常微分方程课后习题答案

1.试证n阶非齐线形微分方程(4.1)存在且最多存在n+1个线形无关解。

证：设/(。，々("…/.(。为(4.1)对应的齐线形方程的一个基本解组，市)是(4.1)的一个解，贝人

X,(r)+x(z),x2(f)+%(/),•••,xn(/)4-X(t\x(f),(1),均为(4.1)的解。同时⑴是线形无关的。

事实上：假设存在常数C1,C2,…,C〃M，使得：

G(%,(/)+%(/))+c2卜20)+x(f))+…+%(x.(f)+x(f))+*+(«))=0

n一n+1

即：£c,x,(/)+x(r)ZG=0

/=1i=\

n+1

我们说:Zc,=O

/=1

否则，若£1产0,则有：(/)=-3

>=i

Zc,

i=i

(*)的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！

从而有之4七土)=0

<=!

又为(。,X2(”…，x”(。为(4.1)对应的齐线形方程的一个基本解组，

故有：C]=。2=••=%=0,进而有：%+]=0

即(1)是线形无关的。

习题4.2

1,解下列方程

(1)x⑷—5x"+4x=0

解：特征方程方—5汇+4=0有根4=2,2,=-2,4=1，4=-1

22

故通解为x=cte'+c2e~'+c3e'+c4e~'

(2)xm-3ax"+3a2x'-a5x-0

解：特征方程;13—34/12+3/4—/=。

有三重根丸=ci

a,a,2a,

故通解为x=c,e+c2te+c3te

(3)x⑸—4x”0

解：特征方程无一4之3=0

有三重根丸=0,4=2,25=-2

212

故通解为》=。避2,+c2e~+c3t+c4t+c5

(4)x"+2x'+l0x=0

解：特征方程矛+2/1+10=0有复数根4=-l+3i,22=-l-3i

故通解为》=，遂-'cos3t+c2e~'sin3r

(5)x"+x'+x=0

、_i+、向_i_Ji;

解：特征方程》+九+]=0有复数根％=上>之=，

22

V3百

22

故通解为％=,6cos-^-t+c2e

(6)s"—。气=/+1

解：特征方程；^一二=。有根a=a,%=-a

fl,a,

当a*0时:齐线性方程的通解为s=c,e+c2e-

『=A+即代入原方程解得A=5=--r

a

故通解为S=cC"+，205-与。-1)

a"

当a=0时，6=/(7/+72)代入原方程解得力=,，72

62

19

故通解为s=C|+c2t-一厂«+3)

6

(7)工济一4£'+5£—21=21+3

解：特征方程23-4/12+52-2=0有根4=2,两重根2=1

2

齐线性方程的通解为x=c,e'+c2e'+c3te'

又因为4=0不是特征根，故可以取特解行如]=A+加代入原方程解得A=-4,B=-l

2

故通解为x=cie'+c2e'+c3te'-4-t

(8)xw-2x"+x=t2-3

解：特征方程方_2宏+1=0有2重根4=1,2重根2=-1

r

故齐线性方程的通解为x=qe'+c2te'+c3e-+c4te-'

取特解行如x=At2+W+c代入原方程解得A=l,B=0,C=1

,2

故通解为x=cie+c2te'+c3e~'+c4te~'+t+1

(9)xn,-x-cost

解：特征方程;I'—i=o有复数根4=t；后,4=-14=1

--t7373,

2

故齐线性方程的通解为》=qe2cosy-f+c2esin^-t+c3e'

取特解行如X=Acosr+Bsinr代入原方程解得\=-,B=--

22

百，百1

22

故通解为x=qecos-^-Z+c2esin-^-f+qe'——(cosf+sinf)

(10)x"+x'-2x=8sinIt

解：特征方程下+丸一2=0有根4=-2,%=1

2

故齐线性方程的通解为x=c,e'+c2e-'

因为+-2i不是特征根

取特解行如x=Acos2t+Bsin2t代入原方程解得A=--,B=--

55

26

故通解为x=c,el+c^e~2t——cos2t——sin2t

255

(11)xm-x-e

,-1+_/i;_1_.Fi;

