参数估计习题解答

参数估计习题与习题解答6。11.从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据(单位:h)：1050，1100，1130,1040,1250，1300，1200，1080试对这批元件的平均寿命以及分布的标准差给出矩估计.解：样本均值元==1143.751050+110+1130+解：样本均值元==1143.758样本标准差 S='[m(X—X)27 ，'i=1:、;[1050—1143.75)2+…+(1080—1143.75)2]=96.0562因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143。75和96.0562.设总体X〜U(0,9)，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为0.5，1.3，0.6，1.7，2。2，1。2,0。8，1。5，2。0，1。6试对参数9给出矩估计.0.5+1.3+,,,+1.6解：由于E(X)=M2，即9=2E(X)，而样本均值X= - =1。34,故9八的矩估计为9=2X=2.68.设总体分布列如下，x1?-x^是样本，试求未知参数的矩估计1(1)P(X=k)= ,k=0,1,2,…,N—1,N(正整数)是未知参数；N(2)P(X=k)=(k—1)92(1—9)k—2,k=2,3,…,0<9<1.解：(1)总体均值E(X)=0+1+・…+N1=1，解之可得n=2E(X)+11V 4八故N的矩估计量N=2X+1,其中X为样本均值，若2X不是整数，可取大于2X的最小整数代替2X.(2)总体均值E(X)=5k(k—1)92(1—9)k-2=925k(k—1)(1—9)k-2，由于k=2考上（左一1）（1—。）k-2k=22 2故有2 2故有E⑶他右R即八k'从而参数的6矩估计为吁京.设总体密度函数如下，、，，x〃是样本，试求未知参数的矩估计2(1)p(x;0)=—(0-x),0<x<0,0>0;02(2)p(x;0)=(0+1)x0,0<x<1,0>0;(3)p(x;9)= -i,0<x<1,0>0;(4)t?(x;0,|Li)=—e~Q,x>|Li,0>0.0r2 2f ]解：(1)总体均值E(X)=J°7r_x(e—x)dx=『J9(9x—X2)dx=-。，即即0=3E(X),oO2 020 3故参数°的矩估计为5=3五⑵总体均值e（X）J/。+1）双心目，所以e=寄'从而参数。的矩估八1—2元计°」(3)由E(X)』xJ。x、(3)由E(X)』xJ。x、0-idx二

o再可得。=JO+1E(X)(1—NX"¥，由此，参数。的矩估计2八0=（4）先计算总体均值与方差E(X)=+00pi4川+0 0E(X)=+00pi4川+0 0£(X2)J+°°J+co0I 彳_1[ f ]工x2—e~odx=]+CQ(t+u)2—e~edt

eo e1_xt?—eQdt+

01+用2 =202+2日0+日2.oeVar(X)=£(X2)-(£(X))2=®2由此可以推出e=。4次（乂）,日=£（x）—，从而参数仇日的矩估计为S=S,0=无一s..设总体为N（p,1）,先对该总体观测n次,发现有k次观测为正,使用频率替换方法求R的矩估计.k 一解:由题意知，观测为正的频率右一，下面计算观测值为正的概率。当总体为N（日,1）n时，尸（X〉0）=1-P（X<0）=1—P（X—日<—日）=①（日）其中①为标准正态分布的分布函数。一一k 八.（k）利用频率替换概率的方法有①（日）=―，这给出参数的矩估计为日二①-1一=un InJknk譬如，若设一=0。281，则由上式知目是标准正态分布的分布的0。281分位数，查表得n八日=u =-0。580.281.甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发班个错字，乙发现b个错字，其中共同发现的错字有c个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：（1）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数.解（1）设该书样稿中总错字的个数为9，甲校对员识别出错字的概率为J,乙校对员识别出错字的概率为P2，由于甲，乙是彼此独立地进行校对，则同一错字能被识别的概率为a八b ab cPP,根据频率替换思想有P=,P=,由独立性可得矩法方程x--x-=,解之得12 19 29 999ab9=——c（2）未被发现的错字估计等于总错字数的估计减去甲，乙发现的错字数，即ab——a—b+c.c譬如，若设a=120,b=124,c=80,则该书样稿中错字总数的矩法估计9八=⑵=186，而未被发现的错字个数的矩法估计为186-120-124+80=22个。80.设总体概率函数如下,5,,xn是样本，试求未知参数得最大似然估计。p(x;9)=*9x9—1,0<x<1,9>0；P(x;9)=9c9x-(9+D,x>c,c>0已知,9〉1解(1)似然函数为(9)=(JS)n(x1?...,xj61其对数似然函数为lnL(9)=nln9+(<9—1)(lnx+.・・+Inx)2 1 n将lnL（9）关于9求导并令其为0即得到似然方程

61nL(0) n6061nL(0) n60=20+(1nx+ +1nx)—10=0八15、解之得0=(—工1nx)-2ni=1由于621nL(0)602I202403/2)(£1nx)4八所以0是0的最大似然估计。(2)似然函数为L(0)=0ncn0(xj・-xnA(e+D,其对数似然函数为1nL(0)=n1n0+n0Inc-(0+1)(1nx+…1nx)解之可得由于62InL(0由于62InL(0)60ni=1Lnx-Inc)-1这说明0是0的最大似然估计。8.设总体概率函数如下，1…,匕是样本,试求未知参数的最大似然估计.(1)p(x；0)=c0cx-(c+1),x>0,0>0,c>0已知;1 x-|1(2p(x;0,从)= e-0,x>从,0>0;0p(x;0)=(k0)(k0)-1,0<x<(k+1)0,0>0解：(1)样本x/…,xn的似然函数为L(0)=cn0nc(x…x)一(c+1)I{ 0要使L(0)达到最大，首先示性函数应为1,其次是0nc尽可能大.由于C〉0,故0nc是0的单调增函数，所以0的取值应尽可能大,但示性函数的存在决定了0的取值不能大于x⑴,由此给出的0最大似然估计为x⑴(2)此处的似然函数为L(0)=(0>exp]-：才(xi一旦)卜x⑴>或i=1其对数似然函数为1nL(0,四)=-n1n0-y由于

