第四章 系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析第一页，共六十七页，2022年，8月28日补充内容：

非周期函数(信号)的谐波分析1.周期函数和傅立叶级数

称为第n次谐波频率，基波频率的整数倍；T称为周期，周期函数为满足狄里赫利条件：①在一个周期内只有有限个第一类间断点②在一个周期内只有有限个极值点。周期函数可分解为傅立叶级数称为基波频率或频率间隔；即，可分解为：平均值+∑谐波分量之和。第二页，共六十七页，2022年，8月28日非周期函数(信号)的谐波分析⑵非周期函数可看成是周期为无穷大的周期函数！

⒉非周期函数谐波的次数n→∞，再用n来表示谐波次数已无意义，因此可改用ω来表示各次谐波的角频率，于是有

相邻两个谐波频率无限接近，当时，有第三页，共六十七页，2022年，8月28日非周期函数(信号)的谐波分析⑶①非周期函数含有一切频率的谐波分量；②由于周期无穷大，这些谐波分量是在-∞≤t≤∞的时刻存在的，因此这些谐波分量是稳态的正弦波。③可以用系统对正弦输入的稳态响应来研究系统的瞬态性能。因为一个特定时刻输入的非周期函数可以展成无穷多个稳态的正弦波（恒值分量可视为频率为0时的谐波），所以也就可以用稳态的正弦波信号作为输入来研究系统的特性，改变正弦波的频率，也就知道了系统对非周期函数的响应特性。结论第四页，共六十七页，2022年，8月28日4.1频率特性概述当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号，这种过程称为系统的频率响应(frequencyresponse)。

实例：RC滤波网络

则系统输出为

设输入信号为求出待定系数，拉氏逆变换、整理后有

瞬态响应，随时间增加会衰减为0稳态响应第五页，共六十七页，2022年，8月28日频率响应的特点①稳态输出与输入相比，都是同频率的正弦函数，但幅值不同，相位不同。②稳态输出的幅值为输入幅值的一个相应的倍数；③相位比输入相位滞后一个角度。幅值比它是频率ω的函数，称为幅频特性；描述了系统在稳定情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，输出幅值的衰减或增大特性。相位差它是频率ω的函数，称为相频特性：描述了系统在稳定情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，输出相位产生超前或滞后的特性。。结论系统在不同频率的正弦信号输入时,其稳态输出随频率而变化(ω由0到∞)的特性，称频率特性。频率响应：系统对谐波输入信号的稳态响应。第六页，共六十七页，2022年，8月28日频率特性的定义

线性稳定系统在正弦信号作用下，当频率从零变化到无穷大时，稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性，称为频率特性。频率特性由幅频特性和相频特性两部分组成。

系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输人信号的幅值之比随输入频率的变比而变化的特性称为幅频特性，它描述了系统对输入信号幅值的放大、衰减特性。

系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相位之差随输入频率的变化而变化的特性称为相频特性，它描述了系统输出信号相位对输入信号相位的超前、滞后特性。

幅频特性相频特性第七页，共六十七页，2022年，8月28日4.1.3频率特性的求法p.1281、根据系统的频率响应来求取从稳态响应中可得到频率响应的幅值和相位。

例

第八页，共六十七页，2022年，8月28日2、将传递函数中的s换为jω（s=jω）来求取系统的频率特性。因此,G(jω)也称为谐波传递函数第九页，共六十七页，2022年，8月28日补充：

频率特性的求取方法注意复数的运算：

两个复数积或商的模等于两个复数的模的积或商；两个复数积或商的相位等于两个复数的相位的和或差。实频特性虚频特性第十页，共六十七页，2022年，8月28日举例p.133例1：传递函数和频率特性为幅频特性

相频特性

若输入为:则稳态输出为:

第十一页，共六十七页，2022年，8月28日RC网络的频率特性图第十二页，共六十七页，2022年，8月28日举例例：已知系统传递函数和输入，求该系统的稳态输出。

解：求稳态输出，首先必须求得幅频特性和相频特性。

①先求系统的谐波传递函数

③得系统的稳态输出

②再求频率特性第十三页，共六十七页，2022年，8月28日

频率特性的物理意义⑴表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。当频率低时，系统能正确响应、跟踪、复现输入信号；当频率高时，系统输出幅值衰减近似为0，相位严重滞后，系统不能跟踪、复现输入。⑵系统的频率特性随频率而变化的根本原因：系统有蓄能元件、有惯性，对频率高的输入，系统来不及响应。⑶系统的频率特性是系统的固有特性，取决于系统结构和参数。时间常数一旦确定，频率特性随之而定，幅频特性、相频特性也就确定，时间常数越大，系统能跟踪复现的信号的频率越低。控制系统具有低通滤波器特性第十四页，共六十七页，2022年，8月28日频率特性小结：1．线性定常系统在谐波输入作用下，其稳态响应是和输入量同频率的谐波函数，但其幅值和相位与输入量的幅值和相位不同，而且它们都是输入频率的函数；通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应,以获得系统的动态特性。2．线性定常系统在对不同频率谐波输入的不同响应，完全取决于系统的固有特性。3．系统的频率特性在已知传递函数时，可令s＝jω求得;也可视G(jω)为系统的动柔度p.131。4．频率特性方法将特别重视图解方法。

频率特性的特点和作用p.130第十五页，共六十七页，2022年，8月28日4.2频率特性的图示方法p.131频率特性的主要图解方法极坐标图Nyquist图

由于计算机的出现，作图已经变得很容易了，但这些图解方法的重要性在于，其物理意义非常明确，使人们易于掌握系统的物理本质和动态特性。对数坐标图Bode图第十六页，共六十七页，2022年，8月28日

频率特性的极坐标图可用向量表示某一频率下的频率特性。

通常，将极坐标重合在直角坐标中，极点取直角坐标的原点，极坐标轴取直角坐标的实轴。采用矢径（幅频特性）和相角绘制。

表示频率特性的向量的矢端的轨迹称为幅相频率特性曲线，或奈奎斯特曲线。设系统的频率特性为1.Nyquist图的画法第十七页，共六十七页，2022年，8月28日2、典型环节的Nyquist图（1）比例环节第十八页，共六十七页，2022年，8月28日（2）积分环节第十九页，共六十七页，2022年，8月28日（3）微分环节第二十页，共六十七页，2022年，8月28日（4）惯性环节第二十一页，共六十七页，2022年，8月28日（5）一阶微分环节（导前环节）第二十二页，共六十七页，2022年，8月28日（6）振荡环节第二十三页，共六十七页，2022年，8月28日

当环节在谐振频率处出现谐振峰值时(见图4.2.3)，表示环节对谐振频率附近的谐波分量的放大能力特别强，输入信号中接近谐振频率的谐波分量被放得很大，在输出信号中这些谐波分量特别突出，因此，环节的阶跃响应有以谐振频率附近的频率进行振荡的倾向。令则谐振频率为谐振峰值为：其他典型环节不再赘述。第二十四页，共六十七页，2022年，8月28日振荡环节图4.2.3震荡环节的nyquist图及其幅频图第二十五页，共六十七页，2022年，8月28日图4.2.4震荡环节ζ不同取植的Nyquist图第二十六页，共六十七页，2022年，8月28日振型是指体系的一种固有的特性。它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。每一阶固有频率都对应一种振型。振型与体系实际的振动形态不一定相同。振型对应于频率而言，一个固有频率对应于一个振型。按照频率从低到高的排列，来说第一振型，第二振型等等。此处的振型就是指在该固有频率下结构的振动形态，频率越高则振动周期越小。在实验中，我们就是通过用一定的频率对结构进行激振，观测相应点的位移状况，当观测点的位移达到最大时，此时频率即为固有频率。实际结构的振动形态并不是一个规则的形状，而是各阶振型相叠加的结果。第二十七页，共六十七页，2022年，8月28日Nyquist图的一般形式例3(p.135)

注意主题词:渐进线和低频段第二十八页，共六十七页，2022年，8月28日例4(p.136)注意主题词:实频、虚频特性第二十九页，共六十七页，2022年，8月28日例5(137)由于传递函数含有导前环节，即有可能提高系统灵敏度，增加误差；也有可能增加系统阻尼，提高系统稳定性。这是相互制约的二个方面，在频率特性分析中表现的就是Nyquist曲线弯曲，相位可能非单调变化。（也可参考第三章第10帧）第三十页，共六十七页，2022年，8月28日

Nyquist图的一般形状(一般不介绍)考虑如下系统：0型系统（v=0）

＝0：

＝：A(0)＝K(0)＝0°A()＝0()＝(m－n)×90°第三十一页，共六十七页，2022年，8月28日ReIm＝0K＝n=1n=2n=3n=4只包含惯性环节的0型系统Nyquist图0第三十二页，共六十七页，2022年，8月28日I型系统（v=1）