解：特征方程才一1=0有复数根4=3,4=2,%=1

--tJ3,J3

2

故齐线性方程的通解为x=c*cos-^-t+c2e22=1是特征方程的根，故工=代入

原方程解得A=-

3

-If百_1,/Q1

故通解为工=。12cos——t+c1e2sin——t-vc.e1-

122233

(12)s"+las'+a2s=er

解：特征方程/I?+2a/l+a2=。有2重根/l=-a

,

当a=-l时，齐线性方程的通解为s=c1e+c2te',

丸=1是特征方程的2重根，故工=At2el代入原方程解得A--

2

通解为s=ge'+c“e'H—I2,

2

当a^-1时，齐线性方程的通解为s=/5+。2止”，

2=1不是特征方程的根，故、=A/代入原方程解得A=—二

("If

a,a

故通解为s=c,e-+c2te-'+—二e'

9+1)2

(13)x"+6x'+5x=e2'

解：特征方程丸2+6/1+5=0有根4=-1,/12=-5

故齐线性方程的通解为x=C|e-'+C20-”

2=2不是特征方程的根，故、=Ae*代入原方程解得A=—

21

故通解为x=c.e-(+ce-5,+—e2'

1221

(14)xn-2xr+3x=e~lcost

解：特征方程A2—2X+3=0有根4=-1+i,=_1~A/2i

z

故齐线性方程的通解为x=qe'cos41t+c2esin6

54

-l±i不是特征方程的根，取特解行如工=(485/+8蜘。/代入原方程解得心0，5=-石

故通解为％=6,cos72/+c.elsinV2r+(—cosz--sinr)e-r

124141

(15)x"+x=sin/一cos2t

解：特征方程;e+i=o有根％="4=一i

故齐线性方程的通解为x=cxcosr+c2sint

x"+x=sinf,4=i,是方程的解H=f(Acos/+Bsim)代入原方程解得

A=--B=0故1=一1fcost

22

x"+x=-cos2tx=Acos2t+Bsin2f代入原方程解得

A=-B=0故工=‘cos2.

33

故通解为x=GCOS，+Qsinr——tcost+-cos2t

1223

习题5.1

1.给定方程组

(*)

costsinz10

a)试验证u(t)=,v(t)=分别是方程组(*)的满足初始条件u(0)=0,v(o)=]的解.

-sinrj[cost

b)试验证W(t)=C]u(t)+c2V(t)是方程组(*)的满足初始条件W(0)=C'l的解,

其中C142是任意常数•

cosO1

解：a)u(0)=

-sinO0

一sin/01cost01

u(t)=u(t)

-cosr-10-sinr-10

sin<70

又v(0)=

cosO1

cost01sin/01

V(t)=v(t)

-sinr-10cost0

因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.

I0

b)w(0)=C1u(0)+c2u(0)=

01

w(t)=u(t)+v(t)

c2

-sinrcost

-cost-sin/

—c,sint+c2cost

-C]cosf-c2sinf

01Jcost+。2sinr

—10一C|sinf+c2cost

01

w(t)

-10

因此w(t)是给定方程初值问题的解.

2.将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题:

a)x+2x+7tx=e-t,x(l)=7,x(1)二-2

b)x(4)+x=tel,x(O)=l,x'(0)=T,x“(0)=2,x'"(0)=0

、fx4+5y-7x+6y=el

c)1“，

y—2y+13y-15x=cos/

x(O)=l,x'(0)=0,y(0)=0,y'(0)=1

解：a)令XI=x,x2=x,得

Xj=X=x2

1

x2=x=-7tX[-2X2+e

再01x{0

即+

x2-It—2x2

又x,=x(l)=7X2(1)=x'(l)=-2

于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题:

