江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题含解析

江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试題含解析江苏省无锡市江阴市髙级中学2019-2020学年髙二数学下学期期中试题(含解析〉一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1。 己知集合A={x|(x+3)(x-7)<0},B= 去e"}，贝\\AQB=( )A。{<U，3}B.{-3-243,7}C.{(U，3,7}D。{-3-2,0.13,7}【答案】C【解析】【分析】解出集合M〃，利用交集的定义可得出集合【详 解】 •.•4={.ijCr+3)(x-7)<0}=[-3,7]xejV,—x+le卜{0，1，3,7},...>405={0丄3,7}故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，涉及一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数z满足i*z=2+i,则z的共轭复数是()A.-1-2/B.-1+2/Co1-2/ Do1+2/【答案】D【解析】【分析】两边同乘乂化简即可得出答案.【详解】/*2=24-/两边同乘-/得z=l-2/，共轭复数为1+2/,选D.江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析【点睛】Z=a+bi（a，beR）的共扼复数为l=a-bi3。 设随机变量P"（/A7），若P（X<2）=P（X>4）,则（ ）Ao"=3，W=7 Bo戶，D（x）=^/7Co"=3，D（X）=V7 D."=D（X）=7【答案】A【解析】【分析】根据正态分布及P（X<2）=P（X>4）可知期望与方差。【详解】因为随机变量X，，l、，且P（X<2）=P（X>4）,所以由对称性知〃=¥=3，由正态分布X，。）知方差D（X、=1.故选：A【点睛】本题主要考查了正态分布_，乃中，M的含义，属于容

易题.4。 从3名教师和5名学生中，选出4人参加。我和我的祖国”快闪

活动.要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（)Ao20 B.40 C。60 D。120【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学

生，分别利用组合公式计算即可。江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析

【详解】由题意可分成两类：⑴一名教师和三名学生，共=30;(2)两名教师和两名学生，共=30.

故不同的选派方案的种数是30+30=60。

故选:C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可.在的展开式中，含/的项的系数是( )A.74Bo121 Co-74Do 一121【答案】D【解析】【分析】根据(i-x)5+(i-xr+(i-x)7+(i-^，利用通项公式得到含？的项为：(r53+r63+r73+c：)(-A-)3,进而得到其系数，【详解】因为在^)5+(X~x)6+(1-v)7+(1-¥)8，所以含？的项为允+口+口+口(叫3，所以含/的项的系数是的系数是<++<+C:)，

=-(10+20+35+56)=-121,故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还

考查了运算求解的能力，属于基础题，6。袋子中装有大小相同的八个小球,其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5;红球三个，分别编号1、2、3,现从袋子中任取三江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析个小球，它们的最大编号为随机变量X,则P（x=3）等于（ ）A 5 D1 r15 n2A。云 o.y L. U.7【答案】D【解析】^3第一种情况表示1个3, = ，第二种情况表示2个3,卜警4，所以p（x=3）=/^4+i4，故选D.7.如图，四面体ABCD中,AB，BC9两两垂直，SC=BD=2,点£是

CD的中点，若直线AB与平面ACD所成角的正切值为，则点〃到平【答案】D【解析】【分析】根据题意，cd丄面ABE,过B作BF丄仏，证明BF丄面ACD,釐为江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试題含解析直线与平面4CD所成角，BF即为〃到平面ACD的距离，利用三

角形等面积即可求解。【详解】由题知AB丄而BCD, ABiCD,又BC=BD，点£是⑶的中点，...BEiCD,且BE=7I又a_e=b，...CD丄面ABE,过B作BF丄ae于E，则CD丄BF，又AEACD二E,...BF丄而ACD，

..厦为直线与平而所成角,BF即为〃到平而acd的距离。.•-tan^=—=^=^,角BA=4,••-AE2=AB-+BE2=42+(42)2=1^AE=^,利

BABA4用AAM等而积知AExBF2BAxBE2故选D.【点睛】本题考查线面角，点面距，过B作BF±ae,证明BFi面

ACD是关键.设函数彻是定义在尺上的增函数，则实数a取值范围()5江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试題含解析A.[2，+巧 B.[o,3] C.[2,3] D.[M]【答案】D【解析】【分析】画出函数y=|-—21的图象，结合图象及题意分析可得所求范围.

