第四章线性系统的根轨迹法

第四章线性系统的根轨迹法第一页，共七十七页，2022年，8月28日4.1根轨迹法的基本概念一、根轨迹定义开环传递函数的某个参数由0~∞时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。例1：如图所示二阶系统，试绘制其根根轨迹。解：系统开环传递函数为：闭环传递函数：-第二页，共七十七页，2022年，8月28日jw-2-112-1-2s闭环特征方程为：特征根为：[讨论]：.........当K=0时，s1=0,s2=-2当K=0.125时，s1=-0.13,s2=-1.866当K=0.25时，s1=-0.29,s2=-1.707当K=0.5时，s1=-1,s2=-1当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j当K=2.5时，s1=-1+2j,s2=-1-2j……当K=∞时，s1=-1+j∞,s2=-1-j∞第三页，共七十七页，2022年，8月28日二.根轨迹与系统性能1.稳定性根轨迹不会穿越虚轴进入右半s平面，则系统稳定，如果根轨迹越过虚轴进入s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。jw-2-112-1-2s.........2.稳态性能由坐标原点处的极点数确定系统类型；若给定系统的稳态误差要求，则可以确定闭环极点位置的容许范围。第四页，共七十七页，2022年，8月28日3.动态性能K=0→∞时，根轨迹均在时s平面的左半部分，系统始终稳定；(1)0<K<0.5时，两个负实根，过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；(2)K=0.5时，相同负实根，临界阻尼系统，阶跃响应仍为非周期过程；(4)K>0.5时，一对共轭复根，欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。问题在于逐点计算工作量大，若要更有效的绘制根轨迹就必须找出绘根轨迹的规律…jw-2-112-1-2s.........第五页，共七十七页，2022年，8月28日三、闭环零极点与开环零极点的关系典型闭环系统结构图前向通路传函：KG*--前向通路根轨迹增益KH*--反馈通路根轨迹增益反馈通路传函：第六页，共七十七页，2022年，8月28日开环传递函数：K*--开环系统根轨迹增益闭环传递函数为：第七页，共七十七页，2022年，8月28日(1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。(2)闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。(3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。结论第八页，共七十七页，2022年，8月28日四、根轨迹方程闭环特征方程：--根轨迹方程五、模值条件方程和相角条件方程第九页，共七十七页，2022年，8月28日模值条件：相角条件：注释：1.根轨迹上的点应同时满足上两个方程；2.相角条件方程与K*无关，模值方程才与K*相关；3.模值条件用来确定对应的K*；4.相角条件是决定根轨迹的充要条件，s平面上一点s1若满足相角条件即为根轨迹上的一点。第十页，共七十七页，2022年，8月28日绘制根轨迹方法：1.试探法：任选s1点看是否满足相角条件；2.按基本规则(如下节讲述)手工绘制；3.用计算机绘制。[一些约定]：

在根轨迹图中，“×”表示开环极点，“○”表示开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“.”表示根轨迹上的点。第十一页，共七十七页，2022年，8月28日4.2根轨迹绘制的基本法则一、绘制根轨迹的基本法则法则1.根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，若n>m，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。第十二页，共七十七页，2022年，8月28日K*=0时必有K*=∞时必有--起点--终点若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里？答案：在无穷远处。n-m个无限远零点第十三页，共七十七页，2022年，8月28日法则2.根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数与开环有限零点m和有限极点n中的大者相等，它们是连续的且对称于实轴。根轨迹的分支数与开环极点数n相等(n>m)，或与开环有限零点数m相等(n<m)。根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复数。第十四页，共七十七页，2022年，8月28日法则3.实轴上的根轨迹如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。[证明]1.s1点与p3、p4的向量的相角之和q