所以,lnL(0,四)是日的单调增函数，要使其最大，口的取值应该尽可能的大，由于限制TOC\o"1-5"\h\zR<x，这给出R的最大似然估计为1=x.(1) (1)将lnL(0,四)关于0求导并令其为0得到关于0的似然方程£（x-^）ni=--+i=1c =0\o"CurrentDocument"0 02£(x-0)i 人解之得0=H =X-X.n (1)(3)似然函数为L(0)=(k0)-nIL良X(1)<X(n/(k+1)0)由于L(0)=(k0)-n是关于0的单调递减函数，要使L()达到最大,0应尽可能小，但X X由限制1X(1)VX(n)・(k+1/可以得至k+1"0"X(1),这说明0不能小于由,因而0的最大似人X然估计为0二百。9.设总体概率函数如下，X1，…,Xn是样本,试求未知参数的最大似然估计。p（X；0）=^—e-lX1/0,0>0；20pQ;0）=1,0-1/2<x<0+1/2；⑶PG；01，"=占，01<X<02。2 1解：(1解：(1)不难写出似然函数为L(0)=£।xii对数似然函数为lnL（0）=-nln20-a—0将之关于0求导并令其为将之关于0求导并令其为0得到似然方程SlnL（0）-10-£।x।-n i= +-i=1 0 02£।x। 一八 i解之可得0=——而：a2lnL(a2lnL(0)a02=————--102 02A0i.n2 八=--v <0(EIX1)2iA0人故0是0的最大似然估计(2)此处的似然函数为L(0)(2)此处的似然函数为L(0)=II0-2<x⑴<X(n)<0+2它只有两个取值：0和1,为使得似然函数取1,0的取值范围应是X——<0<X+一(1) 2,因1 1而0的最大似然估计0可取(X(n)-展X⑴+工)中的任意值。(3)由条件，似然函数为L(0)=c1c; 。(02-01)n a<x(1)<x(2)心要使LI)要使LI)尽量大，首先示性函数应为1，这说明1<X(1)<X(2)<®2｝；其次02力要尽量小,综上可知，01的最大似然估计应为X(1)，02的最大似然估计应为X(n)..一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品,每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数.假设这100次观察相互独立,求这地区石子中石灰石的比例的最大似然估计。该地质学家所得的数据如下样本中的石子数012345678910样品个数016723262112310解：本题中，总体X为样品中石灰石的个数，且X服从参数(10,p)为的二项分布，即「10「10\ ”、px(1-p)10-X.lXJ又设X1，X2,，X100为样本，则其似然函数为(忽略常数)里X里XL(p)=pj(1-p)项10x100-乙xii=1对数似然函数为lnL(p)=ExInp+(10x100-Ex)ln(1-p)i=1 i=1将对数似然函数关于p求导并令其为0得到似然方程alnL(alnL(p)

dpE100x—i=1-ip10x100-E100XI-l=0,解之得由于i由于i,—%P=-4^——1000圮x 1000-艺xdln2L(p) i i八 -二—4—— W—<0dp2 p2 (1—p)2由二阶导数的性质知，p的最大似然估计为圮xi圮xi-4=1——10001000499—-=0.499.在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为m—n ,x=1,2，…，m.—px(1—p)m—n ,x=1,2，…，m.1—(1—p)m若已知，m=2,?x2，…,xn是样本，试求p的最大似然估计。解:当m=2时，该截尾二项分布只能取1与2,不妨设x,l…,xn的样本中有n1个x,为1，有n—n1个2则其似然函数为(忽略常数)L(p);pn1(1—p)n1p2(n-n1) p2n-n1(1—p)n1 pn-n1(1—L(p);(1—(1—p)2)n(1—(1—p)2)n (2—p)n对数似然函数为InL(0)=(n—n)lnp+nln(1—p)—nln(2—p).将对数似然函数关于p求导并令其为0得到似然方程n-nnn 1—」+ =0.p1—p2—p解之得—2(n—n)2(x—1)p= -=——=——.2n—n x后一个等式是由于才x,=n+2(n—n)=nx,所以%=2n—nix，代入上式即得。i=1.已知在文学家箫伯纳的AnIntelligentWoman’sGuideToSocialism一书中，一个句子的单词数X近似地服从对数正态分布，即Z=lnX~N(|1,52)。今从该书中随机地取20个句子，这些句子中的单词数分别为5224156715226326163273328147291065930

求该书中一个句子单词数均值e(x)=e叱。22的最大似然估计。解：正态分布N3,。2)的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差。即0」£ln元=3.0890,£2=1Z(ln元—3.0890)2=0.5081.20i nii=1 i=1由于最大似然估计具有不变性，因而E(X)=e"022的最大似然估计为«■E(X)=e3。890+0.50812=28.3053..设十…、〃是来自对数级数分布P(X=k)=--1—X匹,0<p<1;k=1,2，…

ln(1-p)k的一个样本,求参数p的矩估计.解：由于EX=汇kPEX=汇kP(X=k)=--k=1EX2=艺k2p(X=k)=-k=1ln(1-p)1ln(1-p)Pk(1-P)ln(1-p)(1-P)2ln(1-p)'.EX 人-Zx因此有1-P=——，从而得到p的矩估计P=1-亍*。EX2 乙x2i.一个罐子里装有黑球个百球，有放回地抽取一个容量为n的样本，其中有k个百球，求罐子里黑球和白球数之比R的最大似然估计。解法1:记p为罐子中白球的比例，令\表示第i次有放回抽样所得的白球数，则元〜b(1,p),i=1,2,…,n,故p的最大似然估计为p=x。in(1-p) 1-p,, 一、….np因为黑球数与白球数比值R= == 。根据最大似然估计的不变性，有np 二 n-k对具体的样本值即n个抽到k个白球来讲,R的最大似然估计为R=下解法2：设罐子里有白球l个，则有黑球Rl个，从而罐子中共有(1+R)l个球，从中有放回的抽一个球为白球的概率为(1+R)l1+R从罐子中有放回的抽n个球，可视为从二点分布

X0（黑球）1（白球）pR1+R11+R中抽取一个样本容量为几的样本。当样本中有k个白球时，似然函数为n-k Rn-k=(1+R)n'其对数似然函数为lnL(R)=(n-k)lnR-nln(1+R),将对数似然函数对R求导，并令其为0,得似然方程n-kn解之可得R=n-1。由于其对数似然函数的二阶导数为ka2lna2lnR (n-k) =- R2 (1-R)2<0,n一所以r=『是r的最大似然估计。譬如,在n=10，k=2场合，R的最大似然估计R=曰-1=4,即罐中黑球数与白球数之比的最大似然估计为4,若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球8个等。15.设X15.设X，…,x和y，…，y分别来自总体N（N，o21 m1 n求0=（从,从,o2）的最大似然估计。1 2解：合样本的似然函数为）和N（go2）的两个独立样本.试L= = expL= = exp(o\/2兀)m+n-A£(Ei=12-」£(y-R)21，202 i2Ii=1 )对数似然函数为一m+n一m+n、lnL=— ln2兀o2+2202£(々

i=11)2-207£(L)2i=1将对数似然函数对.将对数似然函数对.N202分别求导并令其为0，得,£(£(i=1 2=Z(y-R)=0i2冉i=1aiaiao2寡+204[£(“厂4"+£(y-,11)2]=0,

