一轮复习数学浙江专版学案第二章 第一节 不等关系与不等式

第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；(2)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac________bd；(3)a＞b＞0⇒eq\r(3,a)________eq\r(3,b).答案：(1)＞(2)＞(3)＞2.eq\r(2)＋eq\r(7)，eq\r(3)＋eq\r(6)的大小关系为____________．答案：eq\r(2)＋eq\r(7)＜eq\r(3)＋eq\r(6)3．已知a＜0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2的大小关系是________．(用“＞”连接)解析：由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1.又a＜0，∴ab＞ab2＞a.答案：ab＞ab2＞a1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b＜c⇒a＜c.2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a＞b⇒ac2＞bc2；若无c≠0这个条件，a＞b⇒ac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a，b，c∈R，且a＞b，则()A．ac＞bcB.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C．a2＞b2D.a3＞b3答案：D2．“a＞b＞0”是“eq\f(1,a2)＜eq\f(1,b2)”的________条件．答案：充分不必要eq\a\vs4\al(考点一比较两个数式的大小)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知p＝a＋eq\f(1,a－2)，q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2，其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是()A．p≥qB．p＞qC．p＜qD．p≤q解析：选A因为a＞2，所以p＝a＋eq\f(1,a－2)＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．所以p≥q.2．若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，则a____b(填“＞”或“＜”)．解析：易知a，b都是正数，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝log89＞1，所以b＞a.答案：＜3．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则eq\f(S3,a3)与eq\f(S5,a5)的大小关系为________．解析：当q＝1时，eq\f(S3,a3)＝3，eq\f(S5,a5)＝5，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).当q＞0且q≠1时，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝eq\f(a11－q3,a1q21－q)－eq\f(a11－q5,a1q41－q)＝eq\f(q21－q3－1－q5,q41－q)＝eq\f(－q－1,q4)＜0，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).综上可知eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).答案：eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5)[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法作差法其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论．用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法作商法判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与1的大小确定后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤eq\a\vs4\al(考点二不等式的性质)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)解析：选B因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以eq\f(1,－d)＞eq\f(1,－c)＞0.又a＞b＞0，所以eq\f(a,－d)＞eq\f(b,－c)，所以eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).故选B.2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，则下列结论不正确的是()A．a2＜b2 B．ab＜b2C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|解析：选D∵eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，∴选项A、B、C均正确，∵b＜a＜0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D项错误，故选D.2．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)D．若a＜b＜0，则eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)解析：选BA选项需满足c≠0；取a＝－2，b＝－1知选项C、D错误．故选B.eq\a\vs4\al(考点三不等式性质的应用)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·嘉兴期末)已知－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，则3x＋2y的取值范围是____________．解析：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y，所以m＋n＝3，m－n＝2，解得m＝eq\f(5,2)，n＝eq\f(1,2)，所以3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)，由－1＜x＋y＜4，得－eq\f(5,2)＜eq\f(5,2)(x＋y)＜10，由2＜x－y＜3，得1＜eq\f(1,2)(x－y)＜eq\f(3,2)，上述不等式相加得－eq\f(3,2)＜eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)＜eq\f(23,2)，所以－eq\f(3,2)＜3x＋2y＜eq\f(23,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2)))2．已知1≤lgxy≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，求lgeq\f(x2,y)的取值范围．解：由1≤lgxy≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，而lgeq\f(x2,y)＝2lgx－lgy＝eq\f(1,2)(lgx＋lgy)＋eq\f(3,2)(lgx－lgy)，所以－1≤lgeq\f(x2,y)≤5，即lgeq\f(x2,y)的取值范围是[－1,5]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a＜10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9,18] B．(15,30)C．[9,30] D．(9,30)解析：选D∵eq\f(a,2)≤b≤2a，∴eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a，即eq\f(3a,2)≤c≤3a.∵6＜a＜10，∴9＜c＜30.故选D.2．