知识点1-向量组及其线性相关性

知识点4向量的线性相关性1、向量组的线性相关性1）.向量组线性相关的概念定义：给定向量组A:a1,a2,,am,若存在不全为零的数k1,k2,,km,使k11k22kmm0则称向量组A是线性相关的.否则称它为线性无关.注1向量组a1,,am线性无关1n0时,才有1122nn0.注2对于一个向量组,不是线性相关,就是线性无关.注3只含一个向量a的向量组,若a0,则它线性相关;若a0,则它线性无关.注4任一含有零向量的向量组线性相关.注5两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.注6两向量线性相关的几何意义是两个向量共线;三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面.2）.向量组线性相关的条件定理1向量组 1,2, , m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A (1, 2, , m)的秩小于向量的个数 m（R(A) m）；向量组 1,2, ,m线性无关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A (1, 2, , m)的秩等于向量的个数 mR(A)m）.可以总结为：向量组A:a1,a2,,am线性相关有不全为零的数k1,k2,,km使k11k22kmm0.齐次线性方程组1x12x2mxm0有非零解.R(A)m,其中A(a1,a2,,am).向量组A:a1,a2,,am线性无关齐次线性方程组1x12x2mxm0只有零解.R(A)m,其中A(a1,a2,,am).推论1m个m维向量组a1,a2,,am线性相关A0,其中A(a1,a2,,am).100例1证明n维单位坐标向量组e1010线性无关.,e2,,en0011k10证法一设k1e1k2e2knen0,则由k1e1k2e2k20knenkn0知,k1kn0,故n维单位向量组e1,e2,,en线性无关.100证法二A(e1,e2,,en)010001R(A)nn维单位向量组e1,e2,,en线性无关.102例2已知a11，a22，a34，及向量组a1,a2的线性相关讨论向量组a1,a2,a3157性.102102解A(a1,a2,a3)124~022157000R(a1,a2)R(a1,a2,a3)2向量组向量组a1,a2,a3线性相关,而向量组a1,a2的线性无关.例3设向量组a1,a2,a3线性无关,b1a1a2,b2a2a3,b3a3a1,讨论向量组b1,b2,b3的线性相关性.解法一设存在x1,x2,x3使x1b1x2b2x3b30,即x（1）x(23)x(31)0,亦即1223（x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30.1，2，3线性无关x1x30x1x20(1)x2x3010111020011方程组(1)只有零解 x1 x2 x3 0向量组b1,b2,b3线性无关.1 0 1解法二 记A (a1,a2,a3),B (b1,b2,b3),K 1 1 00 1 121 0 1(b1,b2,b3) (a1,a2,a3)1 1 00 1 1B AKK 2 0R(A) R(B)向量组a1,a2,a3线性无关R(A) 3R(B) 3向量组b1,b2,b3线性无关.向量组线性相关的性质性质1向量组A:a1,a2,,am(m1)线性相关A中至少有一个向量可由其余向量线性表示.证明设向量组A:a1,a2, ,am线性相关,则有不全为零的数 k1,k2, ,km使k11 k22 km m 0不妨设k10,则1k2k3km,即a1可由a2,,am线性表k123mk1k1示;反之,设向量组A中有一个向量可由其余m1个向量线性表示,不妨设为am,则存在实数1,2,,m1使am1122m1m1,故1122m1m11am0.因为1,2,,m1,1这m个数不全为零,所以向量组A线性相关.性质2若向量组A:a1,a2,,am线性相关,则向量组B:a1,a2,,am,am1也线性相关;反之,若向量组B:a1,a2,,am,am1也线性无关,则向量组A:a1,a2,,am也线性无关.注1性质1的结论可以简述为:部分相关则整体相关,整体无关则部分无关.证明记A(a1,a2,,am)B(a1,,am,am1),则R(B)R(A)1.由于若向量组A线性相关,故R(A)m,于是R(B)R(A)1m1,从而向量组B线性相关.a11a12a1m性质3若n维向量组A:a1a21,a2a22,,ama2m线性无关,则ns维向量组an1an2anm3a11a12a1ma21a22a2mB:b1an1,b2an2,,bmanm也线性无关.b11b12b1mbs1bs2bsm注2性质2可简述为:无关组添加分量后仍无关;反言之,相关组减少分量后仍相关.A线性证明记A(a1,a2,,am),B1,2,m,则R(A)R(B)m.由于向量组(bb,b)无关,故R(A)m,于是R(B)m,从而向量组B线性无关.性质4当mn时,m个n维向量线性相关.注3性质3可简述为:向量个数大于维数时必线性相关.证明记m个n维向量a1,a2,,am构成矩阵Amn(a1,a2,,am),则R(A)nm,故向量组a1,a2,,am线性相关.性质5若向量组A:a1,a2,,am线性无关,而向量组B:a1,a2,,am,b线性相关,则向量b可由向量组A线性表示,且表示方式是惟一的.证明记A(a1,a2,,am)B(a1,,am,b).由于向量组A线性无关,故R(A)m,又R(B)R(A)m;由向量组B线性相关知R(B)m1.于是mR(B)m1,所以R(A)R(B)m,方程组Axb有唯一解.这表明向量b可由向量组A线性表示,且表示方式是惟一的.例4设向量组a1,a2,a3线性相关,而向量组a2,a3,a4线性无关,证明a1能由a2,a3线性表示;a4不能由a1,a2,a