《指数函数与对数函数》第9课时 不同函数增长的差异

4.4.3不同函数增长的差异一．课时教学内容不同函数增长的差异课时教学目标1.了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异.2.经过探究对函数的图像观察，理解对数增长、直线上升、指数爆炸。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；3.在认识函数增长差异的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，提升直观想象素养、数学运算素养和逻辑推理素养。三．教学重难点教学重点：函数增长快慢比较的常用方法；教学难点：了解影响函数增长快慢的因素；四．教学过程引入新知三种函数模型的性质在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随增大逐渐近似与轴平行随增大逐渐近似与轴平行随增大而增大，均匀增长我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．设计意图：温故知新，通过对上节指数、对数和一次函数问题的回顾，提出新的问题，提出研究函数增长差异的问题及研究方法。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。（二）新知探究下面就来研究一次函数，指数函数在区间内增长的差异.问题探究活动一：以函数与为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.分析：借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386….….….(3)观察两个函数图象及其增长方式：结论1：函数与有两个交点和结论2：在区间上，函数的图象位于之上结论3：在区间上，函数的图象位于之下结论4：在区间上，函数的图象位于之上综上：虽然函数与都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数的增长速度不变，但是的增长速度改变，先慢后快.思考：请大家想象一下，取更大的值，在更大的范围内两个函数图象的关系？随着自变量取值越来越大，函数的图象几乎与轴垂直，函数值快速增长，函数的增长速度保持不变，和的增长相比几乎微不足道.归纳总结总结一：函数与在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：虽然函数与在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.尽管在的一定范围内但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有总结二：一般地指数函数与一次函数的增长都与上述类似.即使值远远大于值，指数函数虽然有一段区间会小于，但总会存在一个，当时，的增长速度会大大超过的增长速度.设计意图：通过画出特殊的指数函数和一次函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养。下面就来研究一次函数，对数函数在区间内增长的差异.活动二：以函数与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·········观察两个函数图象及其增长方式：总结一：虽然函数和在区间上都单调递增，但它们的增长速度存在明显差异，函数的增长速度不变，而的增长速度在变化.随着x的增大，函数的图像越来越平缓，像与轴平行一样.函数的图像离x轴越来越远.例如：这表明，当即时，比相比增长得就很慢了.活动三：将放大倍，将函数与比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，一次函数保持着固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但是由于的增长慢于的增长，于是，总会存在一个,当时，恒有设计意图：通过画出特殊的对数数函数和一次函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养。活动四：类比上述过程，画出一次函数，对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异；师生活动：教师提出问题，引导学生借助信息技术画出图象进行探索．试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异；师生活动：有了前面的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充．三种函数在区间（0，+∞）上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值．(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.师生活动：“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”从字面意义理解，直观形象、顾名思义，可充分发挥学生的积极性展开讨论．教师个别提问讨论的结果，只要学生正确理解即可，没有特定的标准答案．设计意图：通过同时比较三种函数的增长差异，进一步认识一次函数、对数函数和指数函数的性质，体会它们之间增长的差异．（三）学以致用1.下列函数中，增长速度越来越慢的是()A. B. C. D.答案：C2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()A. B. C. D.答案：D解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.3.下表是函数值随自变量变化的一组数据,由此判断最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型答案：A解析：自变量x每增加1，函数值y增加2，函数值的增量是均匀的,故为线性函数，即最可能的函数模型是一次函数模型.故选A.4.物价上涨是当前的热门话题，特别是菜价，我国某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是()A. B. C.D.答案：B解析：由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高知，函数增长的速度越来越快,故函数的图象应一直是下凸的，故选B.设计意图：考查学生是否掌握一次函数、对数函数和指数函数增长的差异，并能够应用增长差异和增长趋势，解决相关问题．总结提升教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答下面问题：（1）概述本节课研究一次函数、对数函数和指数函数增长的差异的基本过程．（2）掌握不同函数增长的差异，有什么现实意义？师生活动：提出问题后，先让学生思考并做适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．设计意图：了解不同函数增长的差异的现实意义，可以使学生更好地掌握一次函