(新课标)高考数学第三章三角函数解三角形38正弦定理和余弦定理应用课时规范练文(含解析)新人教A版

3-8

正弦定理和余弦定理的应用课时规范练A组

基础对点练1．张晓华同学骑电动自行车以

24km/h

的速度沿着正北方向的公路行驶，在点

A处看见电视塔

S在电动车的北偏东

30°方向上，15min后到点

B处看见电视塔在电动车的北偏东

75°方向上，则电动车在点

B时与电视塔

S的距离是

(

B)A．2

2km

B.3

2kmC．3

3km

D.2

3km分析：如下图：1由题意可得AB＝24×4＝6，∠ASB＝75°－30°＝45°.在△中，由正弦定理可得AB＝BS，ABSsin45°sin30°∴BS＝6×sin30°sin45°＝32.∴点B与电视塔S的距离是32km.应选B.2．如图，两座灯塔A和B与海岸察看站C的距离相等，灯塔A在察看站南偏西40°方向上，灯塔B在察看站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(D)A．北偏东10°B.北偏西10°C．南偏东80°D.南偏西80°3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π，C＝π，则△ABC的面64积为(B)A．23＋2B.3＋1C．23－2D.3－1分析：∵b＝2，B＝π，C＝π，642bcbsinC2×7π∴由正弦定理，得c＝22，＝＝＝＝2，sinBsinCsinB1A122∴sinA＝sinπππ2＋62＋12＝cos12＝4，△ABC112＋63＋1.则S＝2bcsinA＝2×2×22×4＝综上所述，应选B.4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝(B)10310A.10B.10525C.5D.5分析：依据题意作出表示图，设CD＝a.过点D作DE⊥AB于E，易得DE＝AE＝a，则AD＝2a.由AB＝2a，BC＝a，则AC＝5a.222222310在△ACD中，cos∠DAC＝AC＋AD－CD5a＋2a－a.应选B.2·＝2·＝10ACCD5a·2a5．如图，为丈量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为丈量观察点．从A点测得M点的仰角∠＝60°，C点的仰角∠＝45°以及∠＝75°；从C点测得∠＝60°.已知MANCABMACMCA山高BC＝100m，则山高MN＝__150__m.分析：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝1002m.在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，进而∠AMC＝45°，ACAM由正弦定理得，sin45°＝sin60°，所以AM＝1003m.在Rt△MNA中，AM＝1003m，∠MAN＝60°，由MN＝sin60°，AM得＝1003×3＝150m.MN26.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后抵达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝1006m.分析：由题意得AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理AB＝CB得，sin∠ACBsin∠CAB600CBsin45°＝sin30°，解得BC＝3002.在△BCD中，∠BCD＝90°，∴＝·tan∠＝3002×3＝1006，CDCBCBD3∴此山高度为1006m.7．某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里抵达B处，看灯塔S在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S的距离为122海里．分析：由题意画出图形如图，＝24海里，∠＝75°，∠＝30°，∠＝105°，ABSBDBASABS∠＝45°，在△中，利用正弦定理可得BS＝24，解得＝122海里．ASBABSsin30°sin45°BS8．如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为__1_000__米．分析：由题意可知∠SAC＝30°，所以∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.1000AB由正弦定理可得sin30°＝sin135°，21000×2＝10002，所以AB＝12所以＝·sin45°＝10002×2＝1000(m)．BCAB29．(2018·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利抵达地球后，为了实时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱估计抵达的地区安排了同一条直线上的三个营救中心(记为，，BCD)．当返回舱在距地面1万米的P点时(假设此后垂直着落，并在A点着陆)，C营救中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B营救中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D营救中心测得着陆点A位于其正东方向．求B，C两营救中心间的距离；求D营救中心与着陆点A间的距离．分析：(1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形．3在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝3，在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝3，又∠＝90°，＝2＋2＝30万米．CABBCACBC3(2)sin∠＝sin∠＝3，cos∠＝－1，ACDACB10ACD10又∠＝30°，所以sin∠＝sin(30°＋∠)＝33－1，在△中，由正弦定理，CADADCACD210ADC得ACADAC·sin∠ACD9＋3＝，即AD＝sin∠ADC＝13万米．sin∠ADCsin∠ACDB组能力提高练1．如图，据气象部门预告，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向挪动，距风暴中心450km之内的地域都将遇到影响，则该码头将遇到热带风暴影响的时间为(B)A．14hB.15hC．16hD.17h分析：记此刻热带风暴中心的地点为点A，t小时后热带风暴中心抵达B点地点，在△OAB中，＝600，＝20t，∠＝45°，依据余弦定理得22t2t2＝600＋400－2×20×600×，OAABOABOB222，即4t2302－15302＋15令OB≤450－1202t＋1575≤0，解得≤t≤2，所以该码头将2遇到热带风暴影响的时间为302＋15302－15－＝15(h)．应选B.222．(2018·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正利处在坡度为15°的看台的某一列的正前面，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106m(如下图)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50s，升旗手应以__0.6__m/s的速度匀速升旗．分析：依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理，可知CEAC＝，sin∠EACsin∠CEACE∴AC＝·sin∠CEA＝203m，sin∠EAC∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝2033×2＝30m.30∵国歌时长为50s，∴升旗速度为50＝0.6m/s.3．如图，在水平川面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔1顶部的仰角是从塔1的底部看塔1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看BBBBAA两塔顶部的仰角互为余角．则从塔1的底部看塔1顶部的仰角的正切值为1，塔1BBAA3BB的高为__45__m.分析：设从塔

