计量经济学异方差性

计量经济学异方差性第一页，共五十二页，2022年，8月28日第六章异方差性◆学习目的通过本章的学习，你可以知道什么是异方差性，异方差性是如何形成的，异方差性导致什么样的后果，怎样检验和处理具有异方差性的模型。◆基本要求1)掌握异方差性的概念、异方差性的后果和几种常见的检验方法。2)了解加权最小二乘法原理，并能运用加权最小二乘法估计线性回归模型。3)了解异方差稳健推断原理。第二页，共五十二页，2022年，8月28日◆异方差性及其产生原因◆异方差性的影响◆异方差性的检验◆异方差性的的修正第六章异方差性第三页，共五十二页，2022年，8月28日第一节异方差性及其产生原因—、异方差性的含义对于多元线性回归模型(6-1)同方差性假设为如果出现即对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性（Heteroskedasticity）。第四页，共五十二页，2022年，8月28日二、异方差的类型同方差性假定是指回归模型中不可观察的随机误差项条件的方差是一个常数，因此每个的条件方差不随X的变化而变化，即有以解释变量X为不再是常数，在异方差的情况下，总体中的随机误差项的方差通常它随解释变量值的变化而变化，即第五页，共五十二页，2022年，8月28日根据与解释变量X的关系，异方差一般可归结为三种类型（如图）：（1）单调递增型：随X的增大而增大；（2）单调递减型：（3）复杂型：随X的增大而减小；随X的变化呈复杂形式。

第六页，共五十二页，2022年，8月28日第七页，共五十二页，2022年，8月28日三、异方差产生的原因例6-1居民储蓄模型在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为，假定储蓄行为模型为其中，为第i个家庭的储蓄额，为第i个家庭的可支配收入。

析：在该模型中，假定的方差为常数往往不符合实际情况。对于高收入的方差往往随的这属于递增型异方差。家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一特定的目的而储蓄），差异较小。因此增加而增加，第八页，共五十二页，2022年，8月28日三、异方差产生的原因例6-2干中学模型人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少。在这种情况下，会减小。的方差可以预料例如，考虑一次打字测验，在给定的一段时间里，打字出错个数与用于打字练习的小时数有关系。随着打字练习小时数增加，不仅平均打错字个数下降，而且打错字个数的方差也下降，这属于递减型的异方差。资料收集技术的改进可能会使减小。

例如，相较于没有先进设备的银行，那些拥有先进数据处理设备的银行，在他们对帐户的每月或每季财务报告中，会出现更少的差错。第九页，共五十二页，2022年，8月28日三、异方差产生的原因例6-3股票价格和消费者价格考虑如下20个国家在第二次世界大战后直至1969年间的股票价格（Y）和消费者价格(X)的百分比变化的散点图。图中，对智利的观测值Y和X远大于对其他国家的观测值，故可视为一个异常值，在这种情况下，同方差性的假定就难以维持了。第十页，共五十二页，2022年，8月28日三、异方差产生的原因例6-4假性异方差两个变量有真实关系：其中满足线性回归模型的假定，即满足零均值和不变方差的假定。如果我们误以为Y和X之间的关系为：并认为，那么记，则因此是的函数，即我们建立的模型具有异方差。

第十一页，共五十二页，2022年，8月28日第二节异方差性的影响1．参数估计量非有效计量经济学模型一旦出现异方差，如果仍然用普通最小二乘法估计模型参数，会产生一系列不良后果。2．OLS估计的随机干扰项的方差不再是无偏的3．基于OLS估计的各种统计检验非有效4．模型的预测失效第十二页，共五十二页，2022年，8月28日1．参数估计量非有效根据前面有关OLS参数估计量的无偏性和有效性的证明过程，可以看到，当计量经济学模型出现异方差时，其普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性和一致性，因为同方差假设在证明无偏性和一致性时并没有起作用。但在异方差情况下OLS估计量不再具有有效性，因为在有效性证明中利用了而且在大样本情况下，OLS估计量也不具有渐进有效性。第十三页，共五十二页，2022年，8月28日为详细说明异方差使OLS参数估计量的无效性，我们考虑一元回归模型：（6-2）该模型参数的OLS估计量可以写为对于该模型，我们假定除同方差假设外，其他的高斯马尔科夫假设都成立。如果模型随机误差项包含异方差，那么有这一异方差取决于的值。第十四页，共五十二页，2022年，8月28日（6-3）（6-4）显然（6-3）式与（6-4）式不同，只有在时两者才是相同的。在上述给定的异方差情况下，的方差为容易证明而同方差假设下，的OLS估计方差为第十五页，共五十二页，2022年，8月28日2．OLS估计的随机干扰项的方差不再是无偏的异方差时OLS估计的随机误差项的方差不再是真实随机干扰项方差的无偏估计，正是因为这一点才使得OLS估计的参数不再是有效的，这可从（6-3）式中直接看出来。（6-3）第十六页，共五十二页，2022年，8月28日3．基于OLS估计的各种统计检验非有效1）t统计量不再服从t分布；3）F统计量也不再服从F分布；4）LM统计量也不再有渐近分布。