i=1 i=1

由此得到「1y的最大似然估计为JI=ya2=-r=i16.某批产品含有N件，其中M件为不合格品，现从中随机抽取n件中有，件不合格品，则，服从超几何分布，即-， x=1,2,…,min(M,n)假如N与n已知，寻求该批产品中不合格品数M的最大似然估计。解:记未知参数M的似然函数L(M，x)=P(X=x).考察似然比'M+1]<N—M-TL(M+1,x)_1x][n-x M+1 N-M-n+xL(M,x)——fMjfN-M^-M+1—x N-M、xJ[n-x由要使似然比LMJ1x)>1得 ，必然导致(M+1)(N-M-n+x)>(M+1—x)(N-M)L(M,x)化简此式可得M<n(N+1)—1defM0，这表明：当M0为整数和M<M0时似然函数L(M，x)是M的增函数和L(0,x)<L(1,x)<…<L(M0,x)<L(M0+1,x) (**)类似地，要使似然比L(M+1,x)L(M,x)<1,必导致M>n(N+1)—1=M0。这表明，当M0为整数且M>M0时，似然函数L(M，x)是M的减函数和L(M,x)>L(M,+1,x)>…>L(M,x) (**)00比较(*)和(**)可知，当M是整数时，M的最大似然估计为M=M或M+1,而当M不x，一为整数时，M的最大似然估计为M=[M+1]=[-(N+1)],其中[a]为不超过a的最大整0n当x(N+当x(N+1)为整数时，n当x(N+1)不为整数时，nn(N+1)-1或x(N+1),M二年卜 n[x(N+1)]1n一一x，一譬如，在N=19,n=15,x=2场合。M=—(N+1)—1=2/5*(19+1)—1=7,由于M为0n 0整数，故M的最大似然估计为7或8。下面以实际计算加以佐证，几个L(M,2)=Pm(x=2)如下表所示：M678910L(M,2)0.36890。39730。39730。37150。3251可见M取7或8可使似然函数达到最大。x 2又如，在N=16,n=5,x=2场合,M=-(N+1)-1=-(16+1)-1=5。8(不为整数)，这

0n 5时M的最大似然估计M=[M+1]=[5。8+1]=6。实际计算表明 0 M5678L(M,2)0.37770。41210。40380.359可见M取6可使似然函数达到最大。§6。2点估计的评价标准内容概要1。相合性设0e0为未知参数，6=6(X，…，元)是0的一个估计量，n是样nn1 n本容量，若对任何一个£〉0,有八limP(10-01>£)=0,V0e0，nn告g则称0”为参数0的相合估计.n相合性本质上就是按概率收敛，它是估计量的一个基本要求，即当样本量不断增大时，相合估计按概率收敛于未知参数；矩法估计一般都是相合估计；在很一般的条件下，最大似然估计也是相合估计。八.无偏性设=0(X，…,X)是0的一个估计，0的参数空间为0，若对V0e0,n1 n有/XE(0)=0八则称0是0的无偏估计，否则称为有偏估计。八 八假如对任意的0e0,有limE(0)=0，则称0是0的渐近无偏估计。nf+g.有效性设0是0八的两个无偏估计，如果对任意的0e0有1 2Var(0)<Var(0),12且至少有一个0e0使得上述不等号严格成立，则称01比0；有效。八.均方误差设0是0的一个估计(无偏的或有偏的)，则称八 八 八 八MSE(0)=E(0—0)2=Var(0)+(E(0—0))2r\ rx ,一Xc、为0的均方误差。均方误差较小意味着：0不仅方差较小，而且偏差(E0-0)也小,所以均方误差是评价估计的最一般标准。•使均方误差一致最小的估计量一般是不存在的，但两个估计好坏可用均方误差评价:•在无偏估计类中使均方误差最小就是使方差最小。

习题与解答6.2.总体x~u(e,2°),其中。>0是未知参数，又x,,x为取自该总体的样本,£为样1 n本均值.八2 口乙一八上，I人，一(1)证明e=-X是参数e的无偏估计和相合估计；(2)求°的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？TOC\o"1-5"\h\z3e e2解：(1)总体X〜U(e,2e)，则E(X)=—,Var(X)=，从而3e e2E(X)=—,Var(X)= .2 12n于是，e(6)=2e(x)=e，这说明"=2x是参数e的无偏估计。进一步4e2 e2 八Var(e)=x = f0,912n 27n这就证明了e也是e的相合估计。⑵似然函数为L(e)=g)n/(e<x(1)<x(n)<2e),显然L(e)是e的减函数,且e的X取值范围为学<e<x(1)，因而e的最大似然函数估计为e=鼠mle2八TOC\o"1-5"\h\z下求e7的均值与方差，由于x的密度函数为mle ne<xe<x<2ef(x)=n(xee-)n1,e=e(x_e)n1，故e(x)=f2exn(x—e)n—1dx=ne(t+e)t(n—1)dt=^ne,(n)een e0 n+12e n 4n2+8n+2E(x2) x2 (x—e)n1dx= e2(n) een (n+2)(n+1)Var(xVar(x2)=(n)(n+2)(n+1)2从而：—0(n—+oo)eo」e(x)=2n+1e

2 (n) 2(n—0(n—+oo)八所以。7不是e的无偏估计,但它是0的渐近无偏估计和相合估计。mle2.设%1,%2，%3,是取自某总体的容量为3的样本，试征下列统计量都是该总体均值|1的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？八 八 八(1)N=十%+十%+十%(2)从=+%+1%+1%(3)从=十%+十%+2%1 21 32 63 2 31 32 33 1 61 62 33解：先求三个统计量的数学期望E(Q)=十E%++E%++E%=+从++曰+十日二从E(Q)=+E%+1E%+1E%=+从+1从++日二从E(口)=+E%++E%+令E%=+从++从+2从=从这说明他们都是总体均值n的无偏估计，下面求他们的方差，不妨设总体的方差为02。Var(0)=+Var(%)++Var(%)++Var(%)=+02++o2++o2=+o2TOC\o"1-5"\h\z4 1 9 2 36 3 4 9 36 18Var(口)=+Var(%)+十Var(%)++Var(%)=+o2+十o2+Io2=十o2\o"CurrentDocument"9 1 9 2 9 3 9 9 9 3Var(R)=+Var(%)++Var(%)+4Var(%)=+o2++o2+4o2=+o236 1 36 2 9 3 36 36 9 2不难看出，Var(。)<Var(。)<Var(。)，从而R的有效性最差。2 13 33。设e是参数e的无偏估计，且有Var(eT)>0，试征e2不是参数e2的无偏估计。证明:由方差的定义可知,Var(e)=E(e2)-(E(e))2>0.由于e是参数e的无偏估计，八 八 八 八 八 八 八即E(e)=e，因而E(e2);Var(e)+(E(e»>Var(e)+e2>e2，所以e2不是参数e2的无偏估计。.设总体X〜N⑺,o2),%1,%2,…，%n是来自该总体的一个样本。试确定常数C,使c£1(%-%)2