＝0：

＝：(0)＝－90°()＝(m－n)×90°A()＝0A(0)＝ReIm＝0＝n=2n=3n=40n=1第三十三页，共六十七页，2022年，8月28日II型系统（v=2）

＝：()＝(m－n)×90°A()＝0

＝0：(0)＝－180°A(0)＝ReIm＝0＝n=2n=3n=40第三十四页，共六十七页，2022年，8月28日1、开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。v=0时，

Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点。2、n=m时，Nyquist曲线止于实轴上的某一有限远点。n>m时，Nyquist曲线终点幅值为0，而相角为(m－n)×90°。Nyquist图的特点：3、不含一阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含有一阶微分环节的系统,由于相角非单调变化，Nyquist曲线可能出现凹凸。授课接点第三十五页，共六十七页，2022年，8月28日

频率特性的对数坐标图（Bode图）对数幅频特性图中的横坐标也称为频率ω轴,采用对数分度,但标注频率的实际值,单位是rad/s;一个对数单位表示频率增加10倍,称为“10倍频程（dec）”。⒈对数坐标图的坐标系

对数幅频特性图中的纵坐标为20lgG(jw),表示对数幅频特性的函数值，线性分度，单位是分贝dB。对数相频特性的纵坐标表示相频特性的函数值,单位是度（°）。第三十六页，共六十七页，2022年，8月28日图4.2.9Bode图坐标系第三十七页，共六十七页，2022年，8月28日

用Bode图表示频率特性的优点（1）可将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减，因而简化了计算与作图过程。（2）可用近似方法作图。分别作出各个环节的Bode图，然后用叠加方法得出系统的Bode图，并由此可以看出各个环节对系统总特性的影响。第三十八页，共六十七页，2022年，8月28日1、典型环节的Bode图（1）比例环节图4.2.10比例环节的Bode图第三十九页，共六十七页，2022年，8月28日（2）积分环节图4.2.11积分环节的Bode图第四十页，共六十七页，2022年，8月28日（3）微分环节图4.2.12微分环节的Bode图第四十一页，共六十七页，2022年，8月28日（4）惯性环节(p.143)注意主题词：转角频率、低、高频段第四十二页，共六十七页，2022年，8月28日图4.2.13惯性环节的Bode图低频段近似为0dB水平线,称低频渐进线;高频段近似为一条斜率为-20dB/dec的高频渐进线.惯性环节具有低通滤波器的特性：当w>wT时,其输出迅速衰减,即滤掉输入的高频部分.在低频段,输出能够准确反映输入.第四十三页，共六十七页，2022年，8月28日渐进线与精确对数幅频曲线的最大误差发生在转角频率处,其误差为-3dB.

在低频段误差：在高频段误差：见P.143,图4.2.14误差修正曲线第四十四页，共六十七页，2022年，8月28日（5）一阶微分环节图4.2.15导前环节的Bode图一阶微分环节与惯性环节的对数频率特性呈镜像关系对称于w轴.第四十五页，共六十七页，2022年，8月28日（6）振荡环节第四十六页，共六十七页，2022年，8月28日幅频特性曲线的特点是：低频段为0dB线；高频渐近线为过转角频率，斜率为-40dB/dec的斜线。当阻尼比较小时，有谐振现象，谐振的大小与阻尼比有关。当阻尼比大于0.707后，对数幅频特性不出现谐振峰。

相频特性曲线的特点是：以（ωT，-90°）的点为反斜对称。当ω趋向无穷大时，相位滞后-180°。图4.2.16振荡环节的Bode图第四十七页，共六十七页，2022年，8月28日2、绘制系统Bode图的步骤与实例（1）将系统传递函数转化为若干个标准形式的环节的传递函数的乘积形式。（2）由传递函数求出频率特性。（3）确定各典型环节的转角频率。（4）作出各环节的对数幅频特性的渐近线。（5）根据误差修正曲线对渐近线进行修正，得出各环节的对数幅频特性的精确曲线。第四十八页，共六十七页，2022年，8月28日(6)将各环节的对数幅频特性叠加（不包括系统总的增益K）。(7)将叠加后的曲线垂直移动20lgK，得到系统的对数幅频特性。(8)作出各环节的对数相频特性，然后叠加而得到系统总的对数相频特性。(9)有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上-τω。第四十九页，共六十七页，2022年，8月28日惯性环节惯性环节一阶微分环节例6P.148图4.2.22例6的Bode图第五十页，共六十七页，2022年，8月28日补充例题(1)比例(2)积分(3)微分环节转角频率(4)惯性环节转角频率(5)振荡环节转角频率第五十一页，共六十七页，2022年，8月28日s/rad(4))(Lww0.1110dB2040600.01(1)(2)(3)(5)-20+20-20-40-60-60-80-20-40-60第五十二页，共六十七页，2022年，8月28日第五十三页，共六十七页，2022年，8月28日Bode图叠加举例⑴