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：(－3,3)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A＜B D．A＞B解析：选B由题意得，B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是()A.eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)B.eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．|a|＞|b| D．a2＞b2解析：选A取a＝－2，b＝－1，则eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)不成立．3．(2018·浙江十校联盟适考)设a＞0且a≠1，则“ab＞1”是“(a－1)b＞0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C若ab＞1，因为a＞0且a≠1，所以当0＜a＜1时，b＜0，此时(a－1)b＞0成立；当a＞1时，b＞0，此时(a－1)b＞0成立．若(a－1)b＞0，因为a＞0且a≠1，所以当0＜a＜1时，b＜0，此时ab＞1；当a＞1时，b＞0，此时ab＞1.所以“ab＞1”是“(a－1)b＞0”的充要条件．4．(2018·金华模拟)设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0解析：选D利用赋值法，令a＝1，b＝0，排除A、B、C，选D.5．bg糖水中有ag糖(b＞a＞0)，若再添mg糖(m＞0)，则糖水变甜了．试根据这一事实，提炼出一个不等式____________．答案：eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M＜N B．M＞NC．M＝N D．不确定解析：选BM－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0.∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.∴M＞N.2．若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，给出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab)；②|a|＋b＞0；③a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式的序号是()A．①④ B．②③C．①③ D．②④解析：选C法一：因为eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.法二：由eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab)，故①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，则－eq\f(1,a)＞－eq\f(1,b)＞0，所以a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误．由以上分析，知①③正确．3．(2018·宁波模拟)设a，b是实数，则“a＞b＞1”是“a＋eq\f(1,a)＞b＋eq\f(1,b)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选A因为a＋eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＝eq\f(a－bab－1,ab)，若a＞b＞1，显然a＋eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＝eq\f(a－bab－1,ab)＞0，则充分性成立，当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)时，显然不等式a＋eq\f(1,a)＞b＋eq\f(1,b)成立，但a＞b＞1不成立，所以必要性不成立．4．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：选D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．5．设a＜0，b＜0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系是()A．p＞q B．p≥qC．p＜q D．p≤q解析：选Dp－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－(a＋b)＝eq\f(b3＋a3－a2b－ab2,ab)＝eq\f(aa2－b2－ba2－b2,ab)＝eq\f(a－ba2－b2,ab)＝eq\f(a－b2a＋b,ab).因为a＜0，b＜0，所以eq\f(a－b2a＋b,ab)≤0，即p≤q，故选D.6．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a________2b－eq\f(b2,a)(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：∵a≠b，a＜0，∴a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2b－\f(b2,a)))＝eq\f(a－b2,a)＜0，∴a＜2b－eq\f(b2,a).答案：＜7．已知函数f(x)＝ax＋b,0＜f(1)＜2，－1＜f(－1)＜1，则2a－b的取值范围是________．解析：由函数的解析式可知0＜a＋b＜2，－1＜－a＋b＜1，又2a－b＝eq\f(1,2)(a＋b)－eq\f(3,2)(－a＋b)，结合不等式的性质可得2a－b∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))8．已知a＋b＞0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)9．已知存在实数a满足ab2＞a＞ab，则实数b的取值范围是__________．解析：∵ab2＞a＞ab，∴a≠0，当a＞0时，b2＞1＞b，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＞1，,b＜1，))解得b＜－1；当a＜0时，b2＜1＜b，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＜1，,b＞1，))此式无解．综上可得实数b的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．实数x，y满足3≤xy2≤8，eq\f(1,9)≤eq\f(y,x2)≤eq\f(1,4)，求eq\f(x3,y4)的取值范围．解：∵eq\f(1,9)≤eq\f(y,x2)≤eq\f(1,4)，∴4≤eq\f(x2,y)≤9，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))2∈[16,81]．又∵3≤xy2≤8.∴eq\f(1,xy2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,3)))，∴eq\f(x3,y4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))2·eq\f(1,xy2)∈[2,27]，故eq\f(x3,y4)的取值范围为[2,27]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·合肥质检)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则eq\f(c,a)的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(0,2)C．(1,3) D．(0,3)解析：选B由已知及三角形三边关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜b＋c≤3a，,a＋b＞c，,a＋c＞b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,1＋\f(b,a)＞\f(c,a)，,1＋\f(c,a)＞\f(b,a)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,－1＜\f(c,a)－\f(b,a)＜1，))两式相加得，0＜2·eq\f(c,a)＜4