大二第二学期概率论1.5的独立性

第五节事件的独立性

显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.一、两事件的独立性A={第二次掷出6点}B={第一次掷出6点}先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)则称A、B独立，或称A、B相互独立.两事件独立的定义例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2

前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

则由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13

P(A)=P(A|B),说明事件A、B独立.

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击，记

A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）

一批产品共n件，从中抽取2件，设

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.

因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.请问：如图的两个事件是独立的吗？

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,

则A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不独立我们来计算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即

Ω

问：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们既相互独立又互斥?不难发现，与任何事件都独立.设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：

前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B独立故A与独立.概率的性质=P(A)-P(A)P(B)证明:仅证A与独立容易证明,若两事件A、B独立，则

也相互独立.例2:设甲,乙两射手击中目标的概率分别是0.7与0.8,现各射击一次,试求:(1)同时击中目标的概率.(2)至少有一个击中目标的概率.(3)恰有一个击中目标的概率.二、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：

对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)四个等式同时成立，

P(AC)=P(A)P(C)则称事件A、B、C相

P(BC)=P(B)P(C)互独立。若前三个等

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)式成立，则称A、

B、C两两独立。

推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：包含等式总数为：设A1,A2,…,An是

n个事件，如果对任意k(1<k

n),任意1i1<i2<…<ik

n,具有等式则称A1,A2,…,An为相互独立的事件.请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n>2)个事件?例3：一个均匀的四面体，其第一面染红色第二面染白色，第三面染黑色，而第四面染红、白、黑三种颜色，以A、B、C分别记投掷一次四面体，底面出现红、白、黑的三个事件，判断A、B、C是否两两独立？是否相互独立？如果将一枚硬币抛掷两次，设事件A1表示“第一次正面朝上”；事件A2表示“第二次正面朝上”；事件A3表示“正反各出现一次”；事件A4表示“正面出现两次”，则事件()A.A1、A2、A3相互独立B.A2、A3、A4相互独立C.A1、A2、A3两两独立D.A2、A3、A4两两独立对独立事件，许多概率计算可得到简化：例4

三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

解：将三人编号为1，2，3，三、独立性的概念在计算概率中的应用记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3所求为P(A1A2A3)记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,312已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]3所求为P(A1A2A3)P(A1A2A3))(121nAAAP-=

n个独立事件和的概率公式:设事件相互独立,则也相互独立

也就是说，n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.

P(A1…An)则“

至少有一个发生”的概率为若设n个独立事件发生的概率分别为类似可以得出：至少有一个不发生”的概率为“=1-p1

…pn

P(A1…An)=1-(1-p1)…(1-pn)例4.

(先下手为强)甲乙两人轮流掷一颗骰子，每轮掷一次，谁先掷得6点谁获胜，从甲开始掷，问甲乙获胜的概率各为多少？a1a2an…a1a2an…b1b2bn…a1b1a2b2anbn…IIIIII例5.各元件的可靠性均为r(0<r<1),求各系统的可靠性。例6

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.

设B={飞机被击落}

Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3

由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)则B=A1B+A2B+A3B求解如下:依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,

P(B|A3)=1可求得:

为求P(Ai),

设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.同理：于是

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.

掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”

一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A或，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.

新生儿：“是男孩”，“是女孩”

抽验产品：“是正品”，“是次品”四.贝努利概型1.贝努利概型

这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.

再设我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同)，

每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p.伯努利概型在相同条件下，重复n次做同一试验，每次试验只有两个互逆结果；n次试验是相互独立的；每次试验中P(A)=p不变。例7：设射手每一次击中目标的概率为0.3，现连续射击3次，试求恰好击中k次目标的概率是多少？(分析k=2的情况)解：记={第i次射击时击中目标}i=1,2,3k=0,1,2,3={3次射击中恰有k次击中目标}在n重贝努里试验中，每次试验事件A发生的概率为p,则事件A（成功）恰好发生k次的概率为2.定理1.5.2例.甲、乙两名棋手比赛，已知甲每盘获胜的概率为p。假定每盘棋胜负是相互独立，且不会出现和棋。在下列情况下，试求甲最终获