i+1 ii=1为o2的无偏估计。解油于总体X〜N(R,o2),所以E(%2)=o2+R2, E(%%.1)=E(%.)E(%.1)=R2,i=1,2,..n于是(工？ )(工？ )EC£(% -%)2I i+1 i\'i=1 '=C£E(%-%)2=Ci+1 ii=1£E(%2)+£E(%2)-2£E(%%)ii+1 i i+1'i=1 i=1 i=1 '£(o2+R2)+£E(o2+R2)-2£R2=C(2(n-1)(o2+r2)-2(n-1)R2i=1ii=1=2C(n-1)o2可见，要使C£1（X—一X）2为02的无偏估计，只有C=*不i+1i可见，要使C£1（X—一X）2为02的无偏估计，只有C=*不i+1i 2（n—1）-i=15.设从均值为|1方差为02〉0的总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本,其样本均值分别为'X2。试证，对任意常数啊a，b（a+b=1）,丫=叫+bx2都是口的无偏估计，并确定常数a,b使Var（Z）达到最小.证：由于\x2为容量为n1和n2的两个独立样本的样本均值，故E(x)=E(x)=从，Var(x)=02/n,Var(x)=因而:EY=aE(x1)+bE(x2)=a从+b从=从。这说明Y=a{+bx2是口的无偏估计。又由a+b=1知，Y=ax+bx=ax+(1-a)x，从而Var(Y)=a2Var(x)+(1—a)2Var(x)=2a2 (1—a) + =02n1 n2In1“， 1/n求导知，当a= 古一1/n+1/nn—一时，Var（Y）达到最小，此时b=n1+n2这个结果表明，来自同一总体的两个容量为n1和n2的两个独立样本合样本（样本容量为_nx+nxn+n)的均值x= 11 2 n+n12是线性无偏估计类U={ax+（1—a）x）中方差最小的.6.设分别来自总体N（1^,02），和N（%，02）中抽取容量为n1和n2的两个独立样本，其样本方差分别为s12,s22。试证，对任意常数啊a,b（a+b=1）估计，并确定常数a,b使Var（Z）达到最小。Z=asj+bs22都是02的无偏解:由已知条件有(n-1)s2—1 「〜/2(n—1),02 1(n-1)s20%2(n2-1)，且S2,s2独立.于是E12)=E(s2)=02,故E(Z)=E(ais2+bs2)=aEC2)+bE(s2)=a02+b02=(a+bb2=02,这证明了Z=as12+bs/02的无偏估计。Var(Var(Z)=a2Var2(2)+(1-a>Var(s2)()204又Var\2'= ,

一()204一一Var\2)= -,从而2n—11n+n+2(n—1)C-2)a222—a+n—12因而当a=一n一二时，Var（Z）达到最小，此时b=n+n一21——7'n—12n—104,，该无偏估计为2+2（yi—y）2G―2=-i=1 i=1 .n+n—2这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为n/口n2的样本，上述02是O2的线性无偏估计类U=is：+G—a）s；）中方差最小 1 27.设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测量值总体的标准差为O（i=1,2,…,k）用i这些仪器独立的对某一物理量8各观察一次，成为8的无偏估计，且方差达到最小.i=1E8=Ek^a(2x1解:若要使8—=2i=1E8=Ek^a(2x1=a8-| |-a8=8^T^a=8,ri则必须有之ai=1,此时i=1Var8vO/ark^a(2X=a202 ^a202.'厂1 /因此，问题转化为在£a=1的条件下，求之a2。2的极小值。ii=1令f(a,Var8vO/ark^a(2X=a202 ^a202.'厂1 /因此，问题转化为在£a=1的条件下，求之a2。2的极小值。ii=1令f(a,…a)=2a202"2k ii=1iii=1八a—1,由ii=1得到=0,i=1,2,…,k和-^―=0,da 。入i2aG2—九二0,ii(1)从（1）九中可以得到a=--i 202i8.=1,(2)，代入（2）中，解出九二之£a—i1,i=1,2,…,k.O2102i、一2o2Ii—1，从而设*，…,*是来自均匀总体uG18+1）的一个样本。(1)1 n——验证8=*—1,8=*0-n+1,83n+1都是8的无偏估计;（2）解：比较上述三个估计的有效性.令yI=* ,贝I」y.〜U（0,1）1 20+°，*n是来自U（0,1）的样本，且Q广北）+夕于是,我们可将诸估计写成yJy2,…，y”与8的函数:q=e+*J,e2=e+丁由此，E(-1由此，E(-1)-e+e(y)-2=e,VarXG)=Var(y)又yG)~BeG,n)%)~BeQ这说明E(y(1))—9'E(y(nI"n((()nE小()%+1)2(n+2)，由此可以得到E()-e,EG)-e,VarG)-Var6)-TOC\o"1-5"\h\z综上，e/e2,e3均是e的无偏估计，而且e2与e3的方差相等，但在比较e1与e2的方差是要^-^- ^-^-取决于n的大小，当1<n<7时，e比e,e有效;当n>8吐e,e比e有效。1 2 3 2 3 19。设样本x,…,x来自一个正态总体N(n,”样本y,…,y来自另一个正态总体1 n1 11 n2N(n2,42且两个样本独立。(1)求N—N1+N2的矩估计N;1x+ +x— 1n

