初三第23题代数综合等4人

精锐教育学科教师辅导讲学员编号 级 课时数学员 学科教师C（C（授课日1（顺义）x的方程(k1)x22kxk30当方程有两个相等的实数根时，求关于yy2a4kya10的整数根（a为正整．（1）△=4k24k28k=8kk1 k1 8k12 即k

kk△=8k12=0k yy2a6ya10'(a6)24(a1)a212a364a4a216a(a8)232a为正整数，当(a8)232是完全平方数时，方程才有可能有整数根．设(a8)232m2（m为整数32pq（pq均为整数，(a8)2m232．即(a8m)(a8m32a8maa8m不妨设

apq (a8m与(a8m∴32可分解为21648(2)16)(4)(8)pq18或12或18或12a17或14或1（不合题意，舍去）或2y11a17时，方程的两根为a14

y82y4

y12y2y13y2a2

y13y22（y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2x3，求k的值．（1）当k1时，方程4x4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；k1时，方程(k1)x23k1)x2k2=0k为除-1外的任意实数时，此方程总有两个实数根综上，无论k取任意实数，方程总有实数根．

x13k(k2(k

，x1=-1，x2=k kk=1时，方程的两根为-1，0；k=3时，方程的两根为-1，-1．∴（3）∵y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2与xx1x2=3x2x1x1x2=3k=-3x2x1=33（

(a1)x2(a1)x20（1）ax的方程(a1)x2a1)x20y1kx 答案（1）当a10时，即a1时，原方程变为2x20. 当a10时，原方程为一元二次方程(a1)x2(a1)x20..b24ac(a1)24(a1)2(a3)2.

x1；……1x(a1)(a

x1,x 22(a

，解得

a1

(a1)x2a1)x20的根都是整数2∴只需a1为整∴当a11a=2a=0时，x=1或x=－2；a12时，即a=3a=－1时，x=1x=－1；∴a0，－1，1，2，3方程(a1)x2a1)x20的根都是整数…6（2）∵y=(a1)x2a1)x20

a.8y1kx把M点坐标代入一次函

中，则k 7∴当k4

y1kx3

4.（东城区）x的一元二次方程(m1)x2m2)x10（m为实数若方程有两个不相等的实数根，求m的取y(m1)x2m2)x1x若mx的一元二次方程(m1)x2m2)x10有两个不相等的整数根时，y(m1)x2(m2)x13个单位长度，求平移后的解析式．（1）∴m0∵m10∴m的取值范围是m0且m（2）y0(m1)x2m2)x10∴x

2(m

(m2)m(m2)(m2)m∴

m2m1，2(m

m2m2(m

mx轴的交点坐标为（1,0

m

,0my(m1)x2m2)x1总过定点（10x1是整数

m

m是整数，且m0且m∴m2m2yx21y(x3)21x26x8y=x2kx1（ 在（2）的条件下，关于xx2＋2(a＋k)x＋2a－k2＋6k－4=00b2-4ack2-（1）

kxy=x2kx 的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，x=11k ＜0，解得∴k≠02b24ac（2k24k24k2+12k94k212k9- - ＜k＜x1=-1，x2=-2a-1∴检测题2（2013.东城23）已知关于x的一元二次方程求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；解：(1)证明：Δ（m3)24(m1)=m26m94m=m22m=(m1)24∵(m1)2∴(m1)24x的一元二次m3m3 (m1)22要使原方程的根是整数，必须使得(m1)24是完全平方数.设(m1)24a2，则(am1)(am14∵am1am1am1 am1可得am12.或am1 a a解得m1.或m1. m3 (m1)2m3 (m1)22x12x20m=-13（2013.（2）设m为整数，方程的两个根都大于1且小于2（1）m2421m2

