第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征第一页，共六十一页，2022年，8月28日第四章随机变量的数字特征

我们知道,随机变量的分布律或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便.

已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断.第二页，共六十一页，2022年，8月28日§1随机变量的数学期望§1.1离散型随机变量的数学期望例：有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称数学期望——描述随机变量取值的平均特征第三页，共六十一页，2022年，8月28日5416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk则抽查到的100只手表的平均日走时误差为即

例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:第四页，共六十一页，2022年，8月28日

如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值.

这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.第五页，共六十一页，2022年，8月28日

定义:设离散型随机变量X的概率分布为如若则称为随机变量X的数学期望,记为E(X).

如果则称随机变量X的数学期望不存在.第六页，共六十一页，2022年，8月28日所以A的射击技术较B的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称

例:有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解A射击平均击中环数为B射击平均击中环数为第七页，共六十一页，2022年，8月28日

解①分布律为：X0123P0.30.40.20.1②平均废品数为：第八页，共六十一页，2022年，8月28日

例:设随机变量X具有如下的分布，求E(X).解虽然有收敛,但发散,因此E(X)不存在.第九页，共六十一页，2022年，8月28日（0-1）分布数学期望

设X的分布列为：X01Pqp则

其中第十页，共六十一页，2022年，8月28日§1.1.2二项分布数学期望

定理:设随机变量X服从二项分布,即则随机变量X的数学期望E(X)=np.证明第十一页，共六十一页，2022年，8月28日§1.1.3泊松分布数学期望

证明:

定理:设随机变量X服从泊松分布,即则随机变量X的数学期望E(X)=λ.第十二页，共六十一页，2022年，8月28日为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X).

定义:设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若

则称

如果则称连续型随机变量X的数学期望不存在.§1.2连续型随机变量的数学期望第十三页，共六十一页，2022年，8月28日

例:设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解第十四页，共六十一页，2022年，8月28日

例:若随机变量X的概率密度函数为问随机变量X的数学期望E(X)是否存在.解所以E(X)不存在.但第十五页，共六十一页，2022年，8月28日§1.2.1均匀分布的数学期望

定理:设连续型随机变量X的密度函数为则E(X)=(a+b)/2.

证明:第十六页，共六十一页，2022年，8月28日§1.2.2指数分布的数学期望

定理:设连续型随机变量X的密度函数为则随机变量X的数学期望为E(X)=1/λ.证明第十七页，共六十一页，2022年，8月28日§1.2.3正态分布的数学期望

定理:设连续型随机变量X~N(μ,σ2),则E(X)=μ.证明第十八页，共六十一页，2022年，8月28日§2随机变量函数的数学期望定理:设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数).(1)设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk,k=1,2,...(2)设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若若则则有§2.1随机变量函数的数学期望第十九页，共六十一页，2022年，8月28日

定理:设Z是随机变量X,Y的函数Z=g(X,Y)(f是连续函数).(1)设二维随机向量(X,Y)的分布律为(2)设二维随机向量(X,Y)的分布密度为f(x,y),若若则则第二十页，共六十一页，2022年，8月28日

例:已知随机变量X~N(0,1),求E(X2).解法1先求Y=X2

的概率密度函数:若y<0,则FY(y)=0;若y>0,则所以Y=X2

的概率密度函数为解法2再求第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日例:设（X,Y）的联合分布律如下，Z=XY，求E(Z).解

第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日

例:设风速V在(0,a)上服从均匀分布,又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数:W=kV2(k>0,常数),求W的数学期望.解因为随机变量V的密度函数为所以第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日

例:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为试求XY的数学期望.解第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日

例:按季节出售的某种应时商品,每售出一公斤获利润b元.如到季末尚有剩余商品,则每公斤净亏损a元.设某商品在季节内这种商品的销售量X(以公斤计)是一随机变量,X在区间(s1,s2)上服从均匀分布.为使商店所获得利润的数学期望最大,问商店应进多少货?解以s(公斤)表示进货数,进货s所得利润记为Ys(X),则X的概率密度为第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日由得于是第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日§2.2数学期望的性质1.若a≤X≤b,则E(X)存在,且有a≤E(X)≤b.特别,若C是常数,则E(C)=C.2.设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对任意的实数a、b,E(aX+bY)存在,且有

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的情况.3.设X,Y是互相独立的随机变量,则有

E(XY)=E(X)E(Y)此性质可推广到有限个互相独立的随机变量之积的情况.第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日

