第四章 数列（公式、定理、结论图表） 【核心要点梳理+知识架构建模】 高考数学高分突破冲刺必背

第四章

数列（公式、定理、结论图表）一．数列的概念：1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.3．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．6、求数列中最大最小项的方法：最大最小考虑数列的单调性二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则．通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．通项公式特点：是数列成等差数列的充要条件。3、等差中项若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列4、等差数列的基本性质（1）。（2）（3）5、等差数列的前项和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式等差数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则，且，．=2\*GB3②若项数为，则，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差数列．6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列三、等比数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．（2）符号表示：2、通项公式（1）、若等比数列的首项是，公比是，则．（2）、通项公式的变形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。4、等比数列性质若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．5、等比数列的前项和的公式：（1）公式：．（2）公式特点：（3）等比数列的前项和的性质：=1\*GB3①若项数为，则．=2\*GB3②．=3\*GB3③，，成等比数列（）．6、等比数列判定方法：=1\*GB3①定义法：为等比数列；=2\*GB3②中项法：为等比数列；=3\*GB3③通项公式法：为等比数列；=4\*GB3④前项和法：为等比数列。四、等差数列与等比数列性质的比较等差数列等比数列定义(为常数,)递推公式通项公式或（）或中项成等差数列的充要条件：成等比数列的充要条件：前项和=1\*GB3①；重要性质①②等和性：若（、、、），则③若（、、），则．④构成等差数列.①②等积性：若（、、、），则③若（、、），则④构成的数列是等比数列.单调性：设d为等差数列的公差，则d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列.递增数列；递减数列；q=1是常数数列；q<0是摆动数列证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1.定义法2.中项法3.通项公式法：（为常数）4.前n项和公式法：（A,B为常数）证明一个数列为等比数列的方法：1.定义法2.中项法3.通项公式法：(A,q为不为0的常数)4.前n项和公式法：()设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：<解题方法与技巧>1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意1等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；2对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；3注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；4当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：（一）公式法①等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.②等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))③数列前项和重要公式：（1）（2）（3）（4）（5）等差数列中，；（6）等比数列中，.一分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.三裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.常见的裂项技巧①等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）②根式型（1）（2）（3）（4）（5）③指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）④对数型⑤幂型（1）（2）（3）⑥三角型（1）（2）（3）（4），则⑦常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．（11）．四错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；(2)基本步骤(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．五倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法.用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.典例1：等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.【解析】(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12，))所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.典例2：数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；(2)设cn＝eq\f(an,2n－2)，求证：{cn}是等差数列．【证明】(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以eq\f(an＋1,2n－1)－eq\f(an,2n－2)＝3.所以cn＋1－cn＝3，且c1＝eq\f(a1,2－1)＝2，所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.典例3：已知数列{an}是递增的等差数列，a2＝3，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn；(3)若cn＝eq\f(2,anan＋1)，设数列{cn}的前n项和为Tn，求满足Tn>eq\f(24,25)的n的最小值．【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,a\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝a1a5))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝3，,a1＋d2＝a1a1＋4d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)由(1)得：bn＝an＋2n＝2n－1＋2n，则Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋2＋22＋23＋…＋2n＝eq\f(1＋2n－1n,2)＋eq\f(2－2n＋1,1－2)＝n2＋2n＋1－2，∴Sn＝n2＋2n＋1－2.(3