【详解】画出函数的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数是在〃上的增函数，ax-6,x<a.需满足解得所以实数a取值范围是[2,4].故选D.【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图

象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数

集上的单调性时,除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在

分界点处的函数值的大小关系.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小

题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,

部分选对的得3分，有选错的得0分）江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析用数学归纳法证明对任意”馮⑽、的自然数都成立,则以下满足条件的*的值为（ ）A1 B.2 C。3 D.4【答案】CD【解析】【分析】将各项的值代入验证后可得正确的选项，注意用数学归纳法证

明所得的结论。【详解】取。=、，则^=1^=^1^>^不成立：取《=2,则= 不成立；取"=3,则成立，取”=4,15n4-5成立;则妇下证：当。3时，成立.当”=3,7n9'n+l32"-1成立;则设当n=k(k>3)时，有成立,】/-1则当 时,有令,=2izl，mi]^zl=^=3-^-穴2*+1?人J2卜1+1f+3 '+3'江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析

. 2卜*-1 8_4^+1因为故^= 灸+1、J,4炎+1k+[-2々一1、gr-pi2**1-!k+[_k+1

4k+3~k+2~(4k+3)(k+2)>/BH*Mv2*+1+1>1+2-(A+1)+1J所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，1^>士对任意的W都成立.

故选：CD.【点睛】本题考查数学归纳法，注意归纳的起点可以通过验证

得到，还要注意用数学归纳法证明一般性结论是成立。10。下列说法正确的是( )A。 命题〜eR,x:>-i"的否定是"a-R，命题"3xe(-3,叫，^<9"的否定是rtVxe(-3,-KO)/X2>9"CoW是必要而不充分条件D. 是"关于，方程x2-2x+(n=0有一正一负根〃的充要条件【答案】BD【解析】【分析】根据全称命题的否定的书写规则来判断；B.根据特称命题的

否定的书写规则来判断；Co根据充分性和必要性的概念判断;D.

根据充分性和必要性的概念判断。【详解】解：A.命题"VxeR,?>-r的否定是"areR,x=<-l«,故错

误；命题"Hre(-3，+^),x^9"的否定是"Vxe(-3,O，？>9"，正确；-8-江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试題含解析|神|不能推出又”/”也不能推出I种I，所以

是的既不充分也不必要条件，故错误；d.关于.，•方程人有一正一负根«LT>0°w<^所以"。是"关于•、的方程有一正一负根”的充要条件，正确,

故选：BD.【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法,以及充分性，必要性的判断，是基础题。 11。己知1为虚数单位，则下面命题正确的是( )A.若复数-3-,则1=^.Bo复数z满足l^-2/l=1,z在复平面内对应的点为(w)，则乂+()•，-和.C.若复数V，满足则Do复数z=i-*的虚部是3.【答案】ABC【解析】【分析】直接运算可判断A;由复数的几何意义和复数模的概念可判断B;

由共轭复数的概念，运算后可判断C;由复数虚部的概念可判断

D;即可得解。【详解】由^1_ 3-/3TT=（3+i）（3-i）io"io，故A正确;由z在复平面内对应的点为(U)，则|z-2/|=|x+(y-2)rj=l,即士2+（），-2）2=1，•9-江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析贝ljx2+(y-2)2=l,故B正确；设复数A=+〜，则z:=a_bi,所以Z^=(a+bi)(a-bi)=a-+b~>0,故C正确;

复数Z= •的虚部是-3，故D不正确。故选：A、B、C【点睛】本题综合考查了复数的相关问题,属于基础题.12。(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，

享有"数学王子〃的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的"高斯函数"为：设mR,用W表示不超过X的最大整数，则y=W称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4/[2.1]=2,已知函数= 则关于函数咖)=[作)]的叙述中正确的是( )A.外)是偶函数 B./W是奇函数C./W在R上是增函数 D.小)的值域是{-1，0，1}【答案】BC【解析】【分析】举反例说明A错，用奇函数的定义证明B正确，用复合函数的单调性说明C正确，求出函数伸)的值域，根据高斯函数的定义证

明D错误.12【详解】根据题意知，112_l+ex・・・容(1)=[/(1)]=1-2e+11==[/(-!)]=11

e+12=-1.•洲0(-0,♦一发(―1),•.函数咖既不是奇函数也不是偶函数，A-10-江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析错误；112Ie

+II-1|2.IT-/(••/W是奇函数，B正确;由复合函数的单调性知在《上是增函数，C正确;•••^W=[/(X)]=K°},D错误.故选BC.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的创新意识.由于涉及到新定义函数，有一定的难度.5分，共20分。)三、填空;(本题共4小题,每小题13.已知％)’取值如表:X01356y1m3'”5.67.4画散点图分析可知：与*线性相关，且求得回归方程为＞*+1，

