《指数函数与对数函数》第8课时 对数函数的图象和性质

4.4.2对数函数的图象和性质一．课时教学内容对数函数的图象和性质课时教学目标1.能借助描点法、计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点等性质；2.利用反函数的概念，引导学生类比指数函数的图象探究对数函数的图象及性质，进一步完善对数函数的性质。3.体会对数函数的性质在具体的生活和数学情境中的作用，能利用对数函数的性质解决一些简单的应用问题，感受数形结合、分类讨论的数学思想和方法，渗透逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养.二、教学重难点1.重点：对数函数的图象和性质。2.难点：对数函数性质的探究和归纳，对数函数与指数函数的联系。三、教学过程（一）创设情境【实际情境】在化学中，溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。例如，在我国规定纯净水pH值只要在6.5-8.5之间即是合格产品。如果水的pH值过低则会有腐蚀作用，而pH值过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的pH值都是控制在6.5-8.5之间。问题1：（1）已知某品牌的纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，则它的pH是多少？它是合格产品吗？【预设的答案】7；是（2）请同学们猜想：随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？想要知道溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间有什么样的变化关系，需要研究什么呢？（提示：若记溶液酸碱度为，氢离子浓度为，写出关于的函数解析式）【预设的答案】越强；变化关系为，则需要研究对数函数的单调性.【设计意图】将对数函数性质的学习与生活实际和学生的生活经验、化学学习经验结合起来，同时也复习对数运算和对数函数的概念，充分调动学生学习的积极性，从而自然地引入对数函数的图象与性质的研究问题。问题2：我们是怎样研究指数函数的？我们主要研究它的哪些性质？【活动预设】引导学生回顾指数函数的研究过程：确定要通过作出对数函数的图象来研究其性质的研究方法，同时要注意分类讨论思想的应用。实例——概念——表示——图象——性质——应用（二）新知探究活动1：作出函数的图象【活动预设】学生采用描点法作图。【活动意图】引导全体学生回顾描点法作图的基本方法和步骤。活动2：在同一坐标系中作出函数的图象。你有什么发现？【活动预设】学生继续采用描点法作图并观察两个函数图象的对称关系，有的学生先观察了与的关于轴对称的性质再来作图。【活动意图】让学习活动的发生更符合学生自然的认知规律。动手和观察能力较强的学生可以先观察图象获得“函数与的关于轴对称”的结论，然后利用这个结论，通过思考体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象。目的是让学生学习用联系的观点看问题，通过逻辑推理获得数学结论。这样思考便于将对数函数的图象分为两类来归纳，学生在指数函数中有过类似的研究，可以自然地理解。活动3：选取底数的若干值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此尝试概括出对数函数的值域和性质.【活动预设】学生小组合作大量举例，改变对数函数中底数a的值（a＞0且不等于1），在此环节中，小组会继续采用描点法（包括采用对称性）来进行观察。观察归纳：观察作出的函数图象，进行文字语言的描述后再将图象特征转化为函数特征用图象。活动4：下面请同学们观察Geogebra作图的动画展示，来观察对于任意底数a(a>0，且a≠1),我们刚刚的发现是否成立.小结：利用描点法、对称关系的推理，我们都可以作出对数函数的图象，从而归纳出对数函数的性质。教师运用信息技术展示取不同值时对数函数的变化情况。a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数（三）学以致用例1溶液酸碱度是通过pH计量的.随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？函数(x＞0)的单调性如何？【预设的答案】是底数大于1的对数函数，在定义域上单调递增，因此随着（氢离子浓度）的增大，函数值减小，即溶液的pH值减小，酸性越强。【设计意图】（1）回归实际情境，让学生体会学以致用的快乐（2）用对数函数的单调性来解释学生已经有的化学学习经验，加强学科间的融合。例2比较下列各组数中两个值的大小:(1)log23.4与log28.5(2)log0.31.8与log0.32.7(3)log45与log63(4)loga5.1与loga5.9【预设的答案】（1）＜;（2）＞;（3）＞;（4）分类讨论：当a>1时，loga5.1＜loga5.9；0<a<1时，loga5.1＞loga5.9【设计意图】（1）利用对数函数的单调性比较同底对数的大小,加深对数函数性质的理解；当底数用字母来表示时，注意分类讨论思想的应用；（2）对数与整数比大小或不同底对数比较大小，需要化为同底对数或者是借助中间量来比较大小，渗透了化归与转化的数学思想，同时也是对对数函数的图象与性质的灵活运用。[方法总结]比较对数值大小的策略：1.同底时，根据单调性比较两真数的大小；2.同底但底数是字母时，需对字母进行分类讨论，再根据单调性比较两真数的大小；3.同真数但不同底时，可利用“底大图低”的口诀来直接判断大小；4.不同底且不同真时，常借助中间值，如-1,0,1等进行比较.教师讲授：反函数的概念上一节课，在利用碳14测年法推断出良渚古城遗址年代的例子中，我们可以将指数函数等价转化为对数式，这是一个对数函数，且与对数函数为同一个函数。不难发现，交换了x与y的位置后，和这两个函数的定义域和值域正好互换，称这样的两个函数互为反函数。问题3：对于指数函数，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？【设计意图】用实例加深学生对反函数的理解，明确同底的指数函数与对数函数互为反函数.活动5：画出两组反函数的图象，并观察寻找它们之间的对称关系。下面请同学们观察Geogebra作图的动画展示，来观察对于任意底数,我们刚刚的发现是否成立.【设计意图】用实例加深学生对反函数的理解，明确同底的指数函数与对数函数互为反函数，且它们的图象关于直线对称。（四）总结提升思考：（1）对数函数有哪些性质？（2）我们可以通过哪些方式来探究对数函数的图象及性质？（3）在探究对数函数的图像及性质的过程中，我们应用了哪些数学思想与方法？你还想探究关于对数函数的哪些问题？【设计意图】（1）梳理本节课对于对数函数图象及性质的认知；（2）进行探究过程的反思和数学思想方法、核心素养的渗透，鼓励学生进一步观察归纳