BB1的底部看塔

AA1顶部的仰角为

α，则

AA1＝60tan

α，BB1＝60tan2

α.∵从两塔底部连线中点

C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△

A1AC∽△CBB1，∴AA1＝30，30BB1∴AA1·BB1＝900，∴

3600tan

αtan2

α＝900，tanα＝1，tan2α＝3，BB1＝60tan2α＝45.344．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC＝120°，∠ACD＝60°，AD＝27，设∠ACB＝θ，点C到AD的距离为h.用θ表示h的分析式；求AB＋BC的最大值．分析：(1)由已知得∠＝360°－(90°＋120°＋60°＋θ)＝90°－θ.ADC在△中，由正弦定理，得AD＝AC，ACDsin∠ACDsin∠ADC27cosθ所以AC＝sin60°＝183cosθ.又∠CAD＝30°＋θ，且0°<θ<60°，所以＝·sin∠＝183cosθsin(30°＋θ)(0°<θ<60°)．hACCAD在△ABC中，由正弦定理，ACsin得AB＝sin120°＝18sin2θ，＝AC－θ＝36cosθsin(60°－θ)＝93＋93cos2θ－9sin2θ，°sin120所以AB＋BC＝93＋93cos2θ＋9sin2θ＝93＋18sin(2θ＋60°)．由于0°<θ<60°，所以当θ＝15°时，AB＋BC获得最大值93＋18.5．如图，在一条海防戒备线上的点，，处各有一个水声检测点，，到A的距离分别ABCBC为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的流传速度是1.5千米/秒．设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；求P到海防戒备线AC的距离．分析：(1)依题意，有＝＝，＝－1.5×8＝x－12.PAPCxPBx222222在△中，＝20，cos∠＝PA＋AB－PB＝x＋20－x－＝3x＋32，PABABPAB2PA·AB2x·205x22222225PA＋AC－PCx＋50－x在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝2·＝2x·50＝.PAACxcos∠PAB＝cos∠PAC，3x＋3225，解得x＝31.∴5＝xx作PD⊥AC于D，在△ADP中，25由cos∠PAD＝31，2421得sin∠PAD＝1－cos∠PAD＝31，421∴PD＝PAsin∠PAD＝31×31＝421.故静止目标P到海防戒备线AC的距离为421千米．6．如图，某小区准备将闲置的向来角三角形

(此中

B＝π，AB＝a，BC＝2

3a)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分

(图中暗影部分

)有公共绿地走道

MN，且两边是两个对于走道MN对称的三角形

(△AMN和△A′MN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求点

M与点

B不重合，

A′落在边

BC上，设∠

AMN＝θ.若θ＝π3时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将，′设计为最短，求此时绿地公共走道MNANAN的长度．π分析：(1)设MA＝MA′＝xa(0<x<1)，则MB＝a－xa，又θ＝3，所以在Rt△MBA′中，cos－12∠BMA′＝cos(π－2θ)＝axa＝，解得x＝.xa23由∠＝π，＝，＝3，可得∠＝π.B2ABaBCaBAC3所以△AMN为等边三角形，所以绿地的面积＝2×1×2×2×sinπ＝232.S23a3a39a(2)在△AMN中，由于∠MAN＝π，所以∠ANM＝2πAN＝AM.3－θ，由正弦定理