第四节 聚类分析方法

第四节聚类分析方法第一页，共七十五页，2022年，8月28日什么叫聚类分析聚类（Clustering）就是将数据分组成为多个类（Cluster）。在同一个类内对象之间具有较高的相似度，不同类之间的对象差别较大。第二页，共七十五页，2022年，8月28日聚类的应用领域经济领域：帮助市场分析人员从客户数据库中发现不同的客户群，并且用购买模式来刻画不同的客户群的特征。谁喜欢打国际长途，在什么时间，打到那里？对住宅区进行聚类，确定自动提款机ATM的安放位置股票市场板块分析，找出最具活力的板块龙头股企业信用等级分类……生物学领域推导植物和动物的分类；对基因分类，获得对种群的认识数据挖掘领域作为其他数学算法的预处理步骤，获得数据分布状况，集中对特定的类做进一步的研究第三页，共七十五页，2022年，8月28日聚类分析中“类”的特征：A、聚类所说的类不是事先给定的，而是根据数据的相似性和距离来划分B、聚类的数目和结构都没有事先假定聚类方法的目的是寻找数据中：潜在的自然分组结构astructureof“natural”grouping感兴趣的关系relationship聚类分析原理介绍第四页，共七十五页，2022年，8月28日一

聚类分析原理研究多要素事物分类问题的数量方法，是定量地研究地理事物分类问题和地理分区问题的重要方法。聚类分析第五页，共七十五页，2022年，8月28日基本原理：根据样本自身属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按照这种亲疏关系程度对样本进行聚类。常见的聚类分析方法：

系统聚类法、动态聚类法、模糊聚类法等。

第六页，共七十五页，2022年，8月28日

又称聚类因子，它是聚类分析对象的各特征值，直接影响分类结果的准确性和可靠性（例：班级的优劣的评定）。

在土地利用规划分区中，为了使分区更加合理可行，必须首先建立起土地利用规划分区指标体系。二、系统聚类法1、聚类分析对象的确定聚类单元的选择应合理和具有可操作性2、聚类要素的选择第七页，共七十五页，2022年，8月28日土地利用规划分区指标体系分三大类：（1）土地开发利用程度：土地利用率、垦殖指数、园地指数、林地指数、牧草地指数、居民点及工矿用地指数、交通用地指数、水域指数。（2）土地集约经营程度：人口密度、人均耕地、人口城镇化水平。（3）土地利用效果：

人均粮食、粮食单产、单位土地农业社会总产值、单位土地工业总产值。第八页，共七十五页，2022年，8月28日

被聚类对象常常是多个要素构成的，不同要素的数据往往具有不同的单位和量纲。因此在进行聚类分析之前，首先要对聚类要素进行标准化处理。3、聚类要素的数据处理第九页，共七十五页，2022年，8月28日例4：下表给出了某地区九个农业区的七项指标区代号人均耕地X1/（hm2·人-1）劳均耕地X2/（hm2·个-1

）水田比重X3/%复种指数x4/%粮食单产x5/（kg·hm-2）人均粮食x6/（kg·人-1

）稻谷占粮食比重x7/%G10.2941.0935.63113.64510.51036.412.2G20.3150.9710.3995.12773.5683.70.85G30.1230.3165.28148.56934.5611.16.49G40.1790.5270.391114458632.60.92G50.0810.21272.04217.812249791.180.38G60.0820.21143.78179.68973636.548.17G70.0750.18165.15194.710689634.380.17G80.2930.6665.3594.93679.5771.77.8G90.1670.4142.994.84231.5574.61.17第十页，共七十五页，2022年，8月28日聚类对象要素x1x2

…xj

…xn12…i…mx11x12

…x1j

…x1nx21x22

…x2j

…x2n…

…

…

…

…

…

xi1xi2

…xij

…xin

…

…

…

…

…

…

xm1xm2

…xmj

…xmn

假设有m个聚类对象，每一个聚类对象都有x1，x2，…，xn个要素构成，它们所对应的要素数据用下表给出：第十一页，共七十五页，2022年，8月28日（2）标准差标准化

总和标准化分别求出各聚类要素所对应的数据的总和，以各要素的数据除以该要素的数据的总和，即第十二页，共七十五页，2022年，8月28日（3）极大值标准化（4）极差标准化第十三页，共七十五页，2022年，8月28日例4：下表给出了某地区九个农业区的七项指标区代号人均耕地X1/（hm2·人-1）劳均耕地X2/（hm2·个-1

