取在切切口处扇性零点取在切切口处扇性惯矩第五节算例[例6-1]如图22-6a）、b）所示单箱箱双室截面面和工字型型截面，试试分别计算算其主扇性性坐标，，主扇性性静矩，主主扇性惯矩矩。截面尺尺寸如图所所示。【解】首先将开开口截面和和闭口截面面约束的计计算公式对对比如下，以以便确定计计算步骤。项目开口截面闭口截面双力矩其中：其中：约束扭转力矩约束扭转正应力力其中：其中：约束扭转剪应力力其中：其中：由上述各式可知知，薄壁杆杆件约束扭扭转计算的步骤骤是：1、计算截面形心及及形心主轴轴；2、以形心为极点，任任选扇性零零点；3、计算截面对形心心主轴的惯惯矩；4、计算截面扭转中中心的坐标标（）及主主扇性零点点；5、计算截面主扇性性坐标或；6、求主扇性惯矩及及极惯矩（下一讲讨讨论）；7、求扭转微分方程程，求扭转转变形；8、求及（或及）；9、计算翘曲应力及及（或及）；一、确定截面坐坐标由扭转中心的计计算公式（3-28）、（3-31）、（3-45）及式（3-51）不难得知，无论开口和闭口截面，截面的对称中心即为剪力中心（扭转中心）。又由式（6-119）可以推推知，对称称轴与截面面中线的交交点均为扇扇性零点，而而扭转中心心最近的扇扇性零点为为主扇性零零点。应用这些结论可可以省去许许多繁冗的的计算。本例因中腹板通通过对称中中心，故扇扇性零点均均与对称中中心重合。二、工字型截面面1、主扇性坐标由式（6-4）及及式（6-19）式中系扭转中心心为极点，主主扇性零点点（）为积积分起点（=0），曲线坐标以绕扭转中心逆时针为正，对于工字型截面（见图6-3），据上述分析，应以为起始矢径进行计算，故由图（6-3a）有：(0)-1.51.51.5(0)-1.51.51.5-1.5-0.075-0.075a)构造图a)图a)图两层钢筋网两层钢筋网1.51.51.01.0图6-3段：；段：=1.5×1..0=1..5（m2）段：=1.5×（--1.0）=-1.5（m2）利用截面的对称称性（呈反反对称），做做图如图（66-3b）所示。2、主扇性静矩以开口截面自由由边（图66-3中的或）为积分分起点（满满足=0），曲线线坐标以绕绕扭转中心心逆时针转转为正。由图（6-3bb）可知，为为的线形函函数，即=-1.5（1.00－）（a）务必指出，在求求图时采用用的积分起起点（=0）和这里里求可以不不一致，但但当将式（a）代入（66-23）具体计计算时，就就应将已有有的与取相同的的积分起点点建立方程程，如上式式所示。已知翼缘壁厚==0.1m，于是是将（a）代入（6-23）得：即（b）则各特征点的为为：点：点：（c）点：利用对称性，作作出图如图图（6-3c）所示。主扇性惯矩对图图（见图66-3b）应用图图乘法得到到：三、单箱双室截截面单箱双室截面的的扭转中心心、主扇性性零点均位位于对称中中心。1、主广义扇性坐标标由式（6-144）知广义义扇性坐标标为：（d）其中相应的开口口截面扇性性坐标如式式（6-4）（e）由于上二式计算算均取主扇扇性零点为为积分起点点，故式（d）、式（e）即为相相应的主扇扇性坐标及及。现已知道=0..1m，由由第三章例例[3-11]已求得，故故对于截面面周边由式式（6-13）有：（f）即对于交界腹板，因因其通过扭扭转中心，且且，故（g）于是，根据式（e），取点为为切点，并并以该点为为各点曲线线坐标的起起算点（见见图6-4b），计算算如下：（注意到之为零）按式（f）计算算，如图（66-4c）所所示。左点－－1.2=00（）点－－1.2=－1.20（m2）点－－1.2=－4.80（m2）点－－1.2=－7.20（m2）点－－1.2=－10.880（m2）右点－1..2=－12.000（m2）将图（6-4bb）叠加，即即得到主广广义扇性坐坐标图，容容易看出，沿周边s呈线形分布，其各特征点的坐标（如图6-4d）所示为：2、广义扇性惯矩根据式（6-33b）及图，不不难计算广广义扇性惯惯矩（h）于是根据图（图图6-5d）应用图图乘法有：：3、相应的开口截面面静矩将截面在某一位位置（图66-4e）切开，使使其成为开开口（静定定）截面，其其相应的静静矩（k）现=0。10m，由于图图为的线形形函数，故故知为的二次函函数。取切切口处为积积分起点==0，计算的特特征点值如如下：点点点点点由图不难推知，应应呈正对称称，应用二二者的微分分关系，便便可确定图图的凹凸性性，得出图图如图（66-4e）所示4、广义扇性静矩根据式（6-554）广义扇扇性静矩其中需求解线性性方程组（6-52）确定，即（）1.01.01.0纵向预应力筋纵向预应力筋1.5纵向预应力筋纵向预应力筋1.5纵向预应力筋纵向预应力筋-7.2纵向预应力筋纵向预应力筋-4.8纵向预应力筋纵向预应力筋-1.2纵向预应力筋纵向预应力筋-10.8纵向预应力筋纵向预应力筋-12.0纵向预应力筋纵向预应力筋10.5纵向预应力筋纵向预应力筋12.0纵向预应力筋纵向预应力筋两层钢筋网两层钢筋网7.5纵向预应力筋纵向预应力筋4.5纵向预应力筋纵向预应力筋1.5纵向预应力筋纵向预应力筋-0.3纵向预应力筋纵向预应力筋0.3纵向预应力筋纵向预应力筋-0.3纵向预应力筋纵向预应力筋0.3纵向预应力筋纵向预应力筋0.015纵向预应力筋纵向预应力筋0.015纵向预应力筋纵向预应力筋0.015纵向预应力筋纵向预应力筋0.015纵向预应力筋纵向预应力筋0.0375纵向预应力筋纵向预应力筋0.0375纵向预应力筋纵向预应力筋0.02纵向预应力筋纵向预应力筋0.02纵向预应力筋纵向预应力筋0.02纵向预应力筋纵向预应力筋0.02纵向预应力筋纵向预应力筋-0.02纵向预应力筋纵向预应力筋-0.005纵向预应力筋纵向预应力筋0.005纵向预应力筋纵向预应力筋-0.005纵向