从分数知识的教学看小学教师的专业素养（上）

从分数知识的教学看小学教师的专业素养（上）

笔者看到了很多关于分数教学的案例，其中有一些很具有代表性.它们涉及分数的概念教学和运算教学等，既有学生的典型失误，又有学生合乎逻辑的理解或者“可爱的错误的理解”；既有教师教学处理的功底和机智，也有教师的无奈和现场的尴尬.案例1：能用表示吗？[1]在一节“真分数、假分数和带分数”的公开课教学中，在引导学生初步建立了真分数、假分数和带分数的概念后，教师组织学生进行应用练习：用分数表示图1中的阴影部分.师：（出示图1）阴影部分可以用哪个分数表示？生1：.学生都没有异议，但还有不少学生举着手.生2：.学生同样没有异议，教师也肯定了生2的答案.在教师刚想转入对下一个图的讨论时，发现还有几个学生高举着手.生3：我认为还可以用表示.教室里顿时安静下来，不少学生的脸上露出疑惑不解的神情.听课教师的脸上同样露出疑惑的神情.师：（惊讶地）还可以用表示？能说说你的想法吗？生3：我是把3个三角形看做一个整体，平均分成6份，阴影部分表示其中的5份.在学生表述的过程中，教师把3个三角形圈了起来（如图2），并表示赞同生3的意见.这时，听课教师开始躁动起来.“能用表示吗？”他们在小声议论着.生3的发言刚结束，有学生不等教师同意就开始发表自己的意见.生4：我认为还可以用表示.这下，教师也愣住了，教室更加安静了，学生们再一次睁大了眼睛.听课教师也再次安静了下来.生4：我是把其中的2个三角形看做单位“1”，平均分成4份，阴影部分表示这样的5份.这时，教师脑海中闪现的是“2的就是”，于是马上肯定了这个学生的意见.听课教师再次躁动起来，议论的声音更大了……课后，不少教师对上述教学提出异议，认为图中的涂色部分“不能用表示”“用表示毫无道理”，这这样教会把学生“越教越糊涂”.学生表示为或是不是毫无道理？这样教会不会把学生越教越糊涂？导致这些情况的原因是什么？该案例中学生的主动建构活动均有其道理，教师对待学生的民主态度也有其可圈可点之处，授课教师较好地处理了第一个学生关于的回答.而听课教师不仅观念落后，并且不能以数学的眼光去分析数学课堂.听课教师和授课教师的“惊讶”“愣住”“疑惑”“躁动”“安静”“再躁动”等表明，所有教师都把一道开放题当做封闭题来处理了.教师把1个三角形抽象为单位“1”，但只在心里作了这样的潜在假设，而在题目中没有明确交代，这样歪打正着，这一疏忽引出了一堂开放课.关键是教师的数学理解有问题，本来题目就是开放的，答案并不唯一.另外，该案例也说明教师对学生的内心世界缺乏了解，具体表现在对单位“1”的认识上.显然，把整体看成“1”并不是那么简单的，它的数学化过程既有抽象性，又有相对性，应该是丰富多彩的，这也正是分数的本质特征之一，即分数作为一种“数”，“其本身既表示一个绝对的量，又表示一个相对的量”，这说明老师对学生的理解存在教育心理学层面的“欠缺”.特别是，主动开放的课堂和被动的补救是有区别的，前者对数学抽象和对问题的开放性有深刻的认识，即使学生的活动失于封闭，也能主动启发学生作开放性的思考；后者则是对突发事件的艺术处理.显然，只有开放的理念并不够，还要有过硬的数学学科功底作保证.这样的学科层面挑战的例子下面我们还会看到很多.生1：你从2份“半个西瓜”中取出1份，我也从2份“半个西瓜”中取出1份，合起来就是从4份“半个西瓜”中取出2份.这个学生还画出下面的图3来作说明.