第四章 功和能

第四章功和能第一页，共四十五页，2022年，8月28日一、教学基本要求

掌握功的概念，能计算直线运动情况下变力的功。理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力和万有引力的势能。掌握质点的动能定理，并能用它分析简单问题，掌握机械能守恒定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法。第二页，共四十五页，2022年，8月28日功功率动能保守力势能机械能动能定理功能原理机械能守恒定律二、基本概念功:力对质点作的功定义为力在位移方向上的分量与该位移大小的乘积。有：第三页，共四十五页，2022年，8月28日瞬时功率：Δt→0时平均功率的极限值称为t时刻的瞬时功率。平均功率和瞬时功率

平均功率：作功与完成这些功所用时间的比值

第四页，共四十五页，2022年，8月28日动能：物体做机械运动而具有的能量，称为动能，记为：保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关，只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力（简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）第五页，共四十五页，2022年，8月28日势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一个由他们的位形（相对位置）决定的函数，相应于某两个位形的这一函数（势函数）的差就给出质点系从这一位形到另一位形时保守力作的功。这个位形决定的函数叫质点系的势能函数，简称为势能，记为。（R为势能参考点）机械能：系统的动能与势能之和，记为：第六页，共四十五页，2022年，8月28日质点系动能定理：所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。动能定理：质点动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量，即：

第七页，共四十五页，2022年，8月28日机械能守恒定律：如果系统内只有保守力作功，其它内力和一切外力都不作功，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但机械能总值保持不变。功能原理：系统机械能的增量等于外力的功和非保守内力功的总和，即：第八页，共四十五页，2022年，8月28日（C）只有（2）是正确的1、对功的概念有下列几种说法正确的是（）（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加；（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零；（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者作功的代数和必为零。三、例题分析（A）（1）（2）是正确的例题1（B）（2）（3）是正确的（D）只有（3）是正确的第九页，共四十五页，2022年，8月28日2、一个质点同时在几个力作用下的位为其中一个力为恒力（SI），则此力在该位移过程中所作的功为__________。例题2解：第十页，共四十五页，2022年，8月28日例题33、已知一质点在x轴上运动，其F—x关系如图所示，则质点运动从0到10m过程中，求F所作的功；R510xF05第十一页，共四十五页，2022年，8月28日4、如图所示，木块m沿固定的光滑斜面（倾角为）下滑，当下降h高度时，重力的瞬时功率（）例题4h解：（A）（B）（C）（D）第十二页，共四十五页，2022年，8月28日5、一颗速率为的子弹，打穿一块木板后，速率降到。如果让它继续穿过厚度和阻力均与第一块完全相同的第二块木板，则子弹的速率将降为

。（空气阻力忽略不计）例题5解：根据动能定理，由题意，子弹穿越两块木板损失的动能相等，所以：第十三页，共四十五页，2022年，8月28日6、一个质量为的物体沿x轴无摩擦的运动，设时，物体位于原点，速度为零，求物体在与位置有关的力作用下移到处时，它的速度和加速度为多少？例题6解：由动能定理：第十四页，共四十五页，2022年，8月28日例题77、有一倔强系数为的弹簧竖直放置，下端悬一质量为的小球，先使弹簧为原长，而小球恰好与地面接触，再将弹簧缓慢地提起，直到小球能脱离地面为止。在此过程中，外力作的功为多少？解：

脱离地面时：第十五页，共四十五页，2022年，8月28日建立坐标如图所示，在任意位置，水桶的总质量为：

8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2

的加速度提升到井口，外力作功。例题8解：0101）匀速运动时，满足：第十六页，共四十五页，2022年，8月28日2）加速运动时，满足：则：功的定义：功的定义：第十七页，共四十五页，2022年，8月28日9、电梯由一个起重间与一个配重组成。它们分别系在一根绕过定滑轮的钢缆的两端，如图所示。起重间（包括负载）的质量，配重的质量此电梯由和定滑轮同轴的电动机所驱动。假定起重间由低层从静止开始加速上升，加速度。求：1）这时滑轮两侧钢缆中的拉力各是多少？2）加速时间，在此时间内电动机所作功是多少？（忽略滑轮和钢缆的质量）3）在加速以后，起重机匀速上升。求再上升的过程中，电动机又作了多功？例题9第十八页，共四十五页，2022年，8月28日解：mM1）根据牛顿第二定律：2）根据功能原理：电梯作匀加速运动，所以：解得：3）根据功能原理：h第十九页，共四十五页，2022年，8月28日ABo10、如图一质点质量为在半径为的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为，则质点自A滑到B的过程中摩擦力作功为多少？例题10B点：解：动能定理：所以：第二十页，共四十五页，2022年，8月28日例题1111、某弹簧不遵守胡克定律，设施力，相应伸长为，弹力与伸长的关系为。求：

