2021-2022学年江苏省苏州市常熟尚湖高级中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021-2022学年江苏省苏州市常熟尚湖高级中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B依题意，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1；如图所示，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND1，从而当时，截面为四边形，当时，截面为五边形，故线段BM的取值范围为，故选B.2.已知集合,，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.设抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：抛物线的准线方程为，设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知：（为点到抛物线的准线的距离），而，所以，故选B．考点：抛物线的定义．4.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(

).

A.

B.C.

D.参考答案：D5.若是所在平面内的一点，且向量满足条件，，则的形状是(

)参考答案：D6.有如下命题：命题:设集合，，则是的充分而不必要条件；命题：“”的否定是“”，则下列命题中为真命题的是

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.在平面直角坐标系中，则所表示的区域的面积为（

）A．6

B．

C．

D．参考答案：D8.已知集合A={x|}，B={x|lgx≤1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3] C．（0，1] D．（0，3]参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤3，即A=（﹣1，3]，由B中不等式变形得：lgx≤1=lg10，解得：0＜x≤10，即B=（0，10]，则A∩B=（0，3]，故选：D．9.如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．C．sinA：sinB：sinC D．cosA：cosB：cosC参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】作出△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，由垂径定理和圆周角定理可得∠B=∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若设⊙O的半径为R，可用R分别表示出OD、OE、OF，进而可得到它们的比例关系．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；设⊙O的半径为R，则：OD=R?cos∠BOD=R?cos∠A，OE=R?cos∠AOE=R?cos∠B，OF=R?cos∠BOF=R?cos∠C，故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，故选D．10.已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是（A）0

（B）2

（C）5

（D）6参考答案：C由画出可行域及直线如图所示，平移发现，当其经过直线与的交点（-3，4）时，最大为，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2013?广州一模）已知a＞0，a≠1，函数若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大，则a的值为．参考答案：或考点：函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：分0＜a＜1和a＞1时两种情况加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，并结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0，2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，解之即得满足条件的实数a的值．解答：解：①当0＜a＜1时，可得在[0，1]上，f（x）=ax是减函数；且在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=﹣2+a因此，﹣2+a+=1，解之得a=∈（0，1）符合题意；②当a＞1时，可得在[0，1]上，f（x）=ax是增函数；且在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数∵f（1）=a＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（1）=a而f（2）=﹣2+a，f（0）=a0=1，可得i）当a∈（1，3]时，﹣2+a＜1，得f（2）=﹣2+a为函数的最小值，因此，﹣2+a+=a矛盾，找不出a的值．ii）当a∈（3，+∞）时，﹣2+a＞1，得f（0）=1为函数的最小值，因此，1+=a，解之得a=∈（3，+∞），符合题意．综上所述，实数a的值为或故答案为：或点评：本题给出含有字母a的分段函数，在已知函数的最大最小值之差的情况下求参数a的值，着重考查了指数函数、一次函数的单调性和分段函数的理解等知识，考查了转化化归和分类讨论的数学思想，属于中档题．12.教育装备中心新到7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请，鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给这两校每家至少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配方案有

种（用数字作答）．参考答案：3513.已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为__________.参考答案：的外接圆的半径，点到面的距离,为球的直径点到面的距离为此棱锥的体积为14.是偶函数，且在上是减函数，则

参考答案：1或2

略15.已知等比数列的公比为正数，且，=1，则=

参考答案：由得，解得，所以或（舍去），所以由，所以。16.过抛物线=2py(p>0)的焦点F作倾斜角的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值是___________．参考答案：抛物线的焦点为，准线方程为。设点，直线方程为，代入抛物线方程消去得，解得。根据抛物线的定义可知，所以.17.在平行四边形ABCD中，，，，且，则平行四边形ABCD的面积的最大值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=a（x-lnx）+，a∈R.（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f’（x）+对于任意的x∈[1,2]恒成立。参考答案：（I）解：函数的定义域为（0，+00），f’（x）=a-F’（x）=若a≤0时，x∈（0,1）时，f’（x）＞0，则f（x）单调递增x∈（1，+00）时，f’（x）＜0，则f（x）单调递减。当a＞0时，f’（x）=（）（x-）（1）若0＜a＜2时，＞1，当x∈（0,1）或x∈（，+00）时，f’（x）＞0，f（x）单调递增当x∈（1，）时，f’（x）＜0，f（x）单调递减。（2）若a=2时，=1，早x∈（0，+00）内，f’（x）≥0，f（x）单调递增；（3）若a＞2时，0＜＜1，当x∈（0，）或x∈（1，+00）时，f’（x）＞0，f（x）单调递增当x∈（，1）时，f‘（x）＜0，f（x）单调递减。综上所述；当a≤0时，f（x）在（0,1）单调递增，f（x）在(1,+00)单调递减。当0＜a＜2时，f（x）在（0,1）上单调递增；f（x）在（1，）单调递减当a=2时，f（x）在（0，+00）单调递增；若a＞2时，f（x）在（0，），（1，+00）单调递增；f（x）在（，1）单调递减（II）由（I）知，a=1时，f（x）-f’（x）=x-lnx+-（1-）=x-lnx+-1，x∈[1,2]令g（x）=x-lnx，h（x）=-1，x∈[1,2]，则f（x）-f’(x)=g（x）+h（x），由g’（x）=≥0，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取得等号，又h’（x）=，设（x）=-3x2-2x+6，则（x）在x∈[1,2]单调递减，因为（1）=1，（2）=-10，所以在[1,2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时，（x）＞0，x∈（x0，2）时，（x）＜0.所以h（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，2）上单调递减；由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2时取得等号所以f（x）-f’（x）＞g（1）+h（2）=，即f（x）＞f’（x）+对于任意的x∈[1,2]恒成立。19.(本题满分12分)某风景区有40辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日72元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。（1）求函数的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？参考答案：（1）；（2）当每辆自行车的日租金定在10元时，才能使一日的净收入最多。略20.（本小题满分12分）如图，四棱锥中,面，、分别为、的中点，，.（Ⅰ）证明：∥面；（Ⅱ）求面与面所成锐角的余弦值.

参考答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）Ⅰ)因为、分别为、的中点，所以∥……2分因为面，面所以∥面……4分

（Ⅱ）因为所以又因为为的中点所以所以得，即……………6分因为，所以分别以为轴建立坐标系所以则………8分设、分别是面与面的法向量则，令又，令……………11分所以……………12分

21.（本小题满分13分）已知函数

（I）若对一切恒成立，求a的取值范围；

（II）在函数的图象上取定两点，记直线AB的斜率为k，证明：存在成立。参考答案：略22.（本小题满分12分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如