1(2)如果n—n1x+ +x— 1n

1y+…+y解；(1)由题意可知.的矩估计为xn,N的矩估计为y解；(1)由题意可知.的矩估计为x2n2因而N”—的矩估计「二^-》•=n的条(2)由于x〜N(N1/n),y〜N(N,4/n=n的条1, 1件下人 14Var(pt)=Var(x)+Var(y)= 1 n1df(人 14Var(pt)=Var(x)+Var(y)= 1 n1df(n)使用和本节第5题相同的方法，由/户=-dn1n21—+n21 Fn14(n—n)21一deff(n).n= 11def八=0,可解出n一解n1=-n不适合),而d2f(n) 2上 ———+dn21(n-n)31达到最小。10.设总体X〜Exp(1/e),x/…是样本,试证x和nx(1)都是e的无偏估计量,并比较其有效性.e2解：由指数分布知，E(X)=e,Var(X)=e2,因而E(x)=e,Var(x)=―,这说明x是ne的无偏估计量。又最小次序统计量1的密度函数为f(x)=(1)n—ee皿e,即x〜Exp(n/e),ee因而有E(x)=,Var(x)=(一)2,从而E(nx)=e,即(1)n(1)n(1)nx(1)是e的无偏估计量,且Var(nx)=02.02注意到当n>1时，Var(x)=-<02八"(nx(J这说明作为0的无偏估计,x比nx.)更有效。.设总体为X〜P(九),x1,…,xn为其样本，试求九2的无偏估计。/ . /九解：此处样本均值x为参数九的充分统计量，且E(x)=九,Var(x)=—，于是n一、一一一九,E(x2)=Var(x)+E(x)2=——f九2,nTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x x因而E(x2--)=九2,从而可得九2的一个无偏估计为x2--.n n.设总体为X〜U(0-1/2,0+1/2),x1,…xn为样本,证明样本均值x和样本中程1(x+x)都是0的无偏估计，并比较它们的有效性.2(1) (n)解：由总体X〜U(0-1/2,0+1/2),得E(X)=0,Var(X)=-1,因而E(x)=0，这首1 一八1先说明样本均值0=x是0的无偏估计,且Var(0)= .1 12n11为求样本中程0=-(x+x)的均值与方差，注意到Y=X-(0--)-U(0,1),令2 (1) (2) 2y=x.-(0-1/2),i=1,2,…,n,11 1贝Ij 0= (x +x)=(y+y)+0--.2 2 (1) (n) 2 (1) (n) 21n由于y.二Be0,n-,+D,故E(y(1))=/，E(y(n))=/，从而1 11cE(02)=2E(y(1)+y(n))+0-2=0.这就证明了样本中程是0的无偏估计。又注意到(参见第五章5。3节习题29)"(nJ(1)~B(I2”所以Var(Var(y1)=Var(y)=n(n+1)2(n+2)Var(y-y)=—2(n—1),

(n) ,(1) (n+1)2(n+2)从而

Cov(y,y)=[[VMy)+Var(y)-Var(y-y)](1)(n) 2 (n) (n) (n) (1)1(n+1)2(n+2)于是于是Var(2(5)+X(n)))=4[Var(yJVar(y(n))+2C"(y(1)，y(n))]1 2n 2 1[ + ]= 4(n+1)2(n+2) (n+1)2(n+2) 2(n+1)(n+2)在n>2时，二>-一二一-.这说明作为0的无偏估计，在n〉2时，样本中程12n 2(n+1)(n+2)1(x+x)比样本均值X有效.2(1) (n)13.设x，…,x是来自正态总体N(从,a2)的一个样本，对o2考虑如下三个估计1n02=,2(x-x)2,02=12(x-x)2,02=,2(x-x)21n-1i 2ni 3n+1iTOC\o"1-5"\h\zi=1 i=1 i=1哪一个是。2的无偏估计？(2)哪一个均方误差最小？- ,一、_r-、一,一、解：(1)由于一£(x -x)2~X2(n-1)，故有Ex(x -x)2 =(n-1)o 2,\o"CurrentDocument"o2i ii=1 Li=1 」\o"CurrentDocument"n—1 n—1从而 E(o2)=02,E(o2)= o2,E(o2)= o2.1 2n 3n+1这说明仅有o2是o2的无偏估计，而o2与W2是o2的有偏估计。1 2 3(2)我们知道，估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方，即E(存2-o2)2=Var(co2)+(E(存2)-o2)2.

i i i而Var(£(x-x)2)=2(n-1)o4,这给出ii=1/人、2(n-1)o4,Var(/人、2(n-1)o4,Var(o2)= 3 (n+1)2Var(o2)= ,Var(o2)= 1n-1 2n2于是MSE62)=VaMSE62)=Var(o2)=2o4n-1,MSE(op=2(n-1) n-1 、— -o4+( o2-o2)2n22n-1 o4,n2MSE(62)=2(n-1)o4+(n—lO2—o2)二3 (n+1)2n+12 O4,(n+2 O4,(n+1)显然——->——-, >——-,(n>1),所以。 1 „, 、E(0 1 „, 、E(0)=E(x)—1=0,Var(0J=-Var(X)=--0(n-+8), 2n nn一1n+1n2n+1 八这说明02既是0的无偏估计，也是相合估计.八这说明02既是0的无偏估计，也是相合估计.人(3)对形如0=x—c的估计类,其均方误差为c(1)注意,这里0/。2的有偏估计,上述结论表明,在均方误差意义下，有时有偏估计要比无偏估计更优.14。设、，,xn是来自密度函数为p(xf)=e-(x-0),x>6的样本，八(1)求0的最大似然估计61,它是否是相合估计？是否是无偏估计？八(2)求0的矩估计02，它是否是相合估计？是否是无偏估？TOC\o"1-5"\h\z(3)考虑0的形如0=X-。的估计，求使得0的均方误差达到最小的c,并将之与c(1) c0,0的均方误差进行比较。1 2解：(1)似然函数为L(0)下七-(x-0"1.Jexp1。+n0”{1>0}.

i=1 i li=1 , ⑴人

显然L(0)在示性函数为1的条件下是0的严增函数，因此0的最大似然估计为0=x.又

1 (1)x(1)的密度函数为f(x)=ne-n(x—0),x>0,故E(0)=Ixne-n(x—0)dx=f+M(t+0)ne一ntdt=1+0,

1 0 0 n八 八故0不是0的无偏估计，但是0的渐近无偏估计。由于E(0)-0(n-+8)且11E(02)=J+8x2ne-n(x—0)dx=J+8(12+201+02)ne-ntdx=—+—0+02,

1 0 0 n2 nVar(0)=—+20+02—(1+0)2=-1—0,

1 n2 nn n2八这说明01是0的相合估计。(2)由于E(X)=18xe-(x-0)dx=0+1,这给出0=EX—1,所以0的矩估计为00八=x—1.又E(X2)=18x2ne-n(x_0)dx=02+20+2,所以Var(X)=1,从而有20

人MSE(0)=c(1)Varxc)+(Ex—c—0)2=人MSE(0)=c(1)TOC\o"1-5"\h\z1 1. //、 1、因而当c=一时，MSE（0）=一达到最小，利用上述结果可以算出0n c0 n2「、 2 「、1MSE（0）=——,MSE（0）=一,\o"CurrentDocument"1 n2 2n1故有MSE（0）<MSE（0）<MSE（0），所以在这三个估计中,0=x—-的均方误差最c0 1 2 c0 （x）n小。15.设总体X〜Exp（1/0）,xj,xn是样本，0的矩估计和最大似然估计都是x，它也是0的相合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于x的估计（提示：考虑人0=ax,找均方误差最小者）。a02证:由于总体X〜Exp=(1/0),所以E(x)=0,Var(x)=——.现考虑形如0=ax的估n a计类,其均方误差为MSE(0)=Var(ax)+(E(ax)—0)2=an将上式对a求导并令其为。,可以得到当a0==时,a202 a202 +(a—1)202.n人MSE（0）最小，且aMSE(0)=——<-02=MSE(x).