,-o1]ro]r7-

—7—2j\_e~l][_-2

x,

其中X=

_X2_

b)令尤]=xx2=xx3=xx4=x则得：

X]=X=x2

x3=X=x4

ll

x4=-x+te=-Xj+te

且x,(0)=x(0)=l,x2=x(0)=-l,x3(0)=x"(0)=2,

x4(0)=x"'(0)=0

于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题:

-0100--0■-1'

00100-1X.2

X=x+x(0)=,其中x=

000102与

-1000tel0

c)令W1=x,Vf2—x,W3=y,W4=y,则原初值问题可化为:

%(O)=x(O)=l

w]=x-w2

w=x+7W]-e'w(0)=x(0)=0

2=-5VV46W3+2

w；=>=必必(0)=y(0)=0

卬式°)=y(°)=i

卬4=y=2w3-13W4+15W(+cost

3.试用逐步逼近法求方程组

满足初始条件

x(0)=

_X2

的第三次近似解.

解：勿o（f）=

040100tt

(f)=+ds=+=

'|_1JJ0|_-lOj|_lj|_1J|_0j

0./[-0

6

忆⑺=j+

0-1t2

~2

习题5.2

02412—0202412—03

2

1.试验证①（，）=

2tI

01

是方程组X22X,x=,在任何不包含原点的区间4。上的基解矩阵。

~2当

2/(0

解：令①（。的第一列为0，这时°;（t）=22劭（t）故必（t）是一个解。同样如果以

2

0

/（t）表示中（。第二列，我们有为（t）=22/（t）这样供（t）也是一个解。因此①（。是解矩阵。

~2t）

又因为det①«）=-t2故①是基解矩阵。

2.考虑方程组x=A（t）x（5.15）其中A（t）是区间上的连续nxn矩阵，它的元素为

a,y(t),i,j=l,2,n

a）如果x।（t）,x2（t）,…,x„（t）是（5.15）的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式

W[x,(t),x2(t),…，x“(t)]三W(t)满足下面的一阶线性微分方程W'=[au(t)+a22⑴+…+a,"(t)]W

b）解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W（t）=W（to）e%际⑸+侬"*小⑸"to，te[a,b]

1Cl122]+•111]17+]222+*■+/2*2"+…+卬，”，，“

X2\X22•X2„

-+・・・+

小乙2*•

xQ]]X]2-dxln

\\尤12…[{

孙X>22•••X2nX2\Xr12•••Xr2n

=+・・・+

XXX

a“内]+・..+Qnnn\+••+…凡1招”+...+annxnnnl%…nn

X\2

X2lX22

整理后原式变为

0nnXn2°丽Xnn

X|[X]2…匹”

XiX•••Xo

(au+-+a,».)一一二(a“+…+a.“)W(t)

Xn\Xn2…Xnn

=(an(t)+-+ann(t))W(t)

b)由于w'(t)=[alf(t)+—+anrt(t)]w(t),即"卬⑺=[a”(t)+…+a.“(t)]dt

w(f)

C[4]I($)+...+%„(s)]ds

两边从到t积分ln|vv⑺卜InM'o)卜]U1(S)+…+%〃(s)]ds即w(t)=w(to)e”,te[a,b]

3.设A(t)为区间a«f4b上的连续nxn实矩阵，①(f)为方程x'=A(t)x的基解矩阵，而x=°(t)为其一解，试

证：

a)对于方程y'-A7"(t)y的任一解y=+(t)必有甲7(t)(p(t)=常数；

b)T(t)为方程y'-A，(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C,使甲r(t)(p(t)=C.

解a)[Tr(t)(p(t)]'=¥7"夕(t)+甲丁加⑴=TT(pM+Tr(t)A(t)^

又因为+'=-AT(t)¥(t),所以+J-+T(t)A(t)

