大学热力学与统计物理期末复习笔记1

《热力学统计物理》期末复习一、简答题1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP；自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV；吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。2、什么是近独立粒子和全同粒子？描绘近独立子系统均衡态分布有哪几种？答：近独立子系统指的是粒子之间的互相作用很弱，互相作用的均匀能量远小于单个粒子的均匀能量，因此能够忽视粒子之间的互相作用。全同粒子构成的系统就是由拥有完整相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子构成的系统。描绘近独立子系统均衡态散布有费米-狄拉克散布、玻色-爱因斯坦散布、玻耳兹曼散布。3、简述均衡态统计物理的基本假定。答：均衡态统计物理的基本假定是等概率原理。等概率原理以为，关于处于均衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。它是统计物理的基本假定，它的正确性由它的各种推论都与客观实质符合而获得一定。4、什么叫特征函数？请写出简单系统的特征函数。答：马休在1869年证明，假如适入选择独立变量（称为自然变量），只需知道一个热力学函数，就能够经过求偏导数而求得均匀系统的所有热力学函数，从而把均匀系统的均衡性质完整确定。这个热力学函数称为特征函数。简单系统的特征函数有内能U=U（S、V），焓H=H（S、P），自由能F=F（T、V），吉布斯函数G=G（T、P）。5、什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描绘。答：为了形象的描绘粒子的运动状态，用q1,,qr；p1,,pr共2r个变量为直角坐标，构成一个一时刻的力学运动状态q1,示。

2r维空间，称为μ空间。粒子在某,qr；p1,,pr可用μ空间的一个点表6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（起码例举三项）。答：第一、原子内的电子对气体的热容量为何没有贡献；第二、双原子分子的振动在常温范围内为何对热容量没有贡献；第三、低温下氢的热容量所得结果与实验不符。这些结果都要用量子理论才能解说。7、写出玻耳兹曼关系，并据此给出熵函数的统计意义。答：玻耳兹曼关系：S=klnΩ熵函数的统计意义：微观态数的多少反应系统有序程度的高低。微观态数增添就是有序程度的降低或是杂乱程度增添，相应地熵增添；反之，微观态数减少就是有序程度的增添或杂乱度减少，相应地熵减少。“熵是胸怀系统有序程度的量”有了明确立量意义。8、简述开系、闭系以及孤立系的定义。答：热力学研究的对象是由大批微观粒子（分子或其余粒子）构成的宏观物质系统。与系统发生互相作用的其余物体成为外界。依据系统与外界互相作用的状况，能够作以下划分：与其余物体既没有物质互换也没有能量互换的系统称为孤立系；与外界有能量互换，但没有物质互换的系统称为闭系；与外界极有能量互换，又有物质互换的系统称为开系。9、判断孤立系统能否处于均衡态的基来源则以及熵判据。答：基来源则：能够假想系统环绕该状态发生各样可能的虚改动，而比较由此惹起热力学函数的变化，依据热力学函数处在均衡态时的性质来判断系统的状态。熵判据：孤立系统中发生的任何宏观过程，都朝着使系统的熵增添的方向进行。假如孤立系统已经达到了熵为极大的状态，就不行能再发生任何宏观的变化，系统就达到了均衡态。所以孤立系统/处在稳固均衡状态的必需和充分条件为：12SSS0。10、写出熵判据的內容。答：孤立系统的熵永不减少，过程进行时熵增添，直到熵达到最大值，系统处于均衡态。11、试写出热力学第二定律的克氏表述和开氏表述内容.答：克劳修斯表述：不行能把热量从低温物体传到高温物体而不惹起其余变化。开尔文表述：不行能从单调热源汲取热量使之完整变成实用功而不惹起其余变化。12、写出等概率原理的内容。答：处于均衡态的孤立系统，各个可能的微观状态出现的概率是相等的。13、热力学第二定律的两种表述及其数学表达式。答：（开尔文表述）不行能制造出这样一种循环工作的热机，它只使单调热源冷却来做功，而不放出热量给其余物体，或者说不是外界发生任何变化。（克劳修斯表述）不行能把热量从低温物体自动传到高温物体而不惹起外界的变化。用数学式表示为：dUTdSdW。14、简述等概率原理答：关于处在均衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。该原理是统计物理中一个基本的假定。15、什么是能量均分定理？答：关于处在温度为T的均衡状态的经典系统，粒子能量中的每一个平方项的均匀值等于1kT。这是依据经典玻耳兹曼散布导2出的一个重要定理。16、什么是微观粒子的全同性原理？答：该原理指出，全同粒子是不行分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对调，不改变整个系统的微观运动状态。17、写出玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统这三个系统散布{al}的表达式答：三个系统的散布{al}的表达式分别为：玻耳兹曼系统：allel；玻色系统：allle

