2023届安徽省合肥庐阳高级中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设直线与直线的交点为,则到直线的距离最大值为()A． B． C． D．2．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为()A． B． C． D．3．已知，且，则（）A． B． C． D．4．已知为等差数列，，，则等于（）.A． B． C． D．5．以圆形摩天轮的轴心为原点，水平方向为轴，在摩天轮所在的平面建立直角坐标系.设摩天轮的半径为米，把摩天轮上的一个吊篮看作一个点，起始时点在的终边上，绕按逆时针方向作匀速旋转运动，其角速度为（弧度/分），经过分钟后，到达，记点的横坐标为，则关于时间的函数图象为（）A． B．C． D．6．某林区改变植树计划，第一年植树增长率200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的12，若成活率为100%，经过4A．14 B．454 C．67．一个三棱锥内接于球，且，，则球心到平面的距离是（）A． B． C． D．8．已知实数满足，则的最大值为（）A．8 B．2 C．4 D．69．已知向量若与平行，则实数的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．210．sin300°的值为A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点__________．12．函数的值域是________．13．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则角_______.14．执行如图所示的程序框图，则输出结果_____.15．函数的定义域为__________；16．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1．

（1）求直线l的方程；

（2）若直线l与圆C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求实数a的值．18．已知函数，且，.（1）求，的值及的定义域；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.19．已知定义域为的函数在上有最大值1，设．（1）求的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围（为自然对数的底数）．20．已知平面向量，=(2x+3，-x)，(x∈R).(1)若向量与向量垂直，求；(2)若与夹角为锐角，求的取值范围.21．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.【详解】由可以得到，故，直线的方程可整理为：，故直线过定点，因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，故，故选A.【点睛】一般地，若直线和直线相交，那么动直线（）必过定点（该定点为的交点）.2、C【解析】

将平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.【详解】连接如下图所示，由于分别是棱和棱的中点，故，根据正方体的性质可知，所以是异面直线所成的角，而三角形为等边三角形，故.故选C.【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.3、D【解析】

首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得，利用正弦的和角公式求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以.因为，，所以，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.4、B【解析】

利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】解：为等差数列，，，，，，，，，．故选：【点睛】本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5、B【解析】

根据题意，点的横坐标，由此通过特殊点的坐标，判断所给的图象是否满足条件，从而得出结论.【详解】根据题意可得，振幅，角速度，初相，点的横坐标，故当时，，当时，为的最大值，故选：B.【点睛】本题考查三角函数图象的实际应用以及余弦型函数图象的特征，其中，求出函数模型的解析式是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.6、B【解析】

由题意知增长率形成以首项为2，公比为12的等比数列，从而第n年的增长率为12n-2，则第n【详解】由题意知增长率形成以首项为2，公比为12的等比数列，从而第n年的增长率为1则第n年的林区的树木数量为an∴a1=3a0，a因此，经过4年后，林区的树木量是原来的树木量的454【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题的关键在于建立数列的递推关系式，然后逐项进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7、D【解析】由题意可得三棱锥的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体共顶点的三条面对角线的长分别为，设球的半径为，则有，在中，由余弦定理得，再由正弦定理得为外接圆的半径），则，因此球心到平面的距离，故选D.点睛：本题主要考查了球的组合体问题，本题的解答中采用割补法，考虑到三棱锥的三对对棱相等，所以可得三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，求出求出球的半径，进而求解距离，其中正确认识组合体的特征和恰当补形时解答的关键.8、D【解析】

设点，根据条件知点均在单位圆上，由向量数量积或斜率知识，可发现，对目标式子进行变形，发现其几何意义为两点到直线的距离之和有关.【详解】设，，均在圆上，且，设的中点为，则点到原点的距离为，点在圆上，设到直线的距离分别为，，，.【点睛】利用数形结合思想，发现代数式的几何意义，即构造系数，才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍.9、D【解析】

