林建伟《大学物理》6刚体

第三章刚体的定轴转动3.1刚体的运动3.2刚体定轴转动定律

3.3转动惯量的计算3.4刚体定轴转动定律的应用3.5转动中的功和能3.6刚体的角动量和角动量守恒定律卡尔文森号编辑课件刚体：在任何情况下都不发生变形的物体。

刚体运动的基本形式：平动：刚体中任意两点的连线在运动中始终保持彼此平行。3.1刚体运动的描述

oΔΔoo′o′转动：刚体围绕某一固定直线作圆周运动。刚体质点间的相对运动只能是绕某一轴转动（rotation）的结果。

刚体的一般运动=转动+平动

一、刚体的平动编辑课件定轴转动：刚体绕一固定不动轴转动。转动平面Mrω参考方向X00θv转动平面：垂直于转动轴所作的平面ω二、刚体的定轴转动编辑课件ω角速度矢量ωω转动平面Mrω参考方向X00θvvωrω编辑课件旋转加速度向轴加速度MrωX00θv

定轴转动：退化为代数量，刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且，都相同。编辑课件Msinφ=Fr一、力矩3.2刚体定轴转动定律

1.力在转动平面内=FrtFrφdMFtMrF

编辑课件只能引起轴的2.力不在转动平面内FM=r×F=12rF×)(+Fr转动平面变形，对转动无贡献。F1r×F+=21rr×F×FF21

在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。

编辑课件3.多个力作用的情形F1F2F3r3r2r1123编辑课件ω00二、转动定律rimΔiiΔ对m质点应用牛顿第二定律：iF外力if内力φFiifθii

编辑课件ω00rimΔi对运动状态（转动）改变没有影响刚体上各点都有这样的运动方程，应把所有方程迭加才是刚体整体运动规律，但应切向力分别作用于各个质点上，且方向各不相同，因而求代数和没有意义令：编辑课件转动定律：讨论：4.J

和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转动惯量不同。3.J和质量分布有关。2.M

的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正。惯性大小的量度。M=Jddtω=J转动惯量是转动1.M

一定，J编辑课件3.3转动惯量的计算

J由质量对轴的分布决定。dmrmrJ=m2c5.回转半径：假想将物体的质量集中在半径为rc的细圆环上，而保持转动惯量不变，称这圆环半径为物体的回转半径。即任何物体的转动惯量为：编辑课件例：如图系统的转动惯量，轻杆质量忽略R1R2m2m1R2R1m1m2编辑课件

[例]均质细圆环的转动惯量。=mR2J2=Rdm2=RdmωRm00(1)、(2)、XYRrdmdm=[m/(2R)]RddJ=rdm2编辑课件[例]质量为m，半径为R的均质圆盘的转动惯量。Rσ=mπ2dJ2==rdmm22R1=ωRmdSrdrdσrdrddm=σdS=3σrdrd=J0rdrσR302d方法一、编辑课件方法二、dm=2πrdrσRσ=mπ2dJ2==rdm32πσrdrm22R1ωRm==J0rdr2πσR3rdJR思考球体、锥体绕轴转动的转动惯量编辑课件[例]质量为m,长度为L的均质细杆的转动惯量。dmdmdJ2=xLm=dxxdxL2=mJ00Lω112Lm22=xmLL0dx13Lm=2=JCxdxCAml2l2

编辑课件1.对同一轴J具有可叠加性Jmrziii=^åD2J=Jiå

2.平行轴定理Jmroiii==^åD2平行CdmJCJomOCr’iii+åD2()OCxJJmdc=+2

计算J的几条规律编辑课件

3.对薄平板刚体的正交轴定理Jmrzii=^åD2

例：已知圆盘JmRz=122求对圆盘的一条直径的Jx

（或J

y）。由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìíî\==142即

JJJxy=+yrixzyiximi

Δyxz

RCmimxmyiiii=+ååDD22编辑课件例.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）ro解：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：编辑课件已知：R=0.2m，m=1kg，vo=0，

h=1.5m，绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落时间t=3s。求：轮对O轴J=？3.4转动定律应用举例