1+q

2=0°2.s1点与z1、z2的向量的相角之和q

3+q4=0°3.s1点与p2的向量的相角为0°4.s1点与p1的向量的相角为180°s1点满足根轨迹相角条件，因此[p2,p1]为实轴上的根轨迹。s2、s3：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。试验点s1点第十五页，共七十七页，2022年，8月28日例1.设系统的开环传递函数为：试求实轴上的根轨迹。解：零极点分布如下：p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2实轴上根轨迹为：[-1，0]、[-3，-2]和(-∞，-4]jwsoo第十六页，共七十七页，2022年，8月28日法则4.根轨迹的渐近线n>m时：n-m条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处。与实轴的交点：与实轴的夹角：0000第十七页，共七十七页，2022年，8月28日例2.系统开环传递函数为：，试确定根轨迹分支数、起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和夹角。解：根轨迹有3条；起点为开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-5；因无有限值零点，所以3条根轨迹都趋向无穷远。与实轴的交点：与实轴的夹角：零极点分布和渐近线如图所示：第十八页，共七十七页，2022年，8月28日法则5.根轨迹的分离点与分离角若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。闭环特征方程有重根。jw-2-112-1-2s分离点A--分离点B--会合点分离角：l--根轨迹分支数第十九页，共七十七页，2022年，8月28日求取分离点的方法(1)用试探法求解：若系统无有限零点：例3[例4-1].系统结构图如图所示，试绘制该系统概略根轨迹。1.开环零极点：解：第二十页，共七十七页，2022年，8月28日3.渐近线：2.实轴上的根轨迹：[-3,-2][-1,0]4.分离点：实轴区域[-2,-3]必有一个根轨迹的分离点d，d满足分离点方程：解得：第二十一页，共七十七页，2022年，8月28日(2)极值法第二十二页，共七十七页，2022年，8月28日(3)牛顿余数定理法步骤：(1)求出；(2)设；(3)在其分离点可能出现的实轴坐标附近找一试探点s1；(4)用(s-s1)去除P(s)，得到商Q(s)、余数R1；(5)用(s-s1)去除Q(s)，得到余数R2；(6)计算s2=s1-R1/R2；(7)将s2作为新的试探点重复步骤(4)~(6)。第二十三页，共七十七页，2022年，8月28日例4.试用牛顿余数定理法确定例3的分离点。解：因[-3,-2]内必有分离点，所以选s1=-2.5。第二十四页，共七十七页，2022年，8月28日所以，分离点为-2.47。第二十五页，共七十七页，2022年，8月28日例5.单位反馈系统的开环传递函数为：试确定实轴上根轨迹的分离点。解：实轴上根轨迹区间是：(-∞,-5][-1,0]显然，分离点为-0.4725，而-3.5275不是分离点。闭环特征方程为：(舍去)(1)极值法第二十六页，共七十七页，2022年，8月28日因[-1,0]内必有分离点，所以选s1=-0.5。所以，分离点为-0.472。(2)牛顿余数定理法第二十七页，共七十七页，2022年，8月28日法则6.根轨迹的起始角和终止角起始(出射)角θpi

：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角。第二十八页，共七十七页，2022年，8月28日终止(入射)角jzi：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。第二十九页，共七十七页，2022年，8月28日例6.如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的起始角。p1=-1+j1，p2=-1-j1，p3=0，p4=-3，z1=-2根据对称性，可知p2点的出射角为：注意：相角要注意符号：逆时针为正，顺时针为负；注意矢量的方向。解：tanj1=1j1=45°θ2=90°θ3=135°tanθ4=0.5θ4=26.6°取k=0(考虑到周期性)：θp1=-26.6°θp2=

-θp1=26.6°第三十页，共七十七页，2022年，8月28日例7[例4-3].系统开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。3.渐近线：解：2.实轴上的根轨迹：1.开环零极点：n-m=1，只有一条180o渐进线。4.分离点：无分离点。(－∞，-2.5][-1.5，0]第三十一页，共七十七页，2022年，8月28日-1-2108.5°90°59°37°19°56.5°起始角：5.起始角和终止角：第三十二页，共七十七页，2022年，8月28日90°121°153°199°63.5°117°终止角：第三十三页，共七十七页，2022年，8月28日概略根轨迹图第三十四页，共七十七页，2022年，8月28日法则7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根，这时的增益称为临界根轨迹增益。交点和临界根轨迹增益的求法：(1)由劳斯稳定判据求解；(2)令s=jw，代入闭环特征方程中，使实、虚部分别为零，求出w和K*。第三十五页，共七十七页，2022年，8月28日解：方法一例8.，试求根轨迹与虚轴的交点。K*=0

w=0

舍去(根轨迹的起点)