老师解释说：应从同一个西瓜中各取一半，不能从两个西瓜中分别去取，并且每个人所取到的都是半个西瓜，两半合到一起就是一个西瓜，应是+=1.生2：我们小组有一半是男生，另一小组也有一半是男生，合成一大组后，男生还是占一半呀.生3：万一有一半取自大西瓜，有一半取自小西瓜，合起来也得不出一个西瓜呀.会不会你的比我的大？教师感到现在教学开放了，学生思维活跃了，课也难上了.同上面的案例一样，让学生理解整体“1”并不容易，其数学化有一个漫长的过程.但本案例主要体现在教师不能区分生活和数学之间的界限，当教师每次企图拿数学来向学生解释答案是“1”的合理性时，学生总拿生活中的反例去反驳，他在学生的“生活化反驳”中，找不到该问题的“数学本质”了.实际上，一方面数学教学的情境化取向、生活化取向体现了数学活动的思维规律，体现了理论联系实际的合理性；另一方面数学教学既要走进现实生活又要超越现实生活，既要贴近学生的生活又要丰富学生的生活.用“三个世界”的分析框架来说，就学生和教师的“生活世界”“数学世界”“教学世界”而言，要求我们必须通过设计“教学世界”来借鉴“生活世界”，将“数学世界”中的学术形态转变为“教学世界”可接受的形态，能够分离“情境”和“数学模式”，这便是“作为教育任务的数学”的一个重要使命.但今天的数学课堂乃至很多其他学科的课堂中，过于情境化的现象普遍存在，“去数学化”或“去学科化”的情势愈演愈烈，这对数学教育和课程改革都是不利的.教师老想通过生活中的西瓜去解释数学中的和为1，从而把自己推上了尴尬的境地.简言之，应尽力防止过于情境化和“去数学化”现象.该案例中，有一个细节给我留下了深刻的印象，就是生1用画图的方式向老师解释自己答案的合理性，其他学生用生活例子反驳老师，这正是老师应该向学生学习的地方.学生用多重表征方式解释结果，虽然答案是错误的，可老师不应肯定学生说理的方式并向他们学习吗？当学生不理解数学概念、原理、法则时，你会多重解释吗？教师个人多元表征的“元”有多少？是否灵活贯通？案例3：分数除以整数的教学案例[2]师：同学们认为÷2的计算方法有这样四种，你能用已经学过的知识和手中的材料，来验证这四种方法中哪些是正确的，哪些是错误的吗？（学生通过折一折、涂一涂等方法进行验证和独立思考后，教师组织交流讨论）生6：我探究的是生2的计算方法，我认为他的计算方法是错误的，因为根据分数的基本性质，分子和分母同时除以2，分数的大小不变，它的商仍旧是（生8和下面的生9有类似的操作展示，如图4）师：通过刚才的交流，你能用自己的语言说说上面这三种方法是怎样的吗？同桌可以讨论交流.生10：分数除以整数可以把分数转化成小数，再用小数除以整数计算.生11：分数除以整数等于分子除以整数，分母不变.生12：还可以这样计算：分数除以整数等于分数乘以这个整数的倒数.师：是呀，生3和生4的方法在这道题中都遇到了新问题，根据我们现在的知识还不能解决，那么生5的方法是不是一定正确呢？你能用手中的材料验证它吗？（学生再次利用材料动手验证，然后反馈交流）教师用÷2这一个题目（引导性的问题），和学生展开深度的有层次的交流，教师有序地引导学生去伪存真、去粗取精、由浅入深，促成了学生对法则的自然发现.理解法则就更不用说了，因为学生又用它处理了÷3.整堂课练习量极少，而思维密度极大，教师高明的追问和巧妙的启发跃然纸上.本案例中教师以问题作为导向，以“请大胆猜一猜计算方法”“你能用已经学过的知识和手中的材料，来验证这四种方法哪些是正确的，哪些是错误的吗”