费米系统：1lalel118、简述卡诺定理的内容。答：卡诺定理指出：所有工作于相同高温热源和低温热源的卡诺机，以可逆的卡诺机的效率为最大，可任。19、吉布斯函数的定义及其物理意义答：吉布斯函数定义为：GUTSPV。吉布斯函数是一个态函数,它的变化能够用可逆的等温等压过程中的除体积功之外的功来量度。20、统计物理基本假定是什么？答：统计物理基本假定是就是等概率原理,即孤立系统均衡态时各样可能的微观态出现的概率均等。21、简述热力学均衡态答：孤立系统，无论其初态怎样复杂，经过足够长的时间后，将会达到各样宏观性质长时间内不随时间变化的状态，这样的状态叫热力学均衡态。22、表达自由能的定义及其物理意义答：自由能的定义FUTS。自由能是个态函数，它的变化能够用可逆等温过程中的功来量度。23、简述等概率原理的基本内容答：孤立系统处于均衡态时，所有可能出现的微观态的概率均相等。24、玻耳兹曼关系及其物理意义kln，系统愈趋于均衡态，微观态数愈多，熵越大，所以熵是杂乱度的量度。25、写出热力学第二定律的开尔文表述内容。有人利用地球表面和地球内部温度不一样，做一个热机来发电，称地热发电，把地球内部能量边为实用的电能，这能否违反热力学第二定律。答：开尔文表述：不行能从单调热源汲取热量使之完整变成实用功而不惹起其余变化。因为地球表面和地球内部的温度不一样，不是单调热源，所以不违反热力学第二定律26、简述玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统有什么差别和联系？差别：由费米子构成的系统称为费米系统，遵照泡利不相容原理；由玻色子构成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的拘束；把可分辨的全同近独立粒子构成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称为玻耳兹曼系统。联系：在知足经典极限条件ea>>1时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在均衡态遵照玻耳兹曼散布。27、经典能量均分定理的内容是什么？举出不知足经典能量均分定理的三种情况。关于处在温度为T的均衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的均匀值等于1kT。2（1）原子内的电子对气体的热容量没有贡献。（2）双原子分子的振动在常温范围内对热容量没有贡献。（3）低温下氢的热容量所得结果与实验不符。28、为何在熵和体积不变的状况下，均衡态的内能最小？由热力学第二定律有：dUTdSpdV可得：当S、V不变时，即dS=0，dV=0。所以，dU0因而可知，在系统由非均衡态趋势均衡态的过程中，系统的内能向来在减少dU0。当系统达到均衡时，dU=0，内能取极小值。29、什么是熵增添原理？答：绝热过程中系统的熵永不减少。关于可逆绝热过程，系统的熵不变。对不行逆绝热过程，系统的熵增添。或孤立系统的熵永不减少，这个结论叫做熵增添原理。二、计算题1、已知粒子遵照经典玻耳兹曼散布散布，其能量表达式为：1px2py2pz2ax2bx，此中a,b是粒子常量，求粒子的均匀能量。2m解：应用能量均分定理求粒子的均匀能量时，需要注意所给能量表达式中ax2和bx两项都是x的函数，不可以直接将能量均分定理应用于ax2项而得出ax21kT的结论。要经过配方将表达为21222axb2b22mpxpypza4a在上式中，仅第四项是x的函数，又是平方项。由能量均分定理知12b2b2b222b2pxpypzax4a2kT2kT2ma4a4a2、系统由N个无互相作用的线性谐振子构成.a)若其能量表达式为：px21kx22m2时，求系统的内能；b)若其能量表达式为：解：a)由能均分定理

n(n1),n0,1,2时，求系统的内能。2UNkTb)UN,lnZ1,Z1nenn111nnZ1e2e2ee2nnlnZ11ln1e2

11elnZ1112e12e11NUN2e1议论：高温极限和低温极限。3、试求双原子分子理想气体的振动熵。解：双原子分子理想气体的振动配分函数：Z1ven0

n

12

e2/1elnZ1vβωln1eβω2vvβvNkβω1ln1eβωSNklnZ1lnZ1eβωβ1vθ1θ/T引入vNkNkln1e/k，得：STθT1ev三、证明题1、试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。S证明：等压过程中熵随体积的变化率为：，温度随体积的VP变化率为：TVP方法一：由雅可比队列式可得：S=S，P=S，PT，P=ST（1）VPV，PT，PV，PTPVPdQS可得：SCP（2）由CPTTPTdTTP将（2）式代入（1）式可得：SCPT证毕VPTVP因为：CP0，T0，所以：S的增减取决于T的增减。VVPP方法二：由SSP，VSP，TP，V可得：SVP