定理：若a≤X≤b,则E(X)存在,且有a≤E(X)≤b.特别,若C是常数,则E(C)=C.证明(1)设离散型随机向量X分布列为{X=xi}=pi,i=1,2,…则(2)设连续型随机变量X的概率密度为p(x),则(3)因为P{X=C}=1,故E(C)=E(X)=C×1=C第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日

定理:设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对任意的实数a、b,E(aX+bY)存在,且有

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…则第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x),pY(y)则第三十页，共六十一页，2022年，8月28日

定理:设X,Y是互相独立的随机变量,则有

E(XY)=E(X)E(Y)证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…P{X=xi}=pi.,i=1,2,…P{Y=yj}=p.j,j=1,2,…则第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x),pY(y)则第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日

例:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X).

解:引入随机变量易知X=X1+X2+…+X10任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1-(9/10)20.即P{Xi=0}=(9/10)20,P{Xi=1}=1-(9/10)20第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日所以E(Xi)=1-(9/10)20,i=1,2,…,10进而E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)+E(X2)+…+E(X10)=10[1-(9/10)20]=8.784

注:本题的特点是将X分解为数个随机变量的和,再求数学期望.此种方法具有普遍意义.第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日解

例:设一电路中电流I(安)与电阻R(欧)是两个相互理独立的随机变量,其概率密度分别为求电压V=IR的数学期望.第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日解

因此，有第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日

又当-1≤x≤1时，故得同理可得由于所以X与Y不相互独立第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日例:

抛掷6颗骰子，X表示出现的点数之和，求E(X).从而由期望的性质可得第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日§3随机变量的方差

例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：

易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手表的优劣.但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?§3.1方差的概念第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日分析原因：A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较B手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小.

研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的.

怎么样去度量这个偏离程度呢?(1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差;(2)E[X-E(X)]不能反映X与E(X)之间的整体偏差;(3)E{|X-E(X)|}可以度量X与E(X)之间的整体偏差,但运算不方便;(4)E{[X-E(X)]2}可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较方便.第四十页，共六十一页，2022年，8月28日

定义：设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]2}存在,则称E{[X-E(X)]2}为X的方差.记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2}称为X的标准差或均方差.

定理:证明D(X)=E{[X-E(X)]2}=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日

方差实际上是随机变量X的函数f(X)=[X-E(X)]2的数学期望.于是(1)对于离散型随机变量X,若P{X=xk}=pk,k=1,2,…则(2)对于连续型随机变量X,若其概率密度为p(x),则第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日

例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律.问哪种手表质量好些?解易知E(XA)=E(XB)=0.所以由于D(XA)<D(XB),因此A手表较B手表的质量好.第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日

例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X).

解于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日§3.2常见分布的方差§3.2.1（0-1）分布的方差

定理：若P{X=0}=q,P{X=1}=p,则D(X)=pq.证明第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日§3.2.2二项分布的方差

定理:若随机变量X服从二项分布X~B(n,p),则

D(X)=npq.证明第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日§3.2.3泊松分布的方差

定理：设随机变量X服从泊松分布X~π(λ),则D(X)=λ.证明第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日§3.2.4均匀分布的方差

定理:设随机变量X服从均匀分布X~U(a,b),则D(X)=(b-a)2/12.证明第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日§3.2.5指数分布的方差

定理:设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则证明第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日§3.2.6正态分布的方差

定理:设随机变量X服从正态分布X~N(μ,σ2),则D(X)=σ2.证明第五十页，共六十一页，2022年，8月28日常见分布的期望和方差表第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日解法1

X的边缘密度函数是故第五十二页，共六十一页，2022年，8月28日

解法2

于是第五十三页，共六十一页，2022年，8月28日解

由于所以第五十四页，共六十一页，2022年，8月28日§3.3随机变量方差的性质(1)设C是常数,则D(C)=0(2)设C是常数,X是随机变量,则有

D(CX)=C2D(X)(3)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)(5)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,即

P{X=C}=1(4)对于任意常数C≠E(X),有D(X)<E(X-C)2第五十五页，共六十一页，2022年，8月28日

定理:D(aX+b)=a2D(X)证明

D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2}=E{[(aX+b)-E(aX)-b]2}=E{[aX-E(aX)]2}=E{[a(X-E(X))]2}=a2E{[X-E(X)]2}=a2D(X)第五十六页，共六十一页，2022年，8月28日

定理:设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)证明D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}=E{[X-E(X)]2}