[Tr(t)夕⑴]'=-Tr(t)0(t)A(t)+Tr(t)A(t)夕(t)=0,

所以对于方程y'=-AT(t)y的任一解y=甲⑴必有+「(t)夕(。=常数

b)“U”假设为方程y'=-A,(t)y的基解矩阵，则

[Tr(t)*(t)]'=[%T(t)「O(/)+TT(t)①'(t)=[-A，(t)T(t)]<D(/)+TT(t)Ar(t))<D(f)+

Tr(t)[A(t)Q(t)]=-Tr(t)A「⑴<D(f)+Tr(t)A，⑴①(f)=0,故+'(t)0(t)=C

若存在非奇异常数矩阵C,detcHO,使甲T(t)°(t)=C,

则[TT(t)<p(t)]'=平丁cp(t)+平丁(p'(t)=0,故+'⑴(p(t)=-+T(t)(p(t)A(t)TT'(t)=-

Tr(t)A(t)所以小丁⑴〜Tr(t)A(t),T(t)=-Tr(t)八?⑴即于⑴为方程丫:-八丁⑴丫的基解

矩阵

4.设①(f)为方程x'=Ax(A为nxn常数矩阵)的标准基解矩阵(即①(0)=E),证明：

①⑺①t(、)=①(t-t0)其中t0为某一值.

证明：(1)①(。，①(t-to)是基解矩阵。

(2)由于①(7)为方程x'=Ax的解矩阵，所以①(。①t(t。)也是x'=Ax的解矩阵，而当t=t。时，

①(t0)①T(to)=E,①(t-t0)=①(0)=E.故由解的存在唯一性定理，得①(。①T(t0)=①(t-t0)

5.设A(t),f(t)分别为在区间aWb上连续的nxn矩阵和n维列向量，证明方程组x'=A(t)x+f⑴存在且

最多存在n+1个线性无关解。

证明：设X],x2,…X”是x=A(t)x的n个线性无关解,x是x=A⑴x+f(t)的一个解，则X1+%,x2+x,•••,

X〃+37都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C.,(1=1,2,-,n)

〃______

使得工。(为+X)+C“Tx=0,从而XI+x,x2+x,•••,x.+x,x在aWb上线性相关，此与已知矛盾，

1=1

因此X1+"x2+x,-,X„+X,1线性无关，所以方程组x'=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。

6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：

x'=A(t)x+£(t)

x=A(t)x+f2(t)

的解,则演⑺+4⑴是方程组

x=A(t)x+/,(()+f2(t)

的解。

证明：x=4Q)x+力⑺(1)x=A(r)x+/2(r)(2)

分别将再⑴,尤2。)代入⑴和(2)

则d=A«)X[+于\⑺乙=A(t)x+f式t)

则X；+々=A(f)[X]⑺+々⑺]+力⑺+/2⑺

[Xt(。+X2(/)],=A(/)[xt(/)+X2(r)]+力(f)+f2(t)

令X=X|(f)+x2(t)

即证x=A(f)x+/©+/2(。

7.考虑方程组x=Ax+/Q),其中

02_x2cost

~2tt2t~

a）试验证中（f）=2,是》=4%的基解矩阵；

0e

'1'

b）试求x=Ar+/Q）的满足初始条件奴0）=的解夕⑴。

—1

证明：a）首先验证它是基解矩阵

Ce2'}

以口⑺表示。⑺的第一列叼（。=

2

则必⑺2人0,

0

故必⑺是方程的解

如果以巴⑺表示。⑴的第二列（P"）=

，2

我们有外⑺=/(10

。2«)

[02户

\"2c7、°

故外⑺也是方程的解

从而。⑺是方程的解矩阵

2t{2t

又det3«）=2,=e*。0

0e~l

故。⑺是x=Ax的基解矩阵；

b）由常数变易公式可知，方程满足初始条件夕（0）=1的解

—1

9⑺=。⑺。T'(0)7+。⑺[</>~'f(s)ds

"一小、

?