定轴O·Rthmv0=0绳αTG·RNmgT=-T′ma对轮：TRJ=(1),

对：mmgTma-=(2)

解：动力学关系：编辑课件运动学关系：=aR(3)hat=122(4)(1)~(4)联立解得：JgthmR=-()2221=-

=(..)..9832151102114222kgm分析：单位对；1.、一定，，合理；2.hmJt­®­若，得，正确。30122.Jhgt==TRJ=(1)

mgTma-=(2)

编辑课件例：飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r／min，现要求在5s内使其制动，求制动力F,假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。Fωd闸瓦0.5m0.75m编辑课件=3.75kg.m20t=100060n×==π2ω0π2=104.7r/s5t==ω0fNFNfl1l2RJm2==60×(0.25)2

解：ω104.720.9r/s250t===ω0l1+=()Fl2Nl10=RJfm=NRl1=Fl1+l2mRJ=314Nm=NRJ编辑课件=J122mrTgm22=m2a1ma1TT2+m1TT2rr==1T1mgmmm12rTT12m2T22gmagm1T11maa=r[例]在图示的装置中求：

Ta,,,12滑轮可视作均质圆盘。TJ编辑课件a2mmmmmg1212=++())(Tmg21122=22+()mmm1mm++g122=2T)(m1mm+++mmm222)mmmmg22211=++(()mr编辑课件[例]在图示的装置中，质量为m和2m、半径为r和2r的两均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端挂有一质量为m的重物，求盘的角加速度大小。2rr2mmmmT1T2编辑课件

例：如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为J,半径为r。（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速度a及绳中的张力T2与T2（设绳子与滑轮间无相对滑动）；（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2。m22T1Tm1编辑课件fm=Ngm2m=1T=ma1gm12T=ma2fa=r+=r2+m2mgm1m2J()r2++m1m2J1T+=r2+m1mgm2m1J()r2++m1m2J2TmNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm10N=gm2Jr=1T2Trr2++a=gm2mgm1m1m2J解得：解：(1)编辑课件gm1r2++m1m2Ja=+=r2gm1m2J()r2++m1m2J1T=gm2m1r2++m1m2J2T(2)m=0编辑课件ωω=（）θ）θLL22mg[例]一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：MJ=J==M解：编辑课件Re例：质量为m,半径为R的均质圆盘，初始时有0，盘与桌面间的摩擦系数为，问经多长时间圆盘才停止转动？此时圆盘转过的角度?解：由

t考虑rr+dr环dM=rdfrdr

编辑课件例：弧形闸门更省力OR据试验重心距绞链处为0.7R对O的总转动惯量为设：弧形门叶以切向加速度at=0.1g转动编辑课件如以同样加速度提升同样重量的平面闸门编辑课件一、力矩的功M=dθ对于恒力矩：功率:dAF==.dsFdscosardsFφdθ00a3.5定轴转动中的功能关系

Fr=θdt编辑课件二、动能定理刚体定轴转动力矩的功等于刚体动能的增量编辑课件三.定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：W外+W内非=（Ek2+Ep2）—（Ek1+Ep1）刚体重力势能：Ep=mghc=mghiiåDmgmhmii=åD×ChchimiΔEp=0若dW外+dW内非=0，

则Ek+Ep=常量。

编辑课件ωω=（）θ解：=Lmgθ12sinω2=A01J2ω=Lgθsin3）θLL22mg[例]一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：d=θLmgθ0cos12θθ=dAM=θLmgMcos2编辑课件例.一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？mgmMm解：解得：T编辑课件例10.长为l的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在A处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：⑴细直杆的质量M；⑵碰撞后细直杆摆动的最大角度。（忽略一切阻力）解

⑴按角动量守恒定律系统的动能守恒编辑课件解得系统的机械能守恒，有编辑课件例例：一脉冲星质量为1.5×l030kg，半径为20km。自旋转速为2.1r/s，并且以1.0×10-15r/s的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。πωERJkd52==tddtdω2ωdtdω解：=1.98×1025J/s=t=kEEkdtd2ωJ2Ekdtd=1.98×10251.05×1015s212.4×1038

