第二节二重积分在极坐标系下的计算

第二节二重积分在极坐标系下的计算第一页，共三十四页，2022年，8月28日适用范围第二页，共三十四页，2022年，8月28日直角坐标与极坐标的关系其中0r<+,02(或

-

)xyr(x,y)0第三页，共三十四页，2022年，8月28日考虑典型小闭区域——曲边四边形区域一、二重积分的极坐标计算公式第四页，共三十四页，2022年，8月28日二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式第五页，共三十四页，2022年，8月28日计算方法——化为二次定积分(通常先对后对积分)第六页，共三十四页，2022年，8月28日二重积分化为二次积分几种常见的情形第七页，共三十四页，2022年，8月28日二重积分化为二次积分几种常见的情形第八页，共三十四页，2022年，8月28日二重积分化为二次积分几种常见的情形第九页，共三十四页，2022年，8月28日若f≡1则可求得D的面积思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束第十页，共三十四页，2022年，8月28日二、典型例题第十一页，共三十四页，2022年，8月28日例.求其中D：x2+y2

1解：一般,若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用极坐标积分。0xyx2+y2

1令x=rcos,y=rsin,则x2+y2

1的极坐标方程为r=1.由(2)D*:0r1,0

2第十二页，共三十四页，2022年，8月28日另由几何意义：第十三页，共三十四页，2022年，8月28日例1.计算其中D:x2+y2a2(a>0).解：D如图,由于D关于x轴，y轴都对称，0xyx2+y2

=a2aD1Dr

=a即f(x,y)也关于x轴，y轴对称.故第十四页，共三十四页，2022年，8月28日从而，原式注：本题若用直角函标计算，会遇到而这个积分是“积不出”的。第十五页，共三十四页，2022年，8月28日例1.方法二0xyx2+y2

=a2aD1Dr

=a第十六页，共三十四页，2022年，8月28日方法一例20xyD第十七页，共三十四页，2022年，8月28日例2方法二第十八页，共三十四页，2022年，8月28日第十九页，共三十四页，2022年，8月28日第二十页，共三十四页，2022年，8月28日解例3第二十一页，共三十四页，2022年，8月28日例4第二十二页，共三十四页，2022年，8月28日解积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标轴对称.例5第二十三页，共三十四页，2022年，8月28日例6解第二十四页，共三十四页，2022年，8月28日第二十五页，共三十四页，2022年，8月28日第二十六页，共三十四页，2022年，8月28日内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为则

若积分区域为则机动目录上页下页返回结束第二十七页，共三十四页，2022年，8月28日则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:

若积分区域为在变换下机动目录上页下页返回结束第二十八页，共三十四页，2022年，8月28日(3)计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动目录上页下页返回结束第二十九页，共三十四页，2022年，8月28日思考与练习1.设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换机动目录上页下页返回结束第三十页，共三十四页，2022年，8月28日2.交换积分顺序提示:

积分域如图机动目录上页下页返回结束第三十一页，共三十四页，2022年，8月28日计算二重积分应注意的问题1、由被积函数和积分区域D适当地选取坐标系，当D是圆域，环域（或其一部分）或被积函数为型时采用极坐标系下计算，否则采用直角坐标。适当地选取坐标系，第三十二页，共三十四页，2022年，8月28日适当地选取积分次序，

2、由积分区域D的形状特点适当地选取积分次序，极坐标系下一般先对r后对θ积分，直角坐标系下一般由X还是Y型区