常微分方程期末考试试卷

常微分方程期末考试试卷

(适用于02411、02412班)

学院班级学号姓名成绩

—.填空题(30分)

1.电=P(x)y+Q(x)称为一阶线性方程，它有积分因子,其通

ax

解为。

2.函数/(x,y)称为在矩形域H上关于)，满足利普希兹条件，如果

____O

3.若°(x)为毕卡逼近序列｛°“(x)｝的极限，则有|e(x)-9“(x)Ko

4.方程@=x?+y2定义在矩形域上，则经过点

dx

(0,0)的解的存在区间是o

5.函数组",e'e”的伏朗斯基行列式为。

6.若七。)。=1,2,...,〃)为齐线性方程的一个基本解组，1(。为非齐线性方

程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为O

7.若①⑴是x=A(t)x的基解矩阵，则向量函数(p(t)=是

x=A«)x+/”)的满足初始条件/伉)=0的解；向量函数/")=

是x=A(f)x+/")的满足初始条件8(/。)=〃的解。

8.若矩阵A具有〃个线性无关的特征向量匕,乙,…#“，它们对应的特征

值分别为4,4,…4，那么矩阵①")=是常系数线性方程组

x'=Ax的•一^基解矩阵。

9.满足的点(x*,y*),称为驻定方程组。

二.计算题(60分)

10.求方程4/)，2公+—l)dy=0的通解。

11.求方程生+e”“—x=0的通解。

dx

dy_2)

12.求初值问题瓦一)'??:,+1设中|41的解的存在区间，并求

,y(-D=o

第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

13.求方程x"+9x=fsin3,的通解。

14.试求方程组x=Ax+/«)的解夕⑴.

--11「121[er

夕(0)=],A=4§，")=]

15.试求线性方程组立=2x-7y+19,虫=x-2y+5的奇点，并判断奇点

dtdt

的类型及稳定性。

三.证明题(10分)

16.如果(p(t)是x=Ax满足初始条件夕(%)=〃的解，那么

。⑺=[expA（f-幻）

常微分方程期终考试试卷答案

一.填空题(30分)

1.y=eip(x)dx(jQ(x)e~^Pix)dxdx+c)

2./(x,y)在R上连续，存在L>0,使|/包力)-/(羽乃)|44月，对于

任意(X,%),(%,%)€R

5R.-M--J--/-+nI

(n+1)!

,1,/

4.---<x<一

44

e'e~'e2'

5.e'-e-'2e2'

e'e"4e"

6.x(f)=Zc/i(f)+xQ)

i=\

7.[①(gTG)/(s)ds①⑺①T心力+①⑺J<D-'(s)f(s)ds

8.卜如匕,”匕,…，『"”』

9.X(x,y)=0,Y(x,y)=0

二.计算题(60分)

10.解：=8x2y,—=6x2y

dydx

dMdN

国―生=_'积分因子〃(y)==yT

-M2y

2

两边同乘以〃(y)后方程变为恰当方程：4x2y3dx+2y2(x3y-l)dy=0

a24-

—=M=4x2y^两边积分得：u=—x3y^+(p(y)

dx3

a!---

—=2x3y^+0(y)=N=2x3y5-2-

办

J

得：*(y)=-4y2

因此方程的通解为：/(/),-3)=。

11.解：令虫=y=p贝Up+e"—x=0

dx

得：x=p+ep

那么y=^pdx=Jp(l+e，)dp

2

=^-+pep-e'+c

x-p+ep

因此方程的通解为：

y-----1-(p-l)ep+c

.2

12.解：M=max|/(x,y)|=4

(x.y)eR'1

|x-x0|<l=a,|y-y0|<l=Z>,h=min(a,—)=—

M4

解的存在区间为|x-Xo|=k+l|w/!=：

53

即

44

令。o(x)=%=0

%(x)=0+

X4X11

18-9+42

llll-2yl-2=L

误差估计为:帆⑴-火冰器严

13.解：元+9=0=>4=3i,丸？二一3i

/l=3i是方程的特征值，设x(f)=f(Af+8)e3"

得:x"=(2A-9Bt+\2Ait+6Bi-9At2)e3i,

贝！j2A+12A-+6Bi=f

得：A=——i,B=—

1236

2

因此方程的通解为：x(t)=qcos3r+c2sin3r-—/cos3r+—/sin3r

2-1-2

14.解:det(2£-A)==(2+1)(/1-5)=0

-42-3

4=-1,22=5

a

(2,E-A)v,=0得取匕=

-a

=0

(A2E-A)V2得v2取巧=

2。

则基解矩阵①(，)=

-1

①⑴①T(0)〃=

1

1,

一e+—e-

①⑺[①T(S)/(S)ds=204

■1,

—C+

Lio2

因此方程的通解为：/)=①⑴①”(0切+①⑺J①T(s)/(s)ds

2

+-

4一5

=11

-e++-

25

2x-7y+19=0x=1

15.解:=><

x—2y+5=0[y=3

(1,3)是奇点

令x=x+Ny=y--

22

dX…rdYcv

——=2X-7y,——-x-2Y

dtdt

2-7_2j_27A—27

wO,那么由=3+元=0

1—2一02+20