a0n+1n这就证明了在均方误差准则下存在一个优于x的估计。这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差。TOC\o"1-5"\h\z16。设x，…,x独立同分布,Ex=h，Var（x）〈+s，证明R=/2八不ix是^的1n 1 1 n（n+1） ii=1相和估计.证：由于E(h)=q.Zi=且.3=h

n(n+1)i1 n(n+1) 2Var(G)=4Varx4, 4Varxn(n+1)(2n+1)Var(G)= •Z12= •— -0(nf+s),n2(n+1)2 n2(n+1)2 6i=1这就证明了R=/2-Zix是h的相合估计.n(n+1)ii=117。设x/…xn是取自均匀分布总体U（0102）的一个样本，若分别取61=min%,…xj和0V2=maxhj-xn｝作为0/02的估计量，问6『02是否为0/02的无偏量估计量？如果不是，如何修正才能获得0/02的无偏估计。

TOC\o"1-5"\h\z解：令Y=Xs%，则Y〜U(0,1)记y，…y为样本相应的次序统计量，于是有0-0 (1) (n)2 11 nEy- -,Ey- -,(1)n+1 (n) n+1从而E0-0+(0-0)--02+n01,

1 1 1 2n+1n+1E6-0+(0-0)--n02+01,

2 1 2 1n+1n+1可见01，3可见01，3不是0/02解之得「n0+0-(n+1)Ex,TOC\o"1-5"\h\z4 1 2 ⑴|0+n0-(n+1)Ex,1 2 (2)八nEx-Ex0--⑴ (n),<1 n-1nEx-Ex0 n (1),nx一x是01，0nx一x是01，02的无偏估计量.18.设x1,x2独立同分布，其共同的密度函数为TOC\o"1-5"\h\z八 3x2p(x;0) ,0<x<0,0>0.03(1)证明：T—-(x+x)和T—-maxxc,x｝都是0的无偏估计;1 3 1 2 2 6 1 2(2)计算(和T2的均方误差并进行比较；｝的估计中T最优。87故E(T)-2•2E(X)-0,｝的估计中T最优。87故E(T)-2•2E(X)-0,这1 3解：(1)先计算总体均值为E(X)-J0x• dx--0，\o"CurrentDocument"0 03 4说明T是0的无偏估计。又总体分布函数为F(x;0)-Jx黑2d日-(x)3,0<x<0,记1 003 0Y=max夫,xJ，则密度函数为f(y；0)-2F(y；0)p(y；0)-6y5,0<y<0.

06于是有7J06y6 76于是有E(T)-dy---0-0

2 6006 67这表明T也是0的无便估计.2(2)无偏估计的方差就是均方误差，由于E(x2)-J0x2•主2dx--02,1 0 03 5Var(Var(x)-E(x2)-E(x)2

11 133—-02-(39)2--02,54 80故有 4_ 83cMSE(T)=Var(T)=--2Var(x)=--—0 4_ 83cMSE(T)=Var(T)=--2Var(x)=--—021 1 9 1 980=—02.30E(Y2)=f0y2.6y5dy=302,0 06 43八 6八Var(Y)=E(Y2)-(EY)2=-02-(60)24 7—02,196从而 _ 49 3c1八MSE(T)=Var(T)=—•-02二一02.2, 736196 48由于MSE(T)>MSE(T),因此在均方差意义下,T优于T。63(3)对形如T=cmax{x,x}的估计有E(T)=-c0,E(T2)=-c202，故c 1 2 c7 c43 12MSE(T)=E(T-0)2=E(T2)-20E(T)+02=(—c2-—c+1)02,c+c c c 4 7因此当c= =8时，上述均方误差最小，所以在均方误差意义下，在形如/2 7T=cmax{x『x2}的估计中，T8.最优.c 8719.设x/……,xn是来自均匀分布U(0,0)_的一个样本,对参数0有如下三个估计g=2x,0=n+ixg=(n+1)x1 2n(n),3 (1)(1)验证这些估计的无偏性；(2)比较这些估计的有效性；(3) 研究这些估计的相合性.C 0八解：(1)由于x,~U(0,1),所以E(01)=2E(x)=2•-=0,又y=x(n)的密度函数为所以rn+1 n+1n「0 1E(0)= E(x)= !yndy= 0n+1=0.2n (n) n0n0 0n类似地，,、n~z、z=x(1)的密度函数为p(z)=0(1-0)n-1,°<z<0,所以EM)=(n+1)E(x)=n(n+1)J0y(1-y)n-1dy=n(n+1)03 (1) 00 0r(2)r(n)

r(n+2)由此看出，三个估计0「02,03都是0的无偏估计。(2)分别计算三个估计的方差02Var(01)=4Var(x)=4-j^-TOC\o"1-5"\h\zVar(0)=E(02)一[E(0)]2=(n^)2nJ0yn+1-02=(n+1"0?-02= 0 02,2 2 2n0n0 n(n+2) n(n+2)Var(0)=E(02)-[E(0)]2=(n+1)2nJ0y2(1-y)n-1dy-023 3 3 0 0=n(n+1)202r⑶r(n)-02=2(n+D02-02= 02.r(n+3) n+2 n+2由于n>2时，有 1 <<—二,所以这三个估计中S最有效，8为次，0最差.n(n+2)3nn+2 2 1 3/s/s /s/s ^^(3)由于01与02的方差都随着nf+8而趋于零，故01与02都是0的相合估计，但03z—\不是0的相合估的计。为了证明这一点，我们需要03的分布函数，由于z=X⑴的分布函数为zF(z)=1-(1-z)n,0<z<0.0于是,03=(n+1)尤0)的分布函数为F"XW1-f)n,0<'<("1)0-由此可得P(0-0|<s)=p(0—£<0<0+£)TOC\o"1-5"\h\z0-£、 〜0+£、=F(0+£)-F(0-£)=(1--——-x-)n-(1一 )n(n+1)0 (n+1)0fe-(0-£)0-e-(0+8)0(nf+8)=e-1[e£0-e-£0].£ 8 28在8充分小时，e£0-ey0x1+-(1--)=—,这是一个很小的数，它与1相差很大，这0 0 0表明p(03-0|<8)不会趋于1，故03不是0的相合估计。20.设x1,…,xn是来自二点分布b(1,p)的一个样本，(1) 寻求P2的无偏估计；(2)寻求P(1-P)的无偏估计；(3)证明-的无偏估计不存在。p解：(1)X是p的最大似然估计，X2是p2的最大似然估计，但不是p2的无偏估计，这是因为

