2021年湖南省湘潭市县麦子石中学高二数学理下学期期末试题含解析

2021年湖南省湘潭市县麦子石中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用点关于直线的对称点，且A在椭圆上，得，即得椭圆C的离心率；【详解】∵点关于直线的对称点A为，且A在椭圆上，即，∴，∴椭圆C的离心率．故选A．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．2.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C3.设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于()A．

B．C．

D．参考答案：A4.若则目标函数的取值范围是

A.[2，6]

B.[2，5]

C.[3，6]

D.[3，5]参考答案：A5.已知函数，数列，满足当时，的值域是，且，则（

）A．5

B．7

C．9

D．11参考答案：C略6.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A.

B.

C.

D.参考答案：C7.若函数的定义域和值域都是[0,1]，则等于A.

B.2

C.

D．参考答案：B略8.

840和1764的最大公约数是（

）A．84

B．

12

C．

168

D．

252参考答案：A9.如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A． B．

C．D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】设|AF1|=x，|AF2|=y，利用椭圆的定义，四边形AF1BF2为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴，即x2+y2=（2c）2=12，②由①②得x=2﹣，y=2+．设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2，∴C2的离心率是e==，故选：D．10.曲线y=ln（x+1）在x=0处的切线方程是（） A．y=x B． y=﹣x C． y﹣x D． y=2x参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为．参考答案：x+2y﹣4=0【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意可得，两式相减可得由中点坐标公式可得，，==﹣∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案为x+2y﹣4=012.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取出两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为_________。

参考答案：13.已知命题：“在平面内，周长一定的曲线围成的封闭图形中，圆的面积最大”，类比上述结论，可得到空间中的相关结论为___________。参考答案：在空间中，表面积一定的曲面围城的封闭几何体中，球的体积最大【分析】由已知中的平面内的性质：“在平面内，周长一定的曲线围成的封闭图形中，圆的面积最大”，根据平面上的线的性质类比空间的面的性质，可得空间中“表面积一定的曲面围城的封闭几何体中，体积最大是球体”，即可得到答案．【详解】根据平面中有：“在平面内，周长一定的曲线围成的封闭图形中，圆的面积最大”，利用类比推理，可得空间中“表面积一定的曲面围城的封闭几何体中，球的体积最大”【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理是依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对应的性质类比到另一类数学对象上却，其一般步骤：（1）找出两类事物的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得很一个明确的结论，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．14.定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离；现已知抛物线到直线的距离等于，则实数的值为

.参考答案：略15.阅读下面程序．若a=4，则输出的结果是．参考答案：16【考点】伪代码．【专题】计算题；分析法；算法和程序框图．【分析】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出a=的值，由a=4，即可得解．【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出a=的值，a=4不满足条件a＞4，a=4×4=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查了条件语句的程序代码，模拟执行程序代码，得程序的功能是解题的关键，属于基础题．16.定义在上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，仍是等比数列，则称f(x)为“等比函数”.现有定义在.(－∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数：①；②；③；④，则其中是“等比函数”的f(x)的序号为

参考答案：（3）（4）17.一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的侧面积为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知斜率为的直线与双曲线交于

、两点，且，求直线的方程．参考答案：

19.已知经过点A（－4，0）的动直线l与抛物线G：相交于B、C，当直线l的斜率是时，．（Ⅰ）求抛物线G的方程；（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．参考答案：解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知k1＝时，l方程为y＝(x＋4)即x＝2y－4．

由得2y2－(8＋p)y＋8＝0∴又∵∴y2＝4y1

由p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，即抛物线方程为：x2＝4y．

(2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)

由得：x2－4kx－16k＝0①∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k．

∴BC的中垂线方程为y?2k2?4k＝?(x?2k)

∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2

对于方程①由△＝16k2＋64k＞0得：k＞0或k＜－4．

∴b∈(2，＋∞)

略20.为考查某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下丢失数据的列联表:

患病未患病总计没服用药203050服用药50总计100

设从没服用药的动物中任取两只,未患病数为;从服用药物的动物中任取两只,未患病数为,工作人员曾计算过.（1）求出列联表中数据的值；（2）能够以99%的把握认为药物有效吗?参考公式：，其中；①当K2≥3.841时有95%的把握认为、有关联；②当K2≥6.635时有99%的把握认为、有关联.参考答案：（1）……………………6分（2）故不能够有99%的把握认为药物有效………12分略21.设函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c的导数f'（x）满足f'（﹣1）=0，f'（2）=9．（1）求f（x）的单调区间；（2）f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求c的值．（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；63：导数的运算．【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出a，b的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间；（2）求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值，建立方程关系即可求c的值．（3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，则等价为函数的极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可求c的范围．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）=﹣3x2+2ax+b，∵f'（x）满足f'（﹣1）=0，f'（2）=9，∴得a=3，b=9，则f（x）=﹣x3+3x2+9x+c，f′（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x2﹣2x﹣3），由f′（x）＞0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＞0得x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，此时函数单调递增，即递增区间为（﹣1，3），由f′（x）＜0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＜0得x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，此时函数单调递减，即递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；（2）由（1）知，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=1+3﹣9+c=c﹣5，f（﹣2）=8+12﹣18+c=2+c，f（2）=﹣8+12+18+c=22+c，则f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为f（2）=22+c=20，则c=﹣2．（3）由（1）知当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=1+3﹣9+c=c﹣5，当x=3时，函数取得极大值f（3）=﹣27+27+27+c=27+c，若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，则得，得﹣27＜c＜5，即c的范围是（﹣27，5）．22.某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题： （1）求70～80分数段的学生人数； （2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值； （3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率． 参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】（1）根据条形统计图1求出70～80分数段的学生人数频率，乘以60即可确定出人数； （2）求出80分及以上学生人数，确定出优生率，找出中位数，平均值即可； （3）根据题意得出所有等可能的情况数，找出“最佳组合”数，即可确定出选出的两组为“最佳组合”的概率． 【解答】解：（1）根据题意得：60×[1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10]=18（人）； （2）成绩在80分及以上的学生有60×（0.005+0.025）×10=18（人）， ∴估计这次考试中该学科的优分率为×100%=30%； 该学科40～50分数段人数为60×0.01×10=6（人）；50～60分数段人数为60×0.015×10=9（人）；60～70分数段人数为60×0.015×10=9（人）； 70～80分数段人数为18人；80～90分数段人数为60×0.025×10=15（人）；90～100分数段人数为60×0.005×10=3（人）； ∴估计这次考试中位数为70～80分数段，即75分； 平均值为（45×6+5