1）将弹簧从伸长拉伸到伸长时，弹簧弹力所做的功；

2）以弹簧的原长为弹簧的势能零点，求弹簧伸长时具有的势能。第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日解：

1）由功的定义：2）由势能的定义：第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日12、有一人造地球卫星，质量为，在地球表面上空两倍于地球半径的高度沿圆型轨道运行。地球质量用表示，1）卫星的动能为多少？2）卫星的势能为多少？解：1）卫星做圆周运动，有：

例题122）根据万有引力势能公式第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日13、如图所示，质量为短试管，用长为，质量可忽略不计的硬直杆悬挂，管内盛有乙醚液滴，管口用质量为的软木塞塞住。当加热试管时，软木塞在乙醚蒸气压力下飞出，1）要试管绕悬点o在竖直平面内作一完整的圆周运动，那么软木塞飞出的最小速度是多少？2）若将硬杆换成细绳，结果如何？例题13o第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日解：

1）木塞飞出瞬间，动量守恒：

（1）试管做圆周运动过程，机械能守恒，（2）由（1）,（2）解得：2）当木棒换成细绳时，到最高点时满足：（3）机械能守恒：（4）由（1）,（3）,（4）解得：第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日14、如图所示，质量为的陨石从距离地面高处由静止开始向地面下落（忽略空气阻力），求：1）陨石下落到地面过程中，万有引力作功？

2）陨石落地时的速度大小？例题14第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日解：

1）法一：保守力作功：2）动能定理：法二：功的定义F第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日15、人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点和远地点距地心距离分别为和，设地球质量为，万有引力常数为G，求：1）卫星在近地点和远地点处万有引力势能之差为多少？2）卫星在近地点和远地点速度大小分别为多少？例题15第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日解：

1）解得：2）法一：角动量守恒：机械能守恒：第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日法二：万有引力提供向心力：近日点和远日点的运动轨迹的曲率半径相等，即：解得：第三十页，共四十五页，2022年，8月28日16、一轻弹簧原长，劲度系数为，上端固定，下端挂一质量为的物体，先用手托住，使弹簧保持原长，然后突然将物体释放。求：1）物体达最低位置时弹簧最大伸长和弹力是多少？2）物体经过平衡位置时的速率是多大？例题16第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日解：ABC

1）如图所示，图C表示达到最低位置时刻机械能守恒：设弹簧原长位置为势能零点，弹簧伸长：弹簧弹力：第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日2）图B，表示达到平衡位置时，满足机械能守恒，设弹簧原长位置为势能零点，解得：

BA第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日17、如图所示，A、B两块板用一轻质弹簧相连，他们的质量分别为和，问在A板上需要加多大的压力，方可使力停止作用后，恰好使A跳起来时B刚好被提起。（弹簧的劲度系数为）例题17AB第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日解：如图所示，黑色表示题中给出A板初始位置，红色分别表示：（B）受到压力时的A板的位置，有：（1）（C）B稍微被提起时刻，A板的位置，有：（2）（A）弹簧原长位置；（A）（B）（C）第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日根据机械能守恒，设弹簧原长位置为重力势能和弹性势能零点，有：（3）由（1）、（2）、（3）式解得：根据题意，负舍，得：（A）（B）（C）第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日18、一质量为的物体A与一轻弹簧相连放在平滑水平桌面上，弹簧的另一端固定在墙上，弹簧的倔强系数，现在用力推A，从而弹簧被压缩了。在弹簧的原长处放有质量的物体B，如图所示。由静止释放物体A后，A将与静止的物体B发生弹性碰撞。求碰撞后A物体还能把弹簧压缩多大距离？例题18原长第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日解：A与B碰撞之前，机械能守恒：A、B碰撞过程中：A压缩弹簧过程，机械能守恒：解得：原长动能守恒：动量守恒：第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日19、如图所示，质量为、的物体静止在水平面上，以劲度系数为的轻弹簧相连，弹簧处于自由伸展状态，一颗质量为，速率为的子弹水平地入射到质量为的物体内，问弹簧最多被压缩多长？（不计一切摩擦）例题19第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日解：子弹打入过程，动量守恒，有：当和的速度相等时，弹簧压缩最大，过程中系统动量守恒，机械能守恒，解得：第四十页，共四十五页，2022年，8月28日20、如图所示