STCPTTPVPTVP2、试证明，关于二维自由粒子，在长度L2内，在到d的能量范围内，量子态数为Dd2L22md。h证明：关于二维自由粒子，在体积元dxdydpxdpy内的量子态数为：1dxdydpxdpy，h2用极坐标描绘时，二维动量空间的体积元为pdpd。在面积SL2内，量大小在p到pdp范内，量方向在到d范内，二自由粒子的可能状数：的SS－面)dn2dPxdPyh2PdPd(sh因P22m

只与P相关（P>0）,故分可得：Dd2S2SP22mSdD2mS2h2PdPh22m，mh2h2，(s=L)3、明：(CV)TT(2p)V，(Cp)TT(2V)p，并由此出：VT2pT2V2p；Cpp2VCV0T(0T(CVT2)VdVCpT2)pdpV0p0明：CVUTS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑴TVTV以T,V状参量，将上式求V的偏数，有CVT2ST2S2p⋯⋯⋯⋯⋯⑵T2VTVTTVTV此中，第二步交了偏数的求序次，第三步用了麦氏关系，由理想气体的物方程pVnRT知，在V不，p是T的性函2p0，所以CV0。意味着，理想气体的定容数，即T2VVT容量不过温度T的函数。在恒定温度下将式⑵分，得CC0V2pdVT⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑶VVV同理式（）：Cp2V⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯pT2TT⑷以以T,p状参量，将上式再求p的偏数，有CpT2ST2ST2V⑸pTpTTpT2p此中，第二步互换了偏导数的求导序次，第三步应用了麦氏关系，由理想气体的物态方程pVnRT知，在p不变时，V是T的线性函2V0，所以Cp0。这意味着，理想气体的定容热数，即T2ppT容量不过温度T的函数。在恒定温度下将式⑵积分，得0Tp2VdpCpCpp0T2p4、气柱的高度为H，处在重力场中，试证明此气柱的内能和热NmgHN(mgH)2emgHkT1容量为UU0NkT，CVC0VNk(emgHkT1)mgHkT1)2kT2(e证明：假定气体是单原子分子理想气体。重力场中分子的能量为：1px2py2pz2mgz，粒子的配分函数为：2m11(px2py2pz2)mgzZ1e2mdxdydzdPXdPYdPZ3h1(2m32dxdyHe1mgzdz12m32A1e1mgH)h3)h3()(10mg此中dxdy是气柱的截面积。气柱的内能为：UNlnZ13NkTNkTNmgHU0NkTNmgH1)β2mgHkT1)(eβmgH(e式中U03NkT2mgHUN(mgH)2ekT1气体的热容量为CVC0VNkTmgHkT1)2kT2(e5、试求绝对零度下金属电子气体中电子的均匀速率v。解：由εPF2T0K可得时电子的散布。2mf1，εμ0εFf0，εεFεFPF2此中εF是费米能级，PF是费米动量。2m因为在体积V内，动量大小在P-PdP范围内的量子态数为：4V2P2dP，考虑到电子自旋在动量方向的投影有两个可能h3值。8VPF214PPdPPF303PF所以，动量的均匀值为：Ph248VPF134PdPPFh303由：Pmv可得，均匀速率为：v3PF4m四、推论题1、设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假定粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在均衡态下两种粒子的最概然散布分别为：allel和allel。此中l和l是两种粒子的能级，l和l是能级简并度。解：粒子A能级，粒子数散布：l——{al}——简并度l粒子B能级，粒子数散布：’l——{al}——简并度l系统两种粒子散布要知足的条件为：alN，alNallallEllll散布al，对应的微观状态数为N!al1lal!ll散布al，对应的微观状态数为N!al2al!lll则系统的微观态数为12上式表示：当第一类粒子的散布为{al}，而同时第二类粒子的散布为{a’l}时系统的微观态数。在均衡下两种粒子的最可几散布是对应于在限制条件alN，lalNallallE下使lnln12为极大的散布。利lll用斯特林公式可得：lnln12NlnNallnalallnlNlnNallnalallnlllll由ln120，得ln1ala