×(4.2π)2×=编辑课件例：如图，弹簧的劲度系数为k=2.0N/m，轮子的转动惯量为0.5kg.m2

，轮子半径r=30cm。当质量为60kg的物体落下40cm时的速率是多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。编辑课件gxmk2+=xr2vJ22m2×60×9.8×0.4+=2×(0.4)2

600.5(0.3)2=7.18=v2.68m/s解：由功能定理ωgxmk221++xm221vJ221=若要求加速度（角加速度）如何进行运算？编辑课件O§3.6刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律对点：一、对轴的角动量r’irimiRiviLimi对O点的角动量为Li对于既有刚体又有质点的系统编辑课件二、角动量原理质点系的角动量原理mm12f1f2F1F2……..为质点系的角动量原理等式左、右两边相加编辑课件二、角动量守恒

若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，

当Mz=0时，Jconst.iziw=å2Lm2m1u例：设m1与m2作弹性碰撞，求碰后棒的角速度和小球的回弹速度v编辑课件2Lm2m1um1gNN’系统对轴角动量守恒：系统机械能守恒：联立方程（1）、（2）求解可得编辑课件

[例]人和转盘的转J2rr10,rr12mmI0ω1求：双臂收缩为初始转速为的质量,ωm动惯量为械能变为哑铃时的由角速度及机增量。编辑课件非保守内力作正功，机械能增加rr12mmJ0ω1ωJ=1()0+212mrωJ=21(0+)ΔEk22222rmωJ1)10+2(2212rmωJJJ=20+(1(0002111++))221J＞22mmrr2rm22ωωJJ=0+)(11222(0+)2rm22mr由角动量守恒ωJ20+22)(rm2编辑课件

[例]一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v

和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。试求：1.碰撞后系统的角速度；2.碰撞后杆子能上摆的最大角度。）θLv4mM3L编辑课件碰撞过程角动量守恒,得：mv34L=mMωJJ)(+MM3JL2=1mm34JL2=)(mv4916ωLLL22==+133mML916+13mM4mvL3上摆过程机械能守恒，得：ωJ22()+1mJM=+θcos)(43mgL1=θmax3LθL4vmMcos2(MLθg1)M34916L222)(+1m4MLgg((3mm++119163M))mvarccos2编辑课件ωωJJ=1122ωJJ+12)(由角动量守恒得：ωωωJJJ=+12211J21ω+)(1JJ222+11122(JJ1ωω2222)J=++2((JJJ1ωω22))112＜01ωωω221JJ摩擦力矩作负功，有机械能损失。

[例]两摩擦轮对接。若对接前两轮的角ωωω12、速度;速度分别为2.对接过程中的机械能损失。求：1.对接后共同的角ΔEk=编辑课件aAOvl0Rω+=()aRJmvl20cos[]+m+()Rl例*：OA为一均质木棒，R为一木球，两者固定在一起，可绕水平的O轴转动。它们对O轴总的转动惯量为J，一子弹以角射入木球R，并嵌入在球心。求：子弹嵌入后，两者共同的角速度。aω+()aRmvl0cosJ2+m+()Rl=解：由角动量守恒得编辑课件例*：在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为m的人。圆盘的半径为，转动惯量为J，角速度为ω。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。ω编辑课件ω´+=J2RmωJEkΔ=Ek´Ek´=Δωω=ωω2RmJ21=J+J()2Rm2J2ω2=21J+J2Rm2()2Rm解：系统角动量守恒ω´+=J()2RmωJ(1)21=+J()2Rm2Jω2(2)21=Jω2Ek´´ω编辑课件[例]如图示已知：M=2m，h，q=60°求：碰撞后瞬间盘的w0=？

P转到x轴时盘的w=?a=?解：m下落：mghmv=122vghÞ=2(1)编辑课件碰撞t极小，对m