与虚轴的交点:闭环系统的特征方程为：s=jw第三十六页，共七十七页，2022年，8月28日方法二：用劳思稳定判据确定交点的值。劳思表为：s2的辅助方程：K*

=30当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。即第三十七页，共七十七页，2022年，8月28日法则8.根之和当n-m≥2时：对于任意的K*闭环极点之和等于开环极点之和为常数。表明：当K*变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动(变大)，则另一些极点必然向左移动(变小)。该规则的作用：(1)定性判断根轨迹的走向；(2)已知几个闭环根可以求出其他一个或两个根。第三十八页，共七十七页，2022年，8月28日小结需掌握绘制根轨迹的8个准则根轨迹的起点和终点；根轨迹的分支数、对称性和连续性；实轴上根轨迹；根轨迹的渐近线；根轨迹的分离点与分离角；根轨迹的起始角和终止角；根轨迹与虚轴的交点；根之和。第三十九页，共七十七页，2022年，8月28日1.标注开环极点和零点(纵、横坐标用相同的比例尺)；2.实轴上的根轨迹；3.n-m条渐近线；4.根轨迹的起始角和终止角；5.根轨迹与虚轴的交点；6.根轨迹的分离点；结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的分支数、起始点和终点、根之和等性质画出根轨迹。根轨迹作图步骤第四十页，共七十七页，2022年，8月28日例9[例4-4]系统开环传递函数如下，试绘制该系统概略根轨迹。3.渐近线：4.起始角：1.开环零极点：2.实轴上的根轨迹：解：[-3，0]第四十一页，共七十七页，2022年，8月28日5.分离点：6.与虚轴的交点：劳思表为：第四十二页，共七十七页，2022年，8月28日当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。即K*

=8.16s2的辅助方程：概略根轨迹图第四十三页，共七十七页，2022年，8月28日3.渐近线：例10.开环传递函数为：

，试绘制该系统概略根轨迹。4.起始角：1.开环零极点：2.实轴上的根轨迹：解：(－∞，0]第四十四页，共七十七页，2022年，8月28日5.与虚轴的交点：特征方程：s=jω---舍去(起点)第四十五页，共七十七页，2022年，8月28日6.分离点：由图可知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离点。特征方程：概略根轨迹图第四十六页，共七十七页，2022年，8月28日开环极点、零点分布及其相应的根轨迹第四十七页，共七十七页，2022年，8月28日二、闭环极点的确定上面绘制根轨迹的基本原则，可以简便地绘制系统根轨迹的大致图形。为了得到准确的根轨迹曲线，必要时可以选取若干个试验点，用相角条件去检验。方法：根据模值条件先用试探法确定实数闭环极点的数值；用综合除法得到其余闭环极点。第四十八页，共七十七页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹--以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹一、参数根轨迹在控制系统中，除根轨迹增益K*以外，其它情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。闭环特征方程：变换当系统有两个参数变化时，所绘出的根轨迹称谓根轨迹簇。等效开环传递函数：利用此式画出的根轨迹，就是以参数A为变量的参数根轨迹。第四十九页，共七十七页，2022年，8月28日列出系统的闭环特征方程；以特征方程中不含参变量的各项除特征方程，得等效的系统根轨迹方程。该参数称为等效系统的根轨迹增益；用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。绘制参数根轨迹的步骤第五十页，共七十七页，2022年，8月28日-[解]：例1：绘制如下系统以a为参数的根轨迹。闭环特征方程为：等效的开环传递函数为：1.开环零极点：2.实轴上的根轨迹：(－∞，0]第五十一页，共七十七页，2022年，8月28日3.渐近线：4.初始角：5.分离点：-2-10-2-1012第五十二页，共七十七页，2022年，8月28日例2[例4-7]设单位反馈系统的开环传递函数如下，其中开环增益可自行选定。试分析时间常数Ta对系统性能的影响。[解]：闭环特征方程为：第五十三页，共七十七页，2022年，8月28日等效开环极点：选定不同K值，然后将G1(s)的零、极点画在s平面上，再令Ta=0®