比例环节使其他环节的对数幅频特性曲线提高或降低20lgK(dB)对相频特性曲线则无影响第五十四页，共六十七页，2022年，8月28日Bode图叠加举例⑵叠加方法:在转折频率处增加相应环节的高频段的斜率。第五十五页，共六十七页，2022年，8月28日对数频率特性的绘制步骤：

①将传递函数写成典型环节的标准型式；②算出20lgK的分贝值；③按大小写出各环节的转角频率，并标注在频率轴上；④如果有积分环节，过（ω=1，L=20lgK或0）的这一点，作斜率为-20dB/dec的直线；⑤从低频段开始，每经过一个转角频率，将该环节高频段的斜率叠加到前面的斜线上。⑥绘出各环节的相频特性曲线，叠加得系统的相频特性曲线。⒊开环对数频率特性的绘制第五十六页，共六十七页，2022年，8月28日4.3频率特性的特征量p.151

①零频值：零频值与系统的稳态误差有关。单位反馈系统的零频值为1。零频值越接近1系统的稳态误差越小。闭环幅频特性的零频值说明:对于单位反馈控制系统，其闭环传递函数为

⒈零频幅值第五十七页，共六十七页，2022年，8月28日

2.复现频率或复现带宽：若规定一个Δ为反映复现低频输入信号的允许误差，则复现频率就是闭环幅频特性值与零频值之差第一次达到Δ的频率值。表征系统能以确定精度复现的输入信号的频率范围。3.谐振频率：指系统产生峰值时对应的频率；谐振峰值：指在谐振频率处对应的幅值,它反映了系统的相对平稳性.一般设计时取小于1.4,对应最大超调量MP<25%。；4.截止频率或称截止带宽：

幅频特性下降为零频值的0.707倍时(即-3dB)对应的频率.它反映系统的快速性,带宽越大,响应的快速性越好.A(w)A(0)0.707A(0)第五十八页，共六十七页，2022年，8月28日截止频率、带宽、频宽带宽大,表明系统能够通过较宽的输入信号,反之频率较低的信号.所以,带宽大的系统,重现输入信号的能力强.对于典型的二阶系统,由截止频率的定义有对于任意给定的误差,有从公式知道:当阻尼比给定后,系统截止频率与调整时间成反比关系,所以,控制系统的带宽越宽,复现输入信号的快速性越好,即带宽表征了控制系统的响应快速性.第五十九页，共六十七页，2022年，8月28日关于频域指标与时域指标的关系

二阶系统可以求出频域指标和时域指标之间严格的数学关系

阻尼比是联系两者的桥梁

通常取阻尼比在0.4～0.7、谐振峰值在1～1.4之间。截止频率

当ζ一定时，截止频率正比于系统无阻尼自然频率，因此无阻尼自然频率愈大，截止频率也就愈大，即带宽愈大，响应愈快。同时为了使输出量准确地复现输入量，应使系统的带宽略大于输入量的带宽。但带宽过大，系统抗高频干扰的性能下降，带宽大的系统实现起来也要困难些，所以带宽也不宜过大。高阶系统中，频域指标和时域指标的对应关系比较复杂，很难用严格的解析式来表达。工程上往往根据近似计算和大量的经验数据，求出一些经验公式或曲线图表，供分析设计时应用。

第六十页，共六十七页，2022年，8月28日4.4最小相位系统与非最小相位系统P.152最小相位系统：所有零点和极点均在[s]平面的左半平面。

反之，称为非最小相位系统。与具有相同幅频特性的非最小相位系统相比，最小相位系统的相位变化范围最小。第六十一页，共六十七页，2022年，8月28日例（非最小相位系统）（最小相位系统）第六十二页，共六十七页，2022年，8月28日

示例已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所