E(X2)=Var(X)+[E(又)]2=p(1E(X2)=Var(X)+[E(又)]2=p(1-p)+p2=p+…n由此可见p2=——-n+1X X2--是p2的无偏估计。nX(1-X)=X—X2是p(1-p)的最大似然估计,但不是p(1-p)无偏估计，这是因为一、 ，p(1-p) 、n-1~ 、一、E(x-x2)=p-(― +p2)= p(1-p)中p(1-p),由此可见n一、 X(1一X)是pn-1或者的一个无偏估计,反证法，倘若g(X，…,x)是-的无偏估计，则有

1np『 二n工工g(X…X)piJ(1-p) i=11,nX,…X

1,n「 Zx+1 n-ZxX -XI ^VZg(X，…X)pj(1-p) iJ-1=01nX…X1n上式是p的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p可在(0,1)取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0<p<1上试成立，这表明-的无偏估计不存在.p21.设5,…xn是来自均匀分布UQ,P)的一个样本，寻求a与P的无偏估计.解:容易看出，x(1)与x(n)分别是a与p的最大似然估计，但它们都不是无偏差估计，这是因为均匀分布UQ,P)的分布函数与密度函数分别为由此可导出次序统计量J⑴0,x-ax<a,.1a<x<P,和p(x)=<P-a,,P-a0,[1,P<XX与z=X的密度函数分别为F(x)=其它.(n)a<x<P,/、八J-a、 1n(p-j)n-1p(J)=n(1-口)n-1口= ‘a<j<p,zzzz-a1 n(P-j)n-1p(z)=n(P^a)n-1三二TFa7'a<z<P，从而可以分别求出它们的期望n「p p+na(大)E(x(1"币—1"(P-(大)E(x(n))=(jP^l'(z-a)n-E(x(n))=(jP^l'(z-a)n-1位=*(**)这表明：x⑴与x(n)不是a与p的无偏估计，但做恰当修改后，可获得a与p的无偏差估计。把(*)与(**)两式相加与相减可得E(x.+x)=a+P,n1E(x-x)=——(a-P)或E(n) n+1n-1(x -xn+1 (1) (n))=(a—P),再使用加减消取法，即可得a与P的无偏估计发表为八nx—xnx—x(1)a=——(1 (n),P=——(n) n—1 n—1八 八22.设x,x是来自总体分布函数为F(x;0)的一个样本，若0=0(x，…,x)是0(1) (n) 1n的有偏估计，且其期望有如下形式E(0)=0+幽n(*)其中a(0)仅是0的函数，而与样本量n无关。这时，为了减少偏差，常用如下的、“刀切法”:八记0是把原样本中的第力个分量剔除，用留下的容量为n—1的样本得到的类似估计量.即—i0与0的估计公式有相同形式，且E(0)=0+卓,i=1,2,-,n.n—1八 八(1)证明：新的估计(一切的估计)0(1)=n0是0的无偏估计；—i用刀切法寻求泊松分布p(九)中参数平方0=Q的一阶刀切估计。八解：(1)一阶刀切估计0(1)期望为E(0(i))=nE(0)匕1Ze(0)=n0+

n -ii=1a(0)nzni=10s(0)0+二=0,八所以eq是0的无偏估计。— 八(2)在泊松分布p(九)中，样本均值元是九的无偏估计，但0=无2不是0=九2的无偏估t-1X.. 一(x产=—+九2>Q，若做简单修改，用x/n代替九/n,nx就可以得到九2的一个无偏估计九(2)=x2—n八现在用“刀切法”寻找0=九2的一介刀切估计，已知0=x2是0=九2的有偏估计，且E(0)=0+幽，其中a(0)=<0仅是0的函数.若剔除样本中第i个分量，可得n

< 1 " 、n-x、9= (2x-X)2=( r)2,-i (n—1)2 jin—1j=1再做一阶刀切估计上1处9,

n-i=再做一阶刀切估计上1处9,

n-i=1就可以得到9=入2的一个无偏估计，以下来化简这个一阶刀切估计，把d和9,代入上式，可1 _ 1 5\_、一9(1)=nx2- 乙(nx—x)2n义(n-1) ii=1=nx2 i——[n(nx)2-2nx-nx+»x2]n(n-1) ii=1_r n2 2n1t=x2[n 1 ] 乙x2n-1n-1 n(n-1) ii=11£x2n_ni

x2--i=1——n—1n—1 [nx2n-1-1£x2],

ni

i=1这就是九2的另一个无偏差估计。§6.3最小方差无便估计内容概要.一致最小方差无偏估计设S是0的一个无偏估计，如果对另外任意一个e的无偏估计0,在参数空间。=6｝上都有Var(C)<Var(0),e e则称d是e的一致最小方差无偏估计，简记为UMVUE..判断准则设e=e(X，…,X)是e的一个无偏估计，Var(0)<+8。如果对任意一1n个满足E3(X],…,xn))=0的中，都有八Cov(0,。)=0,veE&,

e则e是e的UMVUEo.充分性原则A任一参数e的UNVUE不一定存在，若存在，则它一定是充分统计量的函数；A若e的某个无偏估计日不是充分统计量T=T(Xj…,xn)的函数，则通过条件期望可以获得一个新的无偏估计@=屈?T；,且方差比原估计的方差要小；a考虑e的估计时，只需要在其充分估计量的函数中寻找即可，该说法对所有统计推断都是正确的。这便是充分性原则。.费希尔信息量i(e)设总体的概率函数p(x；e),ee0满足下列条件：(1)参数空间0是直线上的一个开去区间;(2)支撑S=(x:p(x;e)>。｝与e无关；(4)ata导数aep(4)ata导数aep(X；e)对一切ee0都存在;对p(x；e)，积分与微分运算可交换次序,即前二p(X;e)d士:p(x；e)dx;「a12「⑸期望I(e)=1^^lnp(x；e)存在,则称该期望I(e)为总体分布的费希尔(Fisher)信息量。如果二阶导数对一切ee0都存在，则I(e)还可用下式计算