，当方程的两个根均为有理数时，求m∵m2∴m28所以无论m取任何实数，方程2x2mx1=0都有两个不相等的实数(2)y2x2mx∵2x2mx10的两根都在132x1y02m10x3y093m10 ∴23

m∵m①当m22x22x10，4812②当m0时，方程2x210x22③当m1时，方程2x2x1

1

1m

1解题，如果不能因式分解，在用法求解。本题在中，2012232013中18（13、注意事项：（1）（2）二次函数---例1：（2012，东城一模）已知关于x的一元二次方程x2(4m1)x 27myx24m

xA、ByCm取n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界n的取值范围（直接写出答案即可．答案：(1)证明：Δ=(4m1)2=4m24m=(2m∵(2m

m解关于x的一元二次方程x2(4m1)x 得x13m1x2m3m1

m 解得1 3

9 14例2、(2012丰台一模)已知：关于x的一元二次方程：x22mx yx2

C1C2y=xb(b<0)与C2恰有两个公共点时，写出b（1） y轴是抛物线的对称轴，2m0m0y（3）-3（2012石景山一模）x的方程x2m4x3m10有两个不相等的实数根求m的取值范围抛物线Cyx2m4x3m1xABm1lymx1A,求抛物线C2

ymx1A旋转得到直线

ykxb，设直线l2yD，与抛物线C交于点M（MA重合MA3k （1）m∵方程x2m4x3m10有两个不相等的实数∴∴m（2）yx2m4x3m1y0x2m4x3m10解得：x1 ，x21∴抛物线与x轴的交点坐标为 ∵直线

:y

A坐标为m3

时m310，当点A坐标为1m,0 2解得m2mmm1∴抛物线Cyx25x6 （3）设Mx,x2 MAAMxM

xM ， xM

,MA的直线l2ykxb的解析式ykx2kM5,6k

5MA点重合时直线l2与抛物线C ykx解得yx2k5x

令k52462k0kMAAMOA M 2M ，

xM

,Mk2k12kMA3k 4（2012aa＝a1y＝ax2＋x＋2xM(m，0)y＝ax2＋x＋2xN(n，0).MNa1y的大小 321-4-3-2-1

，)，对称轴为直线 .……29又因为函数的最大值为，∴y1

12

，

1∴x

12

，

1

，0 当a＜0时，即经过点My=a1x2+x+2x

,经过点Ny=a2x2+x+2x

.M在点N的左边，且抛物线经过点x

x

1∴1

＜ 115xA(2,0B(4,0y轴交于C(0,4设直线CDxEBx轴的垂线，交直线CDF，将抛物线沿其对称轴答案：ya(x2)(x∵C点坐标为1∴a=2y1x2x42D坐标为（192(2)CDb9

则kb

∴k

1CD2E（-

my1x2x4m(m2y1x2x4由y

21x2

y,

1x2

1xm0 2m0 1∴向下最多可平移个单位8my1x2x4m(m2x=-8时，y=-36+mx=4时，y=mEF有公共点，则-36+m≤0E（-8，0）m当平移后的抛物线F4,6时m1综上，要使抛物线与EF36个单位，向下最多可平移个单位。81（2013.求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交P（m，n，n<0，OP= ，且线段OP与x轴正半轴所夹锐角的正弦34为5将（2）中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的MyxbMby1（1）-11∵b24ack24(k2)(k2)24∵(k2)20∴(k2)240∴无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点（2）解：如图PPA⊥x轴于A,则 OP

,sinPOA ∴AP83

OA2

-1∴P(2,

8)3∵P在抛物线上8∴ 42kk232∴k 3yx22x8 （3）y=0x22x80 ∴x2,x4 ∴抛物线与xB(20C43yxbC（-2，0）时，by

yxb

x

相切时，x

xb∴△

254(b

)0∴b

.∴ ＜b＜-2时，直线与图形M有四个交点2:yx2a2)x2a（a为常数，且a0xAB（AB左侧y轴的交点为CAC25x轴正方向平移t个单位（t>0，同时将直线ly3xy轴正方向平移t个单位.平移后的直线为lABAB.当t为何值时，在直线l'P，使得△ABPAB为直角边的等腰直角三角形?答案（1）y0,x2a2)x2a0.△=(a2)28a(a2)2∵a0,∴a20∴△0x2a2)x2a0有两个不相等的实数根x轴有两个交点（2）①y0,x2a2)x2a0x12x2a.∵AB左侧,且a0xA(a0B(20)y轴的交点为C∴C(0,2a)∴AOaCO2a.Rt△AOCAO2CO225)2a22a)220

a2

a0

a2yx24②依题意，可得直线ly3xtA'(t20B'(t20,ABAB4∵△ABPAB∴当PAB90P的坐标为(t24或(t24)∴3(t2)

