第七章全同粒子

第七章全同粒子本章介绍：本章第一介绍全同粒子的特征，而后介绍了全同粒子系统的波函数及泡利不相容原理。§7.1全同粒子的特征§7.2全同粒子系统的波函数全同粒子的定义：我们称质量、电荷、自旋、同位旋即其余所有内禀固有属性完整相同的粒子为全同粒子。比如：所有电子是全同粒子。全同粒子的重要特色：在相同的物理条件下，它们的行为完整相同，所以用一个全同粒子取代另一粒子，不惹起物理状态的变化。在经典力学中，即便是全同粒子，也老是能够划分的。因为我们总能够从粒子运动的不一样轨道来划分不一样的粒子。而在量子力学中因为波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。跟着时间的变化，波在流传过程中总会出现重叠，在两个波重叠在一同的地区，没法划分哪一个是第一个粒子的波，哪一个是第二个粒子的波。所以全同粒子在量子力学中是不行划分的。我们不可以说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。全同粒子的不行划分性，在量子力学中称为全同性原理。从全同性原理出发，能够推知，由全同粒子构成的系统拥有以下性质：全同粒子系统的哈密顿算符拥有交换对称性。议论一个由N个全同粒子构成的系统，第i个粒子的所有变量用qi表示，系统的哈密顿算符是?qi,qj,qN,t)，因为全同粒子的不行H(q1,划分性，将粒子i和j交换，系统的哈密顿算符不变H(q1,qi,qj,qN,t)H(q1,qj,qi,??qN,t)交换算符Pij引入交换算符Pij，表示将第i个粒子和第j个粒子互相交换的运算：?qi,qj,qN,t)(q1,qj,qi,qN,t)?是随意波函数，由H的交换不变Pij(q1,?H(q1,qi,qj,qN,t)(q1,qi,qj,qN,t)性有：Pij???即[Pij,H]0此外，将交换H(q1,qj,qi,qN,t)Pij(q1,qj,qi,qN,t)算符作用到薛定谔方程上，得?????表示：若是薛定谔方程的解，则?也是薛定谔方程的解。PijitPijHHPijPij于是有??22得21,1P利用Pijij即??由上两式可见，全同粒子构成的系统的状态只好用交换对称或交换Pij,Pij反对称的波函数描绘。全同粒子系统波函数的对称性不随时间变化。若t0时刻波函数??(0)是对称波函数s(0)，则因为Hs对称，则由薛定谔方程可的交换对称性，所以H见，/t也对称。将(t)按t睁开到一级，(t)s(0)dt因为右端两项都是对称波函数，则(t)也是对称波函数。tt0玻色子和费米子1.实验表示，由电子、质子、中子等自旋为/2的粒子以及其余自旋为/2的奇数倍的粒子构成全同系，它的波函数是反对称的。这些自旋为/2奇数倍的粒子称为费米子。在量子统计中，由费米子构成的系统听从费米——狄拉克统计。2.实验表示，由光子、介子、胶子等自旋为/2的偶数倍的粒子构成全同系，它的波函数是对称的。这些自旋为/2偶数倍的粒子称为玻色子。在量子统计中，由费米子构成的系统听从玻色——爱因斯坦统计。§7.2全同粒子系统的波函数这一节我们先议论由两个全同粒子构成的系统。在不考虑粒子间互相作用条件下，两粒子系统的哈密顿算符为????HH0(q1)H0(q2)，H0是每个粒子的哈密顿算符因为是全同粒子，所以两粒子的哈密顿算符相同。?H的本征方程为?H0(q1)?H0(q2)

(q1)Eii(q1)i态，第二个粒子处于j态，系统的能量是当第一个粒子处于(q2)Eii(q2)EEiEj系统的波函数是(q1,q2)i(q1)?(q1,q2)Ei(q1)j(q2)若两粒子交换，则能量表达式j(q2)知足H不变，但波函数表达式变成(q2,q1)i(q2)j(q1)这说明(q1,q2)和(q2,q1)对应相同的能量本征值，系统存在交换简并。当ij时，两波函数即不是对称波函数，也不是反对成波函数。这类波函数是不可以描绘全同粒子系统的。要描绘全同系，一定将波函数做对称化或反对称化，于是有1.当ij时(q1,q2)(q2,q1)波函数是对称波函数。2.当ij时sA

1[(q,q)(q,q)]1[i(q)j(q)i(q)(q)]是对称波函数212212122j11(q1,q2)(q2,q1)]1j(q2)i(q2)j(q1)]是反对称波函数。[[i(q1)22由上式可知，若ij，即两粒子处于同一状态时

A0上述结果能够推行到N个全同粒子构成的系统。若粒子间的互相作用能够忽视，系统的哈密顿算符为???N?(qi)各粒子的薛定谔方程为HH0(q1)H0(qN)H0i0H0(q1)i(q1)Eii(q1)H0(q1)j(q1)Ejj(q1)系统的薛定谔方程为?,qN)系统的能H(q1,qN)E(q1N级和波函数为EEi关于由N个全同玻色子构成的系统，i1(q1,qN)i(q1)j(q2)k(qN)波函数是对称的。对称化后的波函数为：SCpi(q1)j(q2)k(qN)式中p表示N个粒子在波函数中的某一种摆列，C是p归一化常数。cni!明显i，ni是处在第i个单粒子态i中的粒子数。所以N!ni!Sipi(q1)j(q2)k(qN)关于由N个全同费米子构成的系统，波函数N!p是反对称的。需将其反对称化。为此，我们先将二粒子系统的反对称波函数式写成队列式1i(q1)Aj(q1)2i(q1)1j(q1)AN!k(q1)

(q2)在将其推行到N粒子系统，(q2)i(q2)i(qN)j(q2)j(qN)上式称为斯莱特队列式，因为任何两粒子的交k(q2)k(qN)换相当于队列式中两列之间的交换，队列式必定反号。所以，斯莱特队列式是反对称的。特别重要的是：假如两个或两个以上粒子的状态相同，则因为队列式中有两行以上相同，这个队列式必为零。这表示不可以有两个或两个以上的全同费米子处于同一状态，这个结果称为泡利不相容原理。此外，假如粒子间存在互相作用，我们固然不可以把系统波函数写成单粒子波函数形式或进行对称化或反对称化，但这其实不等于不可以够对称化或反对称化。事实上，总能够找出(q1,qN)，而后交换波函数中的粒子坐标来进行对称化或反对称化。自然，假如粒子只定域在空间的某一地区，描绘粒子的波函数在空间是分开的不重叠。全同粒子的不行划分性就不重要了。自旋的影响在忽视粒子自旋和轨道互相作用的状况下，系统的波函数能够写成坐标的函数和自旋函数的乘积。取q(rs)，r表示粒子的坐标，s表示粒子的自旋，有(r1s1,r2s2,rNsN)(r1,r2,rN)(s1,s2,sN)假如粒子是费米子，波函数对称，于是有两种状况对称，反对称；反对称，对称。假如粒子是玻色子，波函数反对称，也有两种状况对称，也对称；反对称，也反对称。在前面的议论中，实质上引入了一个不是很完满的假定：粒子仍旧能够编号，仍旧能够分为第一个、第二个、.第N个，而后再考虑粒子之间的交换，要求它们拥有交换对称性。严格的说，这类做法其实不彻底，原由在于：既然粒子是全同的，他们之间不行划分，就根本谈不大将粒子编号。更谈不大