而〃⑺1。-L

1/«―avst11•

2122s—(—15，+27)e------cost------sint

'(l-f)e”ete'}e(e-sins

ds2525258、

c2r+2

e1)COS5J3

I一eJ0

5557

试求x=Ax+/Q)，其中

2IXi0

Ax=，

/()e2'

02x2

满足初始条件

1

。(0)=

-1

的解。Q)。

e2'te2'

解：由第7题可知xAx的基解矩阵①⑺

0e2'

、

则〃(s)

1J

若方程满足初始条件e(o)=o

2/222

则有°。)(te'1-2s0-te,

=p(t)^<f>'(s)f(s)ds=2

0e2'0e2'

1))

1

若0(0)

-1

Ze/22/、

7%te”、、(1-r+^r)e

则有夕«)=。。)。7(0)试求

(s)/(5)ds2+29^

-e')

IV、07

7("De”7

卜列方程的通解:

7V7t

a)x+x-sect——<t<—

22

解：易知对应的齐线性方程x+x=0的基本解组为x,(?)=cos/,x2(/)=sin/

costsin/

这时卬[%]Ox2Q0]=1

-sinrcost

sintcoss-costsins,

由公式得夕(f)=-------------------------secsas](sint-cos/tans)ds=tsint+costIncost

1

/.通解为x=Gcos，+sin，+，sin，+cosfin，

b）x-8x=e2t

解：易知对应的齐线性方程--8x=0的基本解组为占。）=e".

x2(t)-e'cosV3f,x3(r)=e"sin/

v2=2是方程的特征根

故方程有形如x=Are”的根

代入得

12

2+te2

故方程有通解x=(Gcos、&+，2sinJWf)*'+c3e'^'

c)x-6x+9x=e'

解：易知对应的齐线性方程1-6x+9x=0对应的特征方程为万—6/1+9=0,42=3故方程的一个基本

33

解组为X](t)=e',x2(t)=te'

e3'te3'

W\x(t),x(t)]

.23e"e"+3/

因为是对应的齐线性方程的解

故为⑴=%也是原方程的一个解

3

故方程的通解为x=qe3'+c2te'+：e'

10、给定方程/+8》'+7工=/（。其中£（。在041<+00上.连续，试利用常数变易公式，证明:

a）如果f（t）在04f<+8上有界，则上面方程的每一个解在04t<+oo上有界；

b）如果当，->00时，/«）—0,则上面方程的每一个解9。）-8（当£->8时）。

证明:a）vf（t）0<，<+8上有界

存在M>0,使得〃，Vfe[0,+oo)

又x=e'x=e-1'是齐线性方程组的基本解组

•••非齐线性方程组的解

15ls5ls

叭<*e-y~-e~'e~~7fe~e~-e~'e~f(s)ds

-es—7e

.♦・M(f)K引卜一屋7,_e-e']ds吟§_；「_/)qM

又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t),都存在固定的常数c”c、2

1

使得x(t)=cie~'+c2e~'+(p(t)

-,

从而|x(f)K']"[+|c2e|+1^(/)|<|cj+|c2|+—M

故上面方程的每一个解在0Wf<+8上有界

b)-8时，/(f)-0

7£>0,^7当1:/时|/(。|<£

由a)的结论

故f-8时，原命题成立

11、给定方程组x=A(f)x(5.15)

这里人(力是区间。4》4匕上的连续〃x〃矩阵，设。⑺是(5.15)的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在

|国|<8上连续，4e[a,b]试证明初值问题：<A(t)x+F(t,x)(*)

。4)=〃

的唯一解夕⑺是积分方程组

x(f)=(sOF(s,x(s))ds(**)

的连续解。反之，(**)的连续解也是初值问题(8)的解。

证明：若夕(。是(*)的唯解

则由非齐线性方程组的求解公式

。⑺=。⑺。T(%)7+。⑴[〃(s)F(s,(p(s))ds

即(*)的解满足(**)

反之，若夕«)是(**)的解，则有

。。)=。⑺。T(/0)7+。⑴[〃(s»(s,*(s))ds

两边对t求导：

0(f)="⑴犷(t0)〃+“(，)[〃(s)F(s,9($))ds+阿。t(t)F(t,*))

-

=d⑺”(t0)7+p'(s»SO(s))A]+F(t，夕⑴)

=J(/)'(s)F(s,(p(s))ds]+F(t,(p(t))