因为，所以由于与平行，得，解得.10、B【解析】

利用诱导公式化简，再求出值为.【详解】因为，故选B.【点睛】本题考查诱导公式的应用，即终边相同角的三角函数值相等及.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据线性回归方程一定过样本中心点，计算这组数据的样本中心点，求出和的平均数即可求解.【详解】由题意可知，与的线性回归方程必过样本中心点，，所以线性回归方程必过.故答案为：【点睛】本题是一道线性回归方程题目，需掌握线性回归方程必过样本中心点这一特征，属于基础题.12、【解析】

求出函数在上的值域，根据原函数与反函数的关系即可求解.【详解】因为函数，当时是单调减函数当时，；当时，所以在上的值域为根据反函数的定义域就是原函数的值域可得函数的值域为故答案为：【点睛】本题求一个反三角函数的值域，着重考查了余弦函数的图像与性质和反函数的性质等知识，属于基础题.13、【解析】

根据三角形面积公式和余弦定理可得，从而求得；由角的范围可确定角的取值.【详解】故答案为：【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用问题，关键是能够配凑出符合余弦定理的形式，进而得到所求角的三角函数值.14、1【解析】

弄清程序框图的算法功能是解题关键．由模拟执行程序，可知，本程序的算法功能是计算的值，依据数列求和方法——并项求和，即可求出．【详解】根据程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出，输出的为1．【点睛】本题主要考查了含有循环结构的程序框图的算法功能的理解以及数列求和的基本方法——并项求和法的应用．正确得到程序框图的算法功能，选择合适的求和方法是解题的关键．15、【解析】

根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，，解得即，故函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．16、【解析】

∵当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案为.点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，，利用累加法可得结果.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）y=2x+1；（2）a=-2或【解析】

（1）求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程；（2）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值．【详解】（1）直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1，可得直线l的斜率为=2，则直线l的方程为y3=2（x1），即y=2x+1；

（2）若直线l与圆C：（xa）2+（y+a）2=5相切，

可得圆心（a，a）到直线l的距离为，即有

=，解得a=2或．【点睛】本题考查直线方程和圆方程的运用，考查直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18、（1），，定义域；（2）【解析】

（1）由已知得，可求出、，由对数函数的定义域可得，求出的范围，即可得到的定义域；（2）设，可得，由复合函数单调性，可得在上的单调性，从而可得时，的最大值，令，解不等式即可得到答案.【详解】（1）由已知得，即，解得，，由得，所以，即，所以定义域为.（2），设，由时，可得，因为在上单调递增，所以可得在上单调递增，故当时，的最大值为，由题意，，即，即，因为，所以，即.故时，存在，使得成立.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查复合函数单调性，考查存在性问题，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.19、（1）0；（2）；（3）【解析】

（1）结合二次函数的性质可判断g（x）在[1，2]上的单调性，结合已知函数的最大值可求m；（2）由（1）可知f（x），由原不等式可知2k1在x∈[3，9]上恒成立，结合对数与二次函数的性质可求；（3）原方程可化为|ex﹣1|2﹣（3k+2）|ex﹣1|+（2k+1）＝0，利用换元q＝|ex﹣1|，结合二次函数的实根分布即可求解．【详解】（1）因为在上是增函数，所以，解得．（2）由（1）可得：所以不等式在上恒成立．等价于在上恒成立令，因为，所以则有在恒成立令，，则所以，即，所以实数的取值范围为．（3）因为令，由题意可知令，则函数有三个不同的零点等价于在有两个零点，当，此时方程，此时关于方程有三个零点，符合题意；当记为，，且，，所以，解得综上实数的取值范围．【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性的应用，不等式中的恒成立问题与最值的相互转化，二次函数的实根分布问题等知识的综合应用，是中档题20、（1）10或2；（2）.【解析】

(1)由向量与向量垂直，求得或，进而求得的坐标，利用模的计算公式，即可求解；(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，列出不等关系式，即可求解.【详解】(1)由题意，平面向量，，由向量与向量垂直，则，解得或，当时，，则，所；当时，，则，所，(2)因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，即且，解得，且，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的垂直条件，以及向量的数量积的应用，着重考查了推理运算能力，属于基础题.21、（1）分别抽取人，人，人；（2）【解析】

（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.