高中数学第二章数列章末过关检测卷新人教A版必修

PAGEPAGE1章末过关检测卷(二)第二章数列(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有穷数列{1，23，26，29，…}，那么23n＋6的项数是()A．3n＋7B．3n＋6C．n＋3D．n＋21．解析：此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n＋6，为等差数列，且首项an＝0，公差d＝3，设3n＋6是第x项，则3n＋6＝0＋(x－1)×3⇒x＝n＋3.答案：C2．已知数列{an}中a1＝1且满足an＋1＝an＋2n，n∈N*，则an＝()A．n2＋n＋1B．n2－n＋1C．n2－2n＋2D．2n2－2n＋12．B3．(2014·广东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝()A．36B．35C．34D．333．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34.答案：C4．(2014·黑龙江佳木斯一中三调)数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a\s\do9(\f(n,2))（n为偶数），,\f(1,an－1)（n为奇数），))若an＝eq\f(1,4)，则n的值等于()A．7B．8C．9D．104．解析：因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋a2＝3，a5＝eq\f(1,a4)＝eq\f(1,3)，a6＝1＋a3＝eq\f(3,2)，a7＝eq\f(1,a6)＝eq\f(2,3)，a8＝1＋a4＝4，a9＝eq\f(1,a8)＝eq\f(1,4)，所以a9＝eq\f(1,4)，n＝9，故选C.答案：C5．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝eq\r(2)－1，a5＝eq\r(2)＋1，则aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝()A．4B．6C．8D．8－4eq\r(2)5．解析：在等比数列中，a3a7＝aeq\o\al(2,5)，a2a6＝a3a5，∴aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝(eq\r(2)－1＋eq\r(2)＋1)2＝(2eq\r(2))2＝8，故选C.答案：C6．(2014·辽宁卷)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，A．d＜0B．d＞0C．a1d＜0D．a1d6．解析：因为{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，∴2a1an＝2aeq\o\al(2,1)＋a1(n－1)d，又由于{2a1an}为递减数列，所以eq\f(2a1an,2a1an＋1)＝2－a1d＞1＝20，∴a1d＜0，故选C.答案：C7．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为0的常数)，则数列{an}()A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或是等差数列或是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列7．C8．(2014·吉林普通中学摸底)已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，6)B．(－∞，4]C．(－∞，5)D．(－∞，3]8．解析：数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是递减数列，则－eq\f(λ,2·（－2）)≤1，即λ≤4.答案：B9．在数列{an}中，a1＝1，an＞0，aeq\o\al(2,n＋1)＝aeq\o\al(2,n)＋4，则an＝()A．4n－3B．2n－1C.eq\r(4n－3)D.eq\r(2n－1)9．C10．下列四个命题：①若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；②若{an}为等差数列，且常数c>0且c≠1，则数列{can}为等比数列；③若{an}为等比数列，则数列{aeq\o\al(4,n)}为等比数列；④非零常数列既是等差数列，又是等比数列．其中，真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个10．解析：对于①当a、b、c都为零时，命题不成立；②③④成立．答案：C11．等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．8411．解析：设等比数列公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42，故选B.答案：B12．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n＋(1－t)，则“t＝1”是“数列{an}为等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．C二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝－2，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________．13．－475014．(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋……＋lna14．解析：由题意知a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10因此a1·a2…a20＝(a1a20)·(a2·a12)…(a10a11)＝(a10a11)10＝(e5)10＝因此lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1·a2…a20)＝lne50＝50.答案：5015．(2013·辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝__________.15．解析：∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝eq\f(1×（1－26）,1－2)＝63.答案：6316．已知函数f(x)＝x2＋2bx过点(1，2)，若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,f（n）)))的前n项和为Sn，则S2015的值是________．16．解析：∵函数f(x)＝x2＋2bx过点(1，2)，∴1＋2b＝2，解得b＝eq\f(1,2).∴f(x)＝x2＋x.∴eq\f(1,f（n）)＝eq\f(1,n2＋n)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).∴Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).∴S2015＝eq\f(2015,2016).答案：eq\f(2015,2016)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知等差数列{an}，a6＝5，a3＋a8＝5.(1)求{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}满足bn＝a2n－1，求{bn}的通项公式bn.17．解析：(1)设{an}的首项是a1，公差为d，依题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝5，,2a1＋9d＝5.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－20，,d＝5.))∴an＝5n－25(n∈N*)．(2)由(1)an＝5n－25，∴bn＝a2n－1＝5(2n－1)－25＝10n－30，∴bn＝10n－30(n∈N*)．18．(本小题满分12分)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.18．解析：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得eq\f(1＋2d,1)＝eq\f(1＋8d,1＋2d)，解得d＝1，d＝0(舍去)．故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N*)．(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＝2n＋1－2.19．(本小题满分12分)(2013·大纲全国卷)等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝aeq\o\al(2,2)，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．19．解析：设{an}的公差为d.由S3＝aeq\o\al(2,2)，得3a2＝aeq\o\al(2,2)，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得Seq\o\al(2,2)＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1(n∈N*)．20．(本小题满分12分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).20．分析：本题第(1)问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列求出其通项公式；对第(2)问，可先由第(1)问求出eq\f(1,an)，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式．证明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))，所以eq\f(an＋1＋\f(1,2),an＋\f(1,2))＝3，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))是等比数列，首项为a1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，公比为3，所以an＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)·3n－1，因此{an}的通项公式为an＝eq\f(3n－1,2)(n∈N*)．(2)证明：由(1)知：an＝eq\f(3n－1,2)，所以eq\f(1,an)＝eq\f(2,3n－1)，因为当n≥1时，3n－1≥2·3n－1，所以eq\f(1,3n－1)≤eq\f(1,2·3n－1)，于是eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)≤1＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))＜eq\f(3,2)，所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).21．(本小题满分12分)求数列1，3a，5a2，7a3，…，(2n－1)an－121．解析：(1)当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝eq\f(（1＋2n－1）n,2)＝n2.(2)当a≠1时，Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)anaSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，两式相减(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)＝1＋2eq\f(a（1－an－1）,1－a)－(2n－1)an，此时Sn＝eq\f(2a（1－an－1）,（1－a）2)＋eq\f(an＋1－2nan,1－a).综上，Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2，a＝1，,\f(2a（1－an－1）,（1－a）2)＋\f(an＋1－2nan,1－a)，a≠1.))22．(本小题满分10分)(2014·大纲全国卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.22．解析：(1)由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整数，又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.解得－eq\f(10,3)≤d≤－eq\f(5,2).因此d＝－3.数列{an}的通项公式为an＝13－3n(n∈N*)．(2)bn＝eq\f(1,（13－3n）（10－3n）)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10－3n)－\f(1,13－3n))).所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\