则. 【答案】I【解析】分析：计算根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求

出m的值.详解：计算(0+1+3+5+6)=3,y=|x(l+m+3m+5。6+7.4)=14广,.•.这组数据的样本中心点是(3,^),又y与X的线性回归方程y=X+l过样本中心点，11江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析

...平=1x3+1，解得m=|。故填I.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于

基础题.14.己知函数/W=3x-2sinx,若f(a2-3a)+f(3-a)<0f则实数《的取值范围是 .【答案】(1,3)【解析】【分析】确定函数为奇函数，增函数，化简得到--3—3,解得答案.

【详解】fW=3X-2sinx#/(-x)=-3.r+2sinx=-/(x),函数为奇函数，

/V)=3-2cosx>0,函数单调递增，f(a2-3a)+f(3-a)<0/即f(a2-3a)<-f(3-a)=f(a-3)，艮口(f-3a<a-3/解得l<a<3。故答案为:(1.3)。【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15.己知a.beR,且«-3fc+6=0,IJllj2"+l的最小值为 . 【答案】【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析即可求得最终结果，注意等号成立的条件.

【详解】由a-%+6=0可知a-3b=-6,综上可得++的最小值为【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个

条件，就是"一正-一各项均为正;二定一一积或和为定值；三相等

-一等号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现错误.16。汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的"赵爽弦图"

是我国古代数学的瑰宝，"赵爽弦图"如图所示，由四个全等的

直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，

要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有

种（用数字作答）。【答案】420【解析】【分析】根据题意设五个区域分别为①②③④⑤，再分两步讨论江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析①②③和④®的情况，最后由分步计数原理计算即可.【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤,对于区域①②®，三个区域两两相邻，共有4=60种情况；

对于区域®⑤，若④与②颜色相同,则⑤有3种情况，

若®与@颜色不同，则④有2种情况，©有2种情况，共有2x2=4种情况，所以④⑤共有3^7种情况，则一共有60><7=420种情况.故答案为:420【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用,属于基础题。四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)在［人+W的展开式中，前3项的系数成等差数列,(1)求。的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中含的项的系数。【答案】(1)”=8(2)yx(3)去【解析】14江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试題含解析【分析】根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得

n的值；根据通项公式、二项式系数的性质求展幵式中二项式系数

最大的项；在二项展开式的通项公式中，令、的幂指数等于-2,求出、的

值，即可求得含的项的系数.【详解】解：(1)因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数

为所以Cn=Cn+^Cn,即lf-9tt+8=0)所以”=1(舍去)或《=8。(2)因为《=8,所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即K何〔古)Ao(3)通项公式：7；H=C;(V7)S'j去|=Csr〔*)’7，。介<8,re/V.

由4_t=-2，Ar=8，可得含*的项的系数为口卓=忐。【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质.18。己知函数/(%)=為沙〉0)(1)若f(x)>m的解集为{x|x<-3，或x>-2},求不等式5mx2+kx+3>0的解集；江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试題含解析(2)若存在x〉3,使得f(x)>1成立，求/c的取值范围.【答案】(1)H，|)(2)【解析】【详解】试题分析：(1)根据不等式解集与对应方程根的关系:

-3,-2是方程mx2-2kx+6km=0的根，即利用韦达定理得方程组，

解方程组可得m,k的值，代入不等式5mx2+/cx+3>0再解一元二次

不等式即可(2)不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问

题：i>｛_Z_)mn,(x>3)，再根据基本不等式求最值，即得k的取值范

围.试题解析：解：(1)不等式側>爪脚2-+咖"<0，

•.•不等式mx2—2kx+6km<0的解集为｛x|x<—3,或x〉一2｝，

•••-3，-2是方程mx2-2kx+6km=Q的根，m=_z, 5，似交+Alt+3〉(、<-> —x—<)«><->不等式5mx2+/cx+3>0的解集为(2)f⑷>1<=>>1<=>x2-2Lr+6k<b台|12工一⑴A.>x2.存在x〉3,使得/(x)〉1成立,即存在x〉3，使得成立.