）水田比重X3/%复种指数x4/%粮食单产x5/（kg·hm-2）人均粮食x6/（kg·人-1

）稻谷占粮食比重x7/%G10.2941.0935.63113.64510.51036.412.2G20.3150.9710.3995.12773.5683.70.85G30.1230.3165.28148.56934.5611.16.49G40.1790.5270.391114458632.60.92G50.0810.21272.04217.812249791.180.38G60.0820.21143.78179.68973636.548.17G70.0750.18165.15194.710689634.380.17G80.2930.6665.3594.93679.5771.77.8G90.1670.4142.994.84231.5574.61.17第十四页，共七十五页，2022年，8月28日用极差标准化处理后得区代号

x1x2x3x4x5x6x7

G1G2G3G4G5G6G7G8G90.911.000.070.150.181.000.141.000.870.000.000.000.240.000.200.150.070.440.440.080.070.440.380.000.130.180.130.000.030.031.001.001.000.451.000.030.030.610.690.650.130.590.000.000.900.810.840.131.000.910.530.070.000.100.430.090.380.260.040.000.150.000.00

第十五页，共七十五页，2022年，8月28日4、距离的计算

距离是事物之间差异性的测度，是系统聚类分析的依据和基础，常见的距离包括（1）绝对值距离

式中，dij代表第i个对象与第j个对象之间的距离；xik代表第i个对象第k个要素的特征；xjk代表第j个对象第k个要素的特征值；k代表要素个数。第十六页，共七十五页，2022年，8月28日

（2）欧氏距离（3）明科夫斯基距离（4）切比雪夫斯基距离

当明科夫斯基距离P→∞时，有第十七页，共七十五页，2022年，8月28日

根据例4的数据，用绝对值距离计算出九个农业区之间的绝对值距离矩阵如下：

第十八页，共七十五页，2022年，8月28日5、聚类分析

如何选取类间相似度量或距离是非常重要，它是两类聚合为一类的依据。常用的方法有直接聚类法、最短距离法、最大距离法、类平均距离法等。（1）直接聚类法

直接聚类法，是根据距离矩阵的结构一次并类得到结果，是一种简便的聚类方法。第十九页，共七十五页，2022年，8月28日具体方法先把各个分类对象单独视为一类，然后根据距离最小的原则，依次选出一对对象，并成新类。如果其中一个分类对象已归于一类、则把另一个也归入该类；如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类。每一次归并，都划去该对象所在的列和与列序相同的行。经过m-1次就可以把分类对象归为一类。这样就可以根据归并的先后顺序作出聚类谱系图。第二十页，共七十五页，2022年，8月28日

根据例4的距离矩阵，用直接聚类法对该地区九个区进行聚类分析step1在距离矩阵D中，除对角线元素外，d49=d94=0.51为最小，故将第四区和第九区并为一类，划去第九行和第九列step2在余下的元素中。除对角线元素外，d75=d57=0.83为最小。将第五区和第七区并为一类，划去第七行和第七列第二十一页，共七十五页，2022年，8月28日用绝对值距离计算出九个农业区之间的绝对值距离矩阵如下：第二十二页，共七十五页，2022年，8月28日step3在第二步之后余下的元素中，除对角线元素外，d82=d28=0.88最小，将第二区和第八区并为一类，划去第八行和第八列step4在第三步之后余下的元素中，除对角线元素外，d43=d34=1.23为最小，将第三区和第四区并为一类，划去第四行和第四列，此时第3、4、9区已并为一类第二十三页，共七十五页，2022年，8月28日step6在第五步之后余下的元素中，除对角线元素外，d65=d56=1.78为最小，将第五区和第六区并为一类，划去第六行和第六列，此时5、6、7区已并为一类。step5在第四步之后余下的元素中，除对角线元素外，d21=d12=1.52为最小，将1、2区并为一类，划去第二行和第二列，此时第1、2、8区已并为一类。第二十四页，共七十五页，2022年，8月28日step8在第七步之后余下的元素中除对角线元素外d51=d15=5.86为最小，将第一区和第五区并为一类，划去第五行和第五列。此时第1、2、3、4、5、6、7、8、9区已并为一类。step7在第六步之后余下的元素中，除对角线元素外，d31=d13=3.10为最小，将第一区和第三区并为一类，划去第三行和第三列。此时第1、2、3、4、8、9区已并为一类。第二十五页，共七十五页，2022年，8月28日直接聚类谱系图得出聚类谱系图G1G2G8G3G4G9G5G7G612345678第二十六页，共七十五页，2022年，8月28日