¥绘制出Ta变化时的参数根轨迹。等效的开环传递函数为：第五十四页，共七十七页，2022年，8月28日参数根轨迹簇第五十五页，共七十七页，2022年，8月28日二、附加开环零、极点的作用根轨迹的形状、位置完全取决于系统的开环零、极点，因此可以通过增加开环零、极点来改造根轨迹，从而实现改善系统的目的。1.增加开环极点一般说，在s左半平面增加极点，对根轨迹的影响：(1)改变根轨迹在实轴上的分布；(2)改变根轨迹渐近线的条数、倾角；(3)改变根轨迹的分支数；(4)促使根轨迹右移，降低系统的相对稳定性。第五十六页，共七十七页，2022年，8月28日实例(1)增加一个实数极点轨迹向右弯曲，极点对系统稳定不利，极点越靠近虚轴影响越大。稳定K*小时稳定K*大时可能不稳定第五十七页，共七十七页，2022年，8月28日(2)增加一对共轭复数极点第五十八页，共七十七页，2022年，8月28日2.增加开环零点增加开环零点对根轨迹的影响：(1)改变根轨迹在实轴上的分布；(2)改变根轨迹渐近线的条数、倾角；(3)若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近，构成开环偶极子，则两者相互抵消(因此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点)；(4)促使根轨迹左移，系统的稳定性增强。第五十九页，共七十七页，2022年，8月28日(1)增加一个实数零点增加的零点使根轨迹左偏，对系统稳定有利，越靠近虚轴影响越大。实例第六十页，共七十七页，2022年，8月28日(2)增加一对轭复数零点第六十一页，共七十七页，2022年，8月28日三、零度根轨迹常规根轨迹的相角条件：(2k+1)p=180o+2kp--180o根轨迹零度根轨迹的相角条件：2kp=0o+2kp零度根轨迹的来源：1.非最小相位系统(系统在s平面的右半侧有开环零极点)中包含s最高次幂的系数为负的因子；2.控制系统中包含有正反馈内回路。负反馈系统根轨迹称为180o根轨迹或简称为根轨迹；正反馈系统根轨迹称为0o根轨迹。因此：第六十二页，共七十七页，2022年，8月28日零度根轨迹的绘制+闭环传递函数：根轨迹方程：模值条件：相角条件：第六十三页，共七十七页，2022年，8月28日绘制0度根轨迹的准则(修改的准则)法则3.实轴上的根轨迹：法则4.渐近线的夹角：法则6.初始角和终止角：初始角：终止角：其右侧实轴上的开环零、极点个数之和为偶数(包括0)的区域。第六十四页，共七十七页，2022年，8月28日例1：设单位正反馈系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。1.开环零极点：[解]：2.实轴上：3.渐近线：p1=0p2=-1p3=-5[-5，-1][0，+∞)第六十五页，共七十七页，2022年，8月28日4.分离点：根轨迹图第六十六页，共七十七页，2022年，8月28日例2[例4-8]设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别如下，试绘制该回路的根轨迹图。1.开环零极点：[解]：2.实轴上：3.渐近线：(-，-3]，[-2，+)第六十七页，共七十七页，2022年，8月28日4.分离点：经整理：

5.起始角：根轨迹图6.确定临界开环增益：s=0时第六十八页，共七十七页，2022年，8月28日比较正负反馈的根轨迹方程：若开环传递函数为：则正负反馈的根轨迹方程分别为：可见，正反馈根轨迹相当于负反馈根轨迹的K*从0→-∞时的根轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得-∞<K*<+∞时的整个区间的根轨迹。第六十九页，共七十七页，2022年，8月28日正反馈(0度)根轨迹图将例1给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：负反馈(180度)根轨迹图第七十页，共七十七页，2022年，8月28日4.4系统性能的分析一、稳定性如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。二、运动形式如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。第七十一页，共七十七页，2022年，8月28日三、超调量四、调节时间调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实数绝对值s1=zwn，如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率