4.

t 或t5 5当PBA90P的坐标为(t24或(t24) ∴3(t2)t4.解得t 或t 综上所述，t 或t 3：xkx23k1)x30kykx23k1)x3xkk答案：k=0x+3=0x=-31

3k124k=9k26k1=9k26k

2（2）y0kx23k1)x3xx3，x

3 kxk 由（2）yx24xODy=12h，………522①当抛物线经过点C∵C（09）h21h=92 h=-11454-1-4∴当 ≤h＜-1-1-4

6y=（x－h）22

得x2＋（－2h＋2）x＋h212∴△=（－2h＋2）2－4（h2＋12（3，3综上：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是-1-4-1-4-142a1（2012•y=mx2+（3m+1）x+3xm为正整数，试确定此抛若点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在（2）中抛物线上（点P、Q不重合），且y1=y2，求 答案：解：（1）m=0x+3=0x=﹣3．m≠0时，原方程为一元二次方程．mmx2+（3m+1）x+3=0（2）∵令y=0，则mx2+（3m+1）x+3=0．解得x1=﹣3， y=mx2+（3m+1）x+3与xm∴抛物线的解析式为（3）∵点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛 可 即P，Q =（n+4）2+6n（﹣n﹣42：x的一元二次方程2x2a4)xa0求证：无论a抛物线

y2x2a4)xaxa，其中a02C11个单位，得到抛物线C 线C2的解析点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B2m32mn2n3（1）a4)242aa216而a20a2160，即0∴无论a（2）xay02∴2(a)2(a4)aa0 a23a0a(a30∵a0∴a3∴抛物线Cy2x2x32(x1)225 ∴抛物线C的顶点为(125 ∴抛物线C2的顶点为(032∴抛物线Cy2x232A（mn）B（nm）都在抛物线C2n2m23m2n2∴nm2(m2n2).∴nm2(mn)(mn)∴(mn)[2(mn)1]0∵A、B两点不重合，即mn∴2(mn)10∴mn12∵2m2n3，2n2m3∴2m32mn2m2m2mn2n2(n3)m2mn(m3)3(m3 323（2011•答案：∵mx2﹣x﹣2=0∴原式=4：已知抛物线Cyx2m1x1的顶点在求mm0时，抛物线C向下平移nn0个单位后与抛物线C1yax2bxcy且C1过点n,3，求C1的函数关系式3m0时，抛物线C的顶点为MP1y0x

上是否存在一点QPM的周长最小，如果存在，求出点Q（1）m124解得m1m当抛物线Cy

∴m综上m1m-3（2）当m0m抛物线Cyx22x向下平移nn0yx22x11yx22x1n与抛物线C：yax2bxcy1∴a1，b2，c1

∴抛物线C1

yx22x1C1过点

n22n1n3，即n2n2解得n11n22（由题意n0，舍去）∴n∴抛物线C1

yx22x当3m0m抛物线Cyx2∴y011∴

M作点M0,1关于直线x1的对称点MPMy1x ∴Q1,43 3 5（201323）y=﹣x2+bx+cA（﹣1，0），C（2，3）两点，与yN．D．M（3，m）MN+MDm若抛物线的对称轴与AC于点B，E直线AC任意一点，过点EEF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不答案：解：（1）y=﹣x2+bx+cA（﹣1，0）C（2，3），.y=﹣x2+2x+3y=kx+nA（﹣1，0）及C（2，3），.ACy=x+1DNy=﹣当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小则m=﹣× EAC①当点 段AC上时，点F在点E上方，则∵F②当点E 段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得 或

∴ ，

32

）或

）或 33， ，课后作1：x的一元二次方程(m1)x2m2)x10（m为实数若方程有两个不相等的实数根，求m在（1）的条件下，求证：无论my(m1)x2m2)x1x轴上的若mx的一元二次方程(m1)x2m2)x10y(m1)x2m2)x13个单位长度，求平移后的解析式．答案：（1）△=(m2)24(m1)m2∴m0∵m10∴m的取值范围是m0且m1（2）y0(m1)x2m2)x