《空间向量在立体几何中的应用》教学设计

PAGEPAGE4《空间向量在立体几何中的应用》教学设计一.教学目标（一）知识与技能1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题.（二）过程与方法1.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程．（三）情感态度与价值观1.通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；2.培养学生向量的代数运算推理能力；3.培养学生理解、运用知识的能力．二.教学重、难点重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题．难点：用空间向量求二面角的余弦值．三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法．四.教学用具：电脑、投影仪．五.教学设计（一）新课导入1.提问学生：（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？（2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？（二）新课学习1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值.（1）设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角的余弦值为.（2）设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角的余弦值为.设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角的余弦值为.（3）设是二面角的面的法向量，则就是二面角的平面角或补角的余弦值.ABCDEFGxyz例1ABCDEFGxyz（1）求直线所成角的余弦值.（2）求直线与平面所成的角的余弦值.（3）求平面与平面所成的角的余弦值.分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA´，建立空间直角坐标系A-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果.解：（1）如图建立坐标系，则...故所成的角的余弦值为.（2）所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，为的平分线，故直线与平面所成的角为，建立如图所示坐标系，则，，.故与平面所成角的余弦值为.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1.∴AC1//平面CDB1.引导学生归纳：（1）垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零；（2）平行问题转化为：面面平行线面平行线线平行. 课堂练习：2.在直三棱柱中，,（1）求证（2）在上是否存在点使得CABxDyZ（3）在CABxDyZ参考答案：解：直三棱柱，两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴轴，轴，建立空间直角坐标系，则，.（1），.（2）假设在上存在点，使得，则其中，则，于是由于，且.所以得，所以在上存在点使得，且这时点与点重合.（3）假设在上存在点使得，则其中则，又由于，，所以存在实数成立，所以，所以在上存在点使得，且使的中点.引导学生感悟：空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性.（二）课外作业ABCA1B1C1M1.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=ABCA1B1C1M（1）求证:AM平面；（2）求二面角B－AM－C的大小；2.如图，直三棱柱A