即(**)的解是(*)的解

习题5.3

1、假设A是nxn矩阵，试证：

a)对任意常数.、。2都有

exp(c]A+c2A)=expc,A,expc2A

b)对任意整数人都有

(expA)=expAA

(当k是负整数时,规定(expA)4=[(expA)t]”)

证明：a)*/(c.A)•(C2A)=(C2A)•(c.A)

/.exp(c1A+c2A)=expGA•expc2A

b)k>0时，(expA)"=expA•expA...expA

=exp(A+A+...+A)

=expAA

k<0时,-k>0

(expA)"=[(expA)t]一"二[exp(-A)]~k=exp(~A),exp(-A)...exp(-A)

=exp[(-A)(-k)]

=expAA

故Vk,都有(expA)k=expAA

2、试证：如果。⑺是X二Ax满足初始条件00。)=77的解，那么

机)=[expA(t-t0)]7

证明：由定理8可知夕")=①(t)①Yto)77+①(t)i(s)/(s)ds

又因为①(t)=expAt,1(to)=(expAto)'=exp(-Ato),f(s)=0,

又因为矩阵(At),(-Ato)=(-Ato),(At)

所以(p(t)=[expA(t-t0)]rj

3、试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量

'2-33、

b)4-53

、4-42,

21、；010、

c)1-11d)001

301,、一6-11-6>

2-1-2

解：a)det(AE-A)==(2—5)(A+1)=0

-4A-3

；.4=5,22=—1

（a

对应于4=5的特征向量11=[2。）（a*0）

对应于4=-1的特征向量("0)

b)det(2E-A)=(2+1)(A+2)(A-2)=0

21=—1,22—2,23=—2

对应于4=-1的特征向量ui=a(aw0)

……J(/*0)

—量」

(/#0)

2-1-2-1

c)det(2E-A)=-12+1-1-(2+1)2(2—3)=0

-202-1

二4=-1（二重），22=3

’-1、

对应于4=-1（二重）的特征向量u=a2,a*0)

、-2,

自

对应于4=3的特征向量丫=£1,（£工0）

2-10

d)det(2E-A)=02-1=(2+3)(2+1)(2+2)=0

6112+6

；♦4=-1，22=-2,几3=-3

1、

对应于4=—1的特征向量ui=a-1(aw0)

'1、

对应于4=-2的特征向量止=夕-2()

(1

对应于九3=—3的特征向量U3=y-3(yw0)

9J

4、试求方程组x=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt,其中A为:

'-21>(12、

a)b)

02)143J

'2-33）‘1031

c)4-53d)81-1

14-42)(51-I

解：a)det(2E—A)=0得4=6，A2=-V3

1、

对应于4的特征向量为u=a,(aw0)

2+后

对应于几2的特征向量为V—p,("0)

2-V3

1、

Uv=是对应于4，%的两个线性无关的特征向量

2+2-V3

①(t)是一个基解矩阵

、(2+®^(2_Q)ef

1f-(2-V3)e^+(2+V3)e-7i,

ExpAt二

2百”+产(2+751-(2-aef

b)由det(4E—A)=0得4=5,Z2=-1

1

解得u=v=是对应于4,4的两个线性无关的特征向量

27

e5te

则基解矩阵为①（t）=

-/

2*7

U2、

11

①(0)=5(0)=33

2-12

J'37

(“5/e*-e~{

则expAtn^G)①1(0)=—

312e5/2e5'+e~'

c)由det(AE—A)=0得4=2,4=—2

e2'0

2t-2/

解得基解矩阵①（t）=e

2

e'0/

'1-11

①T(0)=-110

,01-17

e2'-e2'+ee2t-

2t

则expAt=①(t)①।(0)=e2'-e~2'-e2'+e'2'+e~'e-

e2'-e~2'-e2'+e-2t

d)由det(4E—A)=0得4=-3,2,=2+V7,23—2—V7

-—而"

-3e-3'6（2+斤"

()

4甘-5c(2+/)r_4V7_5e2+V7/

解得基解矩阵中（t）=7/3/

3