计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到一个新的(m-1)阶的距离矩阵；再从新的距离矩阵中选出最小者dij，把Gi和Gj归并成新类；再计算各类与新类的距离，这样一直下去，直至各分类对象被归并为一类。（2）最短距离法

最短距离法，是在原来的m×m距离矩阵的非对角线元素中找出dpq=min{dij}，把分类对象Gp和Gq归并为新的一类Gr，然后按计算公式drk=min{dpk,dqk}(k≠p,q)第二十七页，共七十五页，2022年，8月28日

根据例4的距离矩阵，用最短距离法对该地区九个区进行聚类分析

第一步，在9×9阶距离矩阵D中，非对角线元素中最小者是d94=0.51，故先将第四区和第九区并为一类，记为G10,即G10={G4

，G9}。按照上述公式分别计算G1，G2、G3、G5、G6、G7、G8与G10之间的距离：第二十八页，共七十五页，2022年，8月28日第二十九页，共七十五页，2022年，8月28日d1,10=min{d14,d19}=min{2.19,2.62}=2.19d2,10=min{d24,d29}=min{1.47,1.66}=1.47d3,10=min{d34,d39}=min{1.23,1.20}=1.20d5,10=min{d54,d59}=min{4.77,4.84}=4.77d6,10=min{d64,d69}=min{2.99,3.06}=2.99d7,10=min{d74,d79}=min{4.06,3.32}=3.32d8,10=min{d84,d89}=min{1.29,1.40}=1.29第三十页，共七十五页，2022年，8月28日这样就得到一个新的8×8阶距离矩阵：第三十一页，共七十五页，2022年，8月28日

第二步，在上一步所得到的8×8阶距离矩阵中非对角线元素中最小者为d57=0.83，故将G5与G7归并为一类，记为G11，即G11={G5，G7}。按照最短距离公式分别计算G1、G2、G3、G6、G8、G10与G11之间的距离,得到一个新的7×7阶距离矩阵：第三十二页，共七十五页，2022年，8月28日第三十三页，共七十五页，2022年，8月28日

第三步，在第二步所得到的7×7阶距离矩阵中非对角线元素中最小者为d28=0.88，故将G2与G8归并为一类，记为G12，即G12={G2，G8}。按照最短距离公式分别计算G1、G3、G6、G10、G11与G12之间的距离,得到一个新的6×6阶距离矩阵：第三十四页，共七十五页，2022年，8月28日第三十五页，共七十五页，2022年，8月28日

第四步，在第三步所得到的6×6阶距离矩阵中非对角线元素中最小者为d6，11=1.07，故将G6与G11归并为一类，记为G13，即G13={G6，G11}={G6，（G5，G7）}。按照最短距离公式分别计算G1、G3、G10、G12与G13之间的距离,得到一个新的5×5阶距离矩阵：第三十六页，共七十五页，2022年，8月28日第三十七页，共七十五页，2022年，8月28日

第五步，在第四步所得到的5×5阶距离矩阵中非对角线元素中最小者为d3，10=1.20，故将G3与G10归并为一类，记为G14，即G14={G3，G10}={G3，（G4，G9）}。按照最短距离公式分别计算G1、G12、G13与G14之间的距离,得到一个新的4×4阶距离矩阵：第三十八页，共七十五页，2022年，8月28日第三十九页，共七十五页，2022年，8月28日

第六步，在第五步所得到的4×4阶距离矩阵中非对角线元素中最小者为d12，14=1.29，故将G12与G14归并为一类，记为G15，即G15={G12，G14}={（G2，G8），（G3，（G4，G9））}。按照最短距离公式分别计算G1、G13与G15之间的距离,得到一个新的3×3阶距离矩阵：第四十页，共七十五页，2022年，8月28日