总而言之，在异方差情况下，我们建立在高斯马尔科夫定理基础上的用来检验各种假设的统计量都不再是有效的，OLS估计量不再是最佳线性无偏估计量（即不具有BLUE性质）。第十七页，共五十二页，2022年，8月28日4．模型的预测失效所以，如果仍然使用OLS估计量，将导致预测区间偏大或偏小，预测功能失效。当模型出现异方差时，一方面，由于上述后果，使得OLS估计不再具有良好的统计性质；另一方面，由于在被解释变量预测值的置信区间中也包含有参数估计量的标准差，第十八页，共五十二页，2022年，8月28日第三节异方差性检验用什么来表示随机干扰项的方差？？？问题：一般的处理方法是首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随机干扰项的估计量，用表示。这样我们有即用来表示随机干扰项的方差。第十九页，共五十二页，2022年，8月28日对于解释变量引起的异方差，我们可以用如下几种方法来检验异方差。一、图示检验法二、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验三、G-Q（Goldfeld-Quandt）检验四、F检验五、拉格朗日乘子检验六、怀特检验第二十页，共五十二页，2022年，8月28日一、图示检验法图6-2不同异方差类型（图示检验法只能进行大概的判断）第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日二、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验基本思想：以或为被解释变量，以原模型的某一个解释变量为解释变量，建立如下回归方程：或

选择关于变量Xj的不同函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验。如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日三、G-Q（Goldfeld-Quandt）检验基础范围基本思想——F检验——样本容量较大、异方差递增或递减的情况——按某一个解释变量对样本排序，再将排序后的样本一分为二，对子样本①和子样本②分别作OLS回归，然后利用两个子样本的残差平方和之比构造F统计量进行异方差检验。第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日步骤（1）将n组样本观察值按某一被认为可能引起异方差的解释变量的观察值大小排序。（3）对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和。分别用表示较小的与较大的残差平方和（自由度均为）。（2）将序列中间的c个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的

两个子样本，每个子样样本容量均为,这样做主要是为了突出小方差样本和大方差样本之间的差异。第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日步骤（4）在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量：

（5）给定显著性水平，确定临界值。若则拒绝同方差性假设，表明原模型随机干扰项存在异方差性。当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。，第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日注意：1）G-Q检验结果有时要依赖于省略的样本个数c的大小。根据蒙特卡洛试验结果和实际经验，Judge等人建议若n为30左右，c取4；若n为60左右，c取10。2）G-Q检验需要按照某一被认为有可能引起异方差的解释变量

观察值的大小排序，因此，可能需要对各个解释变量进行轮

流试验，而且它只适合检验单调递增或递减型异方差。第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日四、F检验考虑我们常用的多元线性回归模型假定该模型满足高斯马尔科夫假设，特别地我们假设OLS估计依然是无偏、一致估计第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日同方查差假设意味着等价于只需检验是否与一个或多个解释变量相关，可估计如下方程然后检验该方程的总体显著性，统计量为第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日五、拉格朗日乘子检验(6-11)用于检验异方差的LM统计量可以通过下式得到步骤（1）用OLS估计模型，得到OLS回归残差平方序列。（2）对（6-9）进行回归，记下回归得到的拟合优度。（4）如果BP检验的P值很小，那就应该采取一些纠正的措施，一个可能的

措施就是用异方差稳健标准差和前面讨论过的检验统计量。（3）计算LM统计量相应的P值（查分布表得到的概率），如果P值足够小，即小于给定的显著性水平的话，那么我们就拒绝同方差的零假设。第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日六、怀特检验与多个解释变量可能存在非线性关系范围：下面以两个解释变量的回归模型为例来说明怀特检验的基本思想与步骤。例：对于二元回归模型（6-12）

先做OLS回归，再做如下辅助回归相应的LM统计量为可在大样本情况下进行检验，也可用F统计量进行检验当辅助回归中的解释变量较多时，可去掉交叉项或用被解释变量的预测估计值做解释变量第三十页，共五十二页，2022年，8月28日例6-5一个异方差检验的说明性例子给定如下农村居民人均消费函数回归模型：（6-14）相关数据如表6-1。