令咖卜JeG“+x)，贝'Jk>9(X)min.令2x-6=t,则tE(0,+oo),</=^=|+^3>2^[J+3=6,当且仅当bhPf=6时等号成立.所以故kE(6,+oo).点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下-16-江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试題含解析把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是

一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另

一端是参数的不等式，便于问题的解决。但要注意分离参数法不

是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质

很难研究，就不要使用分离参数法。19.如图，直三棱柱ABC-^C,中，观c=9。。，AB=AC=1, 分别为的中点.（1） 证明：DE1平面BCCA;（2） 己知叹与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）f.【解析】【分析】（1）取％中点F，连接4F、EF,根据题目条件，利用线面垂直的

判定定理，得出M丄平面0CC,S,，由于£为队中点，£F//叫，汗=|坪，

可证出四边形ADEF为平行四边形，得出AF//DE,从而可证出平

而BCCA;（2）设AB=AC=lfAAl=2a/根据（1｝可知，丄平面，则/＞到平面17江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析离DE冬设A到面BCD距离为〃，根据三棱锥等体积法有”得js繡戶£=全5繼.J，得d=^==9因为叹与平面卿所

成的角为30°,可求出结合线面垂直的判定定理证出平

面D£E4,进而得出ZEFD为二面角D-BC-B,的平面角，只需求出ZEFD,

即可求出二面角D-BC-Bi的余弦值.【详解】解：（1）取^•中点F，连接AF、EF，•/AB=AC.\AF丄5C,...坤丄平面ABC，AFC平面MC，•.BB^AF9而 平面BCC凡,平面BCC^，BCC\BtB=B/.AF±平而〃W，，...ef\\da/ef=da9•*•四边形为平行四边形，AF//D£.(2)设似=>4C=1，AA,=2a.••DEIf胃SCC^.-18-江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析

D到平面距离DE=^,设到面距离为t/，即＞44■罕因为V与平面_所成的角为30°，而在直角三角形△邮〔中，叫=枷卜8(^=扣:+2,所以解得什尋.因为平面MCA,5Cc平面fiCC^，所以AFlBCf又没■丄平而BCCA,BC［平而，所以£尸丄5(7,所以平而D£M，■/DFc平面MC，平面所以ZEFD为二面角D-BC-B,的平面角，\^DA=AF=V22，所以队可得四边形MFE是正方形，所以ZEFD=45°,

贝ljcosZ.EFD=cos45°=孕,所以二而角D-BC-B、的余弦值为孕.江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析小 G【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用儿何法求二

而角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥

的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能力。20。交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了

60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均

车速超的有30人，不超过的有10人；在其余20

名女性驾驶员中，平均车速超过90^//.的有5人，不超过_«//•的有

15人。(1)完成下面的2x2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，

家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；平均车速超过9Qk"i〃*的人

数男性驾驶员女性驾驶员合计平均车速不

超过的

人数合计(2)根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车,江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为

假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.参考公式:f=（„，二二）（_其中脚+b+c+el临界值表:P（K2^k.）0.0500o0253.8415.0240。0100。0050。0016o635787910。828【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为,平均车速超过与性别有关（2）详见解析【解析】【分析】（1） 根据题目所给数据填写2x2列联表，计算出f的值，由此判

断出有99.9%的把握认为,平均车速超过与性别有关。（2） 利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望。【详解】（1）平均车速超过90WA的人数平均车速不

超过9_〃:的

人数合计男性驾驶员301040女性驾驶员51520江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析合计352560因为尺2=60x(30x15-5x10):40x20x35x25~6x167*13.7113.71>10.828,所以有99.9%的把握认为，平均车速超过与性另|J关有1-4

3A叫、151609.3从

月2)2764p(4=o)=c°[r27649一64- II

\/1I4=2)1164V-3)

=A即3|4呢==1I43|4所以<的分布列如下0123P272791r64646464呐期望【点睛】本小题主要考查2x2列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望,属于中档题.已知。为给定的正整数，=n0+atx+a2x^+•<•+anxN,xeR0设+2|3江苏省无锡市江阴市高级中学2019.2020学年高二数学下学期期中试題含解析（1）若"=4,求《。，《|的值；（2）若求1＞］以的值。【答案】（1）。。=岩，a1=g。⑵【解析】【分析】（1） 利用二项式定理可求出〜和力的值；（2） 利用组合数公式得出«可得出±(n-k)a^= (|J_A -±nC^ QJ，然后利用二项式定理即可求得答案。【详解】(1)因为，I=S所以_時=诗，，=C時=8;(2)当*4时，*?<(香)“(去/，y[T1-MqK：；,=k =n =nC*-]人 ,rkl(n-k)!0