第二节单因素方法

第二节单因素方法第一页，共十九页，2022年，8月28日进一步取点逐步缩小包含x*的区间范围，利用有限次计算，使区间压缩。问题：计算n次函数值，能把区间缩小到什么程度？找寻一个标准。aa1x*b1byxaa1x*b1bxy第二页，共十九页，2022年，8月28日设Fn为计算n次函数值能把区间缩小为单位区间的最大原区间的长度。称为斐波那契数。F0=F1=1，F2=2，F3=3有递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2。由此可得：计算n次函数值，压缩区间的总压缩率为：第三页，共十九页，2022年，8月28日斐波那契数1202年伦纳德·斐波那契提出了这样一个问题：假定一对兔子每个月都生一对新的兔子，新生的兔子隔一个月后就开始生育，其次，假定兔子都没有死亡。这样第一个月是F1=1，第二个月没有生，F2=1；第三个月生了一对兔子，F3=2（老兔及第一对兔子）；第四个月，F4=3（老兔、第一、二对兔子）；第五个月，F5=5（老兔、第一、二、三对兔子及第一对兔子生的兔孙）；…这样形成的数列称为斐波那契数列。n01234567891011121123581321345589144233第四页，共十九页，2022年，8月28日第一次压缩的压缩率为：第二次压缩的压缩率为：第n次压缩的压缩率为：第五页，共十九页，2022年，8月28日利用压缩率欲将原区间[a0,b0]压缩为原长的δ倍，需计算几次函数值？第六页，共十九页，2022年，8月28日斐波那契法的步骤：（1）确定试点个数n，令Fn>1/δ,查表确定试点个数n。（2）选取前两个试点的位置第七页，共十九页，2022年，8月28日它们在区间的位置是对称的。（3）计算函数值和,并比较它们的大小。第八页，共十九页，2022年，8月28日（4）计算或,如（3）步迭代。计算试点的一般公式为：第九页，共十九页，2022年，8月28日计算n次函数值，就可以达到预定的压缩率。第十页，共十九页，2022年，8月28日0.618法利用斐波那契法压缩区间压缩率依次为：将数列分为可证这两个数列收敛于同一极限。设k→∞时，若则λ=μ。又递推公式得第十一页，共十九页，2022年，8月28日又因为将（1）代入（2）中得：第十二页，共十九页，2022年，8月28日将斐波那契法中每次压缩的不同的压缩率都用0.618来代替，每次压缩的压缩率相同，简化了求试点的计算，这种方法称为0.618法。其递推公式为：若给定，令求满足条件的最小的n。第十三页，共十九页，2022年，8月28日牛顿法一原理：构造函数逼近于已知函数，其最优解也逼近于所求函数的最优解。设y=f(x)在[a,b]区间是下单峰函数，在点处存在。构造函数该函数是二次抛物线函数，且与f(x)共有一点可逼近于f(x)，以的极小点作为f(x)的极小点的近似

值。现求的极小点，有第十四页，共十九页，2022年，8月28日如果这个近似值不到预先给定的精确度，就在点构造函数并求极小点，这样继续下去，逐步逼近f（x）的极小点，直到到达给定精确度为止。二牛顿法运算步骤：（1）已知给定精确度ε>0。任取若则为的近似解即是f(x)的最优解。（2）若则算出若则停止，为的近似解即是f(x)的最优解。第十五页，共十九页，2022年，8月28日（3）一般地，若迭代至点，已知时为近似解，若令迭代直到满足精确度为止。例1求函数在区间[3，4]上的最小值,精度=0.05。解：任取

故即是近似最优解。第十六页，共十九页，2022年，8月28日抛物线法：一原理：利用构造拟合（逼近）函数的方法，与牛顿法原理相同，但方法不同。设函数f(x)的三点x1<x2<x3，函数值(或试验结果)分别为y1,y2,y3。利用(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)拟合一条抛物线,使得：满足条件的函数为：Φ(x)=

第十七页，共十九页，2022年，8月28日Φ(x)与f(x)拟合（共用三点）求Φ(x)的最小值点，得：二抛物线法的计算步骤：（1）选三个点x1<x2<x3,使其函数值之间关系为：

构造Φ(x),并求其最小值。验证是否是f(x)的最优解。（2）若第十八页，共十九页，2022年，8月28日(1)f(x4)≤f(x2)，则以（x2，x4，x3）为新的三点继续迭代。(2)f(x2)<f(x4)≤f(x3)