Y表示农村家庭人均消费支出，表示从事农业经营的收入，表示其他收入。第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日地区人均消费支出Y农业经营收入X1其他收入X2地区人均消费支出Y农业经营收入X1其他收入X2北京天津河北山西内蒙古辽宁吉林黑龙江上海江苏浙江安徽福建江西山东河南3552.12050.91429.81221.61554.61786.31661.71604.54753.22374.73479.21412.42503.1172019051375.6579.11314.6928.8609.81492.81254.31634.61684.1652.51177.6985.81013.110531027.812931083.84446.42633.11674.81346.2480.51303.6547.6596.25218.42607.23596.61006.92327.71203.81511.61014.1湖北湖南广东广西海南重庆四川贵州云南西藏陕西甘肃青海宁夏新疆2703.361550.621357.431475.161497.521098.391336.251123.711331.031127.371330.451388.791350.232703.361550.621242.91068.81386.7883.2919.3764889.4589.6614.8621.6803.8859.61300.11242.91068.82526.9875.6839.810881067.7647.8644.3814.4876887753.5963.4410.32526.9875.6表6-1中国2001年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出单位：元第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日例6-5一个异方差检验的说明性例子给定如下农村居民人均消费函数回归模型：（6-14）相关数据如表6-1。

Y表示农村家庭人均消费支出，表示从事农业经营的收入，表示其他收入。下面利用表6-1中中国2001年各地区农村居民家庭人均纯收入及消费支出的相关数据对（6-14）式进行OLS估计，然后再进行异方差性检验。第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日OLS估计结果如下：估计结果表明，其他收入的增长对人均消费支出增长的影响大于农业收入增长对人均消费支出的增长。接下来我们进行异方差性检验。

第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日可以认为不同地区农村人均消费支出的差别主要来源于非农经营收入及其他收入的差别，因此如果存在异方差，则可能是X2引起的。观察残差平方项e2与lnX2的散点图:第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日G-Q检验:1、将原始数据按X2排成升序，去掉中间的5个数据，得到两个容量各为13的子样本。２、对两个子样本分别做OLS回归，得到各自的残差平方和RSS1和RSS2。子样本１：子样本２：

第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日３、计算F统计量。在5%的显著性水平下，自由度为（10,10）的F分布的临界值为F0.05(10,10)=2.97，因此G-Q检验在5%的显著性水平下拒绝两组样本存在同方差的假定，原模型中lnX2可能带来递增型的异方差。检验结果：F检验、LM检验、怀特检验第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日第四节异方差性的修正一、异方差稳健推断二、加权最小二乘法第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日一、异方差稳健推断调整标准差、t统计量、F统计量、LM统计量以使得他们在存在未知形式的异方差时仍然有用。这就意味着可以报告新的有用统计量，这种方法就是异方差稳健推断（Heteroskedasticity-RobustInference）。

定义：我们先看看在异方差情况下，怎样推断参数估计量的方差。

第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日考虑第二节中的一元线性回归模型，如下（6-16）对于该模型，我们假定除同方差假设外，其他的基本假设都成立。如果模型随机误差项包含异方差，那么有（6-17）这一异方差取决于的值。第四十页，共五十二页，2022年，8月28日该模型参数的OLS估计量可以写为（6-18）（6-19）在异方差下，容易证明的方差为当时，上式就是满足同方差假设下OLS估计的的方差。

（6-20）用表示初始的Y对X进行OLS回归后得到的残差，那么对于任何形式的的恰当估计量为异方差（包括同方差）而言，第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日对于一般的多元回归模型（6-21）假定随机误差项除了是异方差外，其他基本假设满足，可以证明的恰当估计量为（6-22）这里为来自用对所有其他的解释变量进行回归得到的第i个残差，是该回归的残差平方和。

据式（6-20）、（6-22）可求得异方差稳健标准差第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日

有了异方差稳健标准差，可以很方便的求得异方差稳健t统计量，还可以计算相应的F、LM统计量。异方差稳健LM统计量的计算步骤概括如下：对受限模型进行OLS回归得到回归残差；(2)分别把在零假设下每一个被排除的自变量对其余未被排除的自变量进行

回归，如果有q个被排除的变量，那么将得到q个残差序列（）；(3)求出每个残差序列和的乘积；(4)用虚变量1对进行回归（不包括截距）得到残差平方和，进而可以计算得到LM统计量为。在零假设下，LM分布。统计量近似服从第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日二、加权最小二乘法加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS法估计其参数。定义：基本思想：在采用OLS方法时，对较小的残差平方赋予较大的权重，对较大的赋予较小的权重，以对残差提供的信息的重要程度作一番修正，提高参数估计的精确程度。第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日不同形式的异方差要求用不同的加权方法来处理。（一）异方差为已知的解释变量的某一函数形式时

的加权最小二乘估计（二）异方差形式未知时的估计—可行的加权最小二乘法第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日（一）异方差为已知的解释变量的某一函数形式时的加权最小二乘估计对于多元回归模型 (6-23)用代表所有的解释变量，我们假定第i个随机误差的方差为如下形式其中是某些导致异方差的解释变量观察值的函数。该式表明去除原模型，使之变成如下形式的新模型：随机干扰项的方差与某些解释变量之间存在相关性，那么我们可以用第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日进一步改写为：(6-24)其中，其余类似。在(6-24)式中，随机误差项的方差为第四十七页，共五十二页，2022年，8月28日上面的加权最小二乘例子实际上就是对加了权的残差平方和实施OLS估计，即求解