第七步，在第六步所得到的3×3阶距离矩阵中非对角线元素中最小者为d1，15=1.32，故将G1与G15归并为一类，记为G16，即G16={G1，G15}={G1，（（G2，G8），（G3，（G4，G9）））}。按照最短距离公式分别计算G13与G16之间的距离,得到一个新的2×2阶距离矩阵：第四十一页，共七十五页，2022年，8月28日

第八步，将G13与G16归并为一类。此时，所有分类对象均被归并为一类。综合上述过程，可以作出最短距离聚类谱系图：G6G5G7G3G4G9G8G2G1

最短距离聚类谱系图24513678第四十二页，共七十五页，2022年，8月28日6、计算类之间距离的统一公式

第四十三页，共七十五页，2022年，8月28日第四十四页，共七十五页，2022年，8月28日当α、β、γ三个参数取不同的值时，就形成了不同的聚类方法（见表），在表中，np是p类中单元的个数，nq是q类中单元的个数，nr=np+nq；β一般取负值。

系统聚类其他方法的公式：（）

第四十五页，共七十五页，2022年，8月28日方法名称参数D矩阵要求空间性质apaq

βγ最短距离1/21/20-1/2各种D压缩最远距离1/21/201/2各种D扩张中线法1/21/2-1/4≤β≤00欧氏距离保持重心法0欧氏距离保持组平均法00各种D保持距离平方和法0欧氏距离压缩可变数平均法<10各种D不定可变法

<1

0各种D扩张第四十六页，共七十五页，2022年，8月28日七、实例分析表给出了某农业生态经济系统各个区域单元的有关数据，下面我们运用系统聚类法，对该农业生态经济系统进行聚类分析，步骤如下：①用标准差标准化方法，对9项指标的原始数据进行处理；②采用欧氏距离测度21个区域单元之间的距离；③选用组平均法，计算类间的距离，依据不同的聚类标准（距离），对各样本（各区域单元）进行聚类，并作出聚类谱系图。第四十七页，共七十五页，2022年，8月28日1363.9120.35216.101192.11295.3426.72418.4922.23126.2622141.5031.68424.3011752.35452.2632.31414.4641.45527.0663100.6951.06765.6011181.54270.1218.2660.1627.47412.4894143.7391.33633.2051436.12354.2617.48611.8051.89217.5345131.4121.62316.6071405.09586.5940.68314.4010.30322.932668.3372.03276.2041540.29216.398.1284.0650.0114.861795.4160.80171.106926.35291.528.1354.0630.0124.862862.9011.65273.3071501.24225.2518.3522.6450.0343.201986.6240.84168.904897.36196.3716.8615.1760.0556.1671091.3940.81266.502911.24226.5118.2795.6430.0764.4771176.9120.85850.302103.52217.0919.7934.8810.0016.1651251.2741.04164.609968.33181.384.0054.0660.0155.4021368.8310.83662.804957.14194.049.1104.4840.0025.7901477.3010.62360.102824.37188.0919.4095.7215.0558.4131576.9481.02268.0011255.42211.5511.1023.1330.0103.4251699.2650.65460.7021251.03220.914.3834.6150.0115.59317118.5050.66163.3041246.47242.1610.7066.0530.1548.70118141.4730.73754.206814.21193.4611.4196.4420.01212.94519137.7610.59855.9011124.05228.449.5217.8810.06912.65420117.6121.24554.503805.67175.2318.1065.7890.0488.461样本序号x1：人口密度(人/km2)x2：人均耕地面积(ha)x3：森林覆盖率(%)x4：农民人均纯收入(元/人)x5：人均粮食产量

(kg/人)x6：经济作物占农作物播面比例(％)x7：耕地占土地面积比率(％)x8：果园与林地面积之比(％)x9：灌溉田占耕地面积之比(％)21122.7810.73149.1021313.11236.2926.7247.1620.09210.078第四十八页，共七十五页，2022年，8月28日从聚类分析谱系图（图）可以看出，在不同的聚类标准（距离）下，聚类结果不同，当距离标准逐渐放大到时，21个区域单元被依次聚类。当距离为0时，每个样本为单独的一类；当距离为5，则21个区域单元被聚为16类；当距离为10，则21个区域单元被聚为9类；当距离为15，则21个区域单元被聚为5类；当距离为20，则21个区域单元被聚为3类；最终，当聚类标准（距离）扩大到25时，21个区域单元被聚