Id2‘(°)=-q而Inp(x；e).常用分布的费希尔信息量二点分布b(1,p)的费希尔信息量I(P)=P(1-P)L;泊松分布P(九)的费希尔信息量1(九)二九-1；指数分布Exp(九)的费希尔信息量I(X)二九2；正态分布N(日,1)的费希尔信息量I(日)=1；正态分布N(0,o2)的费希尔信息量192)=-^―；012o42012o4正态分布N(从,o2)的费希尔信息量(信息矩阵)I(日,o2)=020.C—R不等式设T=T(x，…,x)是未知参数g(e)的一个无偏估计，若g1(e)=©要存在，则在1n de费希尔信息量I(e)也存在的条件下有Var(T)Var(T)>g1(e)

nI(e)上式称为克拉美一罗(C-R)不等式，L(eJ/(nI(e))称为g上式称为克拉美一罗(C-R)不等式，下界，简称g(e)的C-—R下界。特别，对e的无偏估计e,有Var®)>(nI(9))-1.注：g(e)的c—r下界并不是对任意参数g(e)的无偏估计的方差都可达到。但能达C--R到下界的g(e)的估计T=T(X],…,x^)一定是g(e)的UMVUE.习题与解答6。31.设总体概率函数是P(x；e),x，…,x是其样本，T=T(x，…,x)是e的充分统计量,1 n 1 n = 则对g(e)的任一估计g,令g=E(g\T),证明MSE(g)<MSE(g).这说明，在均方误差准则下，人们只需考虑基于充分统计量的估计。证：我们将均方误差作如下分解MSE(g)=E(g-e)2=E(g-g+g-e)2=E(g-g)+MSE(g)+2E[(g-g)(g-e)].

注意到g=E(g\T)，这说明E[(g-g)1T]=E(gIT)-E[E(gIT)1T]=E(gIT)-E(gIT)=0,于是E[(E[(g-g)(g-0)]=E{e(g-g)(g-0)1T}=eIg-0)e[(g-g)1T]}=0,因而MSE(g)=E(g-g)2+MSE(g)>MSE(g).2。设T,T2分别是01s2的UMVUE,证明：对任意的(非零)常数a,b,aT+bT2是a0+b0的UMVUE.1 2证：由于TjT2分别是0/02的UMVUE,故ET=Bi,且对任意一个。(x)，满足E。=0,由本节11题结论有Cov(T,。)=0,i=1,2，于是iE(aT+bT)=a0+b0,Cov(aT+bT,。)=aCOV(T,。)+bCov(Y,。)=0,12因此aTi+bT2是a0]=b02的UMVUE。.设T是g(0)的UMVUE,g是g(0)的无偏估计，证明：若Var(g)<+s,则Cov(T,g)>0.证：因为T是g(0)的UMVUE,g是g(0)的无偏估计，故其差T-g是0的无偏估计，即E(T-g)=0,且Var(T-g)<+s,由本节11题结论知Cov(T,T-g)=0,这说明Var(T)-Cov(T,g)=0,即Cov(T,g)=Var(T)>0.TOC\o"1-5"\h\z.设总体X〜N(口,02),x，…,x为样本，证明，x=1Zx,s2=Z(x-x)分n ni n-1 ii=1 i=1别为口,O2的uMVUE.证：大家知道，x,S2分别是口,o2的无偏估计，设①(x,…,x)是0的任一无偏估计，1 n(x-U)2-i 2o2(x-U)2-i 2o2>dx.…dx-0,-g-g J2兀0i=1中.(2兀中.(2兀o2)-2exp<-1Vnx Zx2+——u-2o2 i o2i=12o2x…dx-0. (*)将(*)式两端对自求导，将(*)式两端对自求导，并注意到E①=0,有J+gJ+g竺中.(2兀02)-2exp-g-gO21Vnxnu2 乙x2+——U--^~-2o2 io2 2o2lxI…dx-0. (**)i=1这说明E（黑）=°，即EG.=。），于是C"画）=E画）-EE-E”。，从而工是从的UMVUE.为证明s2是O2的uMVUE,我们将（**）式的两端再对日求导，得J+=竺冲.(2兀o2)-2exp<1znx zx2+——u-2o2 iO2i-1x…dx-J+gJ+1znx zx2+——u-2o2 iO2i-1x…dx-J+gJ+g竺.初中.(2兀O2)-2exp<-g-gO2O2xz2o2i-1nxx2+——从一nN22o2!x--dx-0.1n由此可以得到E（x即）=0，下一步，将（*）式两端对o2求导，略去几个前面已经指出的积分为0的项，有J+g...、zx2R(2兀o2)-2exp<-g-g1i-1z2o2i-1nxx2+-iO2nu2N-^—2o2k…dx-0.这表明E3rx2）-0,由此可得到E（s2中）-0，ii-1因而Cov(s2,⑺=E(s2⑺-E(s2)E①=0,这就证明了s2是O2的UMVUE。d25。设总体的概率数为P（x;0）,满足定义6。3。1的条件,若二阶导数而P（x;0）对一切的0e0存在，证明费希尔信息量I(0)--E(d2002lnp(x;0)).证:小焉•・唳-P(x；0)dx-J+避&dx-1J+gp(x;0)dx-0,-g00 00.g所以和-0.另00方面,所以和-0.另00方面,4_010 T-0- -J -00 00-g00(S0,P(x；0))dx-+g［条，P(x；0)+S・”普

0 100 0 00y-gdx于011npx02.p(x；0)dx+"£1^^2:p(x；0)dx002 100y-g-g=E+ES2=E9=E+ES2=E9Inp(x;0),、S°2 ,+/(0)这就证明了/(e)=—石6.设总体密度函数为Mx；e)=8x°T,o<x<i,。6.设总体密度函数为Mx；e)=8x°T,o<x<i,。>o,% ,%是其样本。1,n(i)求g(e)=i/e的最大似然估计；(2)求g(e)的有效估计。解：(1)似然函数为乙(。)=-1&°t,对数似然函数为ii=lInL(0)=nln0+(0-l)2Llnxi

i=l将似然函数求导并令其为0,得似然方程51nL(0)n=-nlng(0)+'1、g(0)-1Zlnx.密(9) g(0)g2(。)解之得R®)=—!£Inxn 心i=l(2)令V=—lnX,则P(Y<y)=P(-lnX<y)=P(X>e-y)=i10x^-idx=l-e-^y,e~y因此y〜Exp(Q)=Ga(l,0),从而有g(9)-Ga(n,n0),于是磁=»(°)")二总为求有效估计，需求出。的希尔信息量，注意到，In夕(羽。)=1119+(9-1)Inx.321n7(x,9) 1Sin321n7(x,9) 1 k =—+Inx,39 9而g'(e)=-o-2,于是g(o)的任意无偏估计的c—r下界为二，nxn1i=lg(9)二一,Xlnx是二，nxn1i=ln1i=l是g(9)的有效估计7.设总体密度函数为2(xf)=20e@x2/x3,x>0,0>0,求。的费希尔信息量/(。).解:对数密度函数为Inp(x,e)=ln2+lne—31nx—e/x2,求一、二阶导数，有Sinp(x,9) 1 162Inp(x,0) 169 0%25 302 02

由此给出I(9)=-E8。设总体密度函数为p（x,9）=9由此给出