第五章薄板弯曲

第五章薄板弯曲第一页，共四十一页，2022年，8月28日5.1薄板的弯曲变形如h以表示板厚，以l表示其他方向的尺寸，当h/l<15时，可认为是薄板。板内厚度中点构成的平面称中面。板件一般常驻有垂直于中面的载荷（横向载荷），在载荷作用下，板面发生弯曲，中面由平面变为曲面，称为挠曲面。第二页，共四十一页，2022年，8月28日以未变形的中面为xy坐标面，中面各点沿z轴的横向位移以w表示，称为挠度，如图5-1所示。一般挠度为中面各点坐标的函数，即w=w(x,y)称为挠曲面方程。第三页，共四十一页，2022年，8月28日薄板弯曲时，板内各点的应变为其中z为点到中面的距离为挠曲面沿方向的曲率为扭曲率第四页，共四十一页，2022年，8月28日当板弯曲挠度很小时，曲率、扭曲率与挠曲面的关系为板挠曲面的曲率、扭曲率表示出板弯曲变形的程度，这3个分量也可合称为曲率。可用列阵表示为第五页，共四十一页，2022年，8月28日(5.1)第六页，共四十一页，2022年，8月28日因此，板内的应变可用列阵表示为(5.2)第七页，共四十一页，2022年，8月28日应力与应变的关系为其中[Dp]即平面应力问题的弹性系数矩阵板的中面处z=0，有即中曲面内没有面内应变，也没有面内应力。(5.3)第八页，共四十一页，2022年，8月28日板内各点应变与其z坐标呈正比关系。应力与z坐标也成正比，沿板厚度方向线性变化。正应力σx,σy在板的横截面上将合成为弯矩，剪应力将合成为扭矩。分别表示如下：第九页，共四十一页，2022年，8月28日第十页，共四十一页，2022年，8月28日弯矩Mx、My与扭矩Mxy3项为薄板弯曲的内力，合在一起用列阵表示为第十一页，共四十一页，2022年，8月28日将式(5.3)代入上式，并完成积分有其中[D]为薄板弯曲的弹性系数矩阵，它与平面应力问题弹性系数矩阵相似，只是多一个系数h3/12。第十二页，共四十一页，2022年，8月28日薄板弯曲的弹性应变能为其中V为板的体积域。将式(5.2)及(5.3)代入上式，并沿厚度方向积分，可得第十三页，共四十一页，2022年，8月28日其中S为板中面的面积域，[D]为薄板弯曲的弹性系数矩阵。由上式可见，薄板弯曲变形时，单位面积中面的弹性应变能为其曲率的二次型。板弯曲的曲率是其挠度w的二阶导数，因而薄板弯曲的弹性应变能为包括w二阶导数的二次泛函数。(5.6)第十四页，共四十一页，2022年，8月28日5.2四节点的矩形薄板单元对于薄板弯曲，可以只研究其中面的变形；对于矩形板单元，可以只研究一个矩形平面，但是，此单元上一点实际上代表着一个长度为板厚的法线段。按基本假设，此法线段长度不变，其位移应包括中心点的挠度w和法线绕x、y轴的转角θx和θy

。因而板单元任一节点i应有3个位移分量。第十五页，共四十一页，2022年，8月28日图5-3为矩形板单元，规定位移的正方向：wi沿z轴方向；转角θxi和θyi绕x、y轴按右手螺旋规定正方向。第十六页，共四十一页，2022年，8月28日节点位移按直法线假设，以小挠度变形下，法线的转角可由挠曲面的斜率表示。i节点的3项位移可用列阵表示为第十七页，共四十一页，2022年，8月28日板单元的每个节点有3项独立位移，即有3个自由度，4个节点共有12个自由度。如e单元4个节点的编号为k、l、m、n，则此单元全部节点位移可以列阵表示为为分析方便，此顺序是按节点分组排列的。如按节点分块，上述节点位移应表示为第十八页，共四十一页，2022年，8月28日形状函数取矩形单元的对称轴为x、y轴，可假定单元内挠度具有如下的多项式形式其中a1、a2…

a12为待定系数。(5.7a)第十九页，共四十一页，2022年，8月28日12个待定系数对应于单元的12个自由度。前3项为常数项及线性项，反映出中面平板无弯曲的刚体位移。3个二次项经二阶微分后给出常曲率，反映出中面变形的3种常应变形式。因此，前6项满足了单元的完备性要求。第二十页，共四十一页，2022年，8月28日含有完全的三次多项式，其四次项是不完全的，此种近似的挠度函数具有三次多项式的精度。不完全四次项的两项是对称的，这使单元对x及y轴具有同等的变形能力；当坐标轴转90o时，单元不会表现出不同的弯曲挠度形式。在x=常数及y=常数的单元边界上，其挠度都只含三次多项式。由后面的分析可见，这种假定的挠度函数可以保证单元间挠度的连续性。第二十一页，共四十一页，2022年，8月28日式(5.7a)可写成矩阵形式(5.7b)或简写为其中是[M(x,y)]一个1X12阶的函数矩阵，而{a}是由12个待定系数组成的列阵第二十二页，共四十一页，2022年，8月28日将(5.7b)对x、y分别求导，可得到两个转角的矩阵表达式如下：(5.8)第二十三页，共四十一页，2022年，8月28日依次将单元的4个节点坐标代入式(5.7b)及(5.8)中，可得到4个节点的挠度w及转角θx和θy这里共有12个方程，联系着12个节点位移分量及12个a参数之间的关系，其矩阵表达式为上式的逆转换式为(5.9)第二十四页，共四十一页，2022年，8月28日将式(5.9)代入式(5.7b)，得(5.10)其中[N(x,y)]即为此矩形薄板单元弯曲的形状函数矩阵，是一个1X12阶的行向量，按节点分块表示为(5.11)第二十五页，共四十一页，2022年，8月28日对于图5-4所示的矩形单元，其任一节点i的形状函数矩阵[Ni}是一个1X3的行阵，表达如(5.12)(p80)第二十六页，共四十一页，2022年，8月28日单元刚阵将式(5.10)代入式(5.1)，可得单元的曲率为第二十七页，共四十一页，2022年，8月28日式中的[B]也可称为单元的应变矩阵，按节点分块表示，有而对任一节点i的应变矩阵，按图5-4所示的坐标轴，有(5.14)(p81)第二十八页，共四十一页，2022年，8月28日单元的内力如已解出板结构的全部节点位移{δ}，则对任意的e单元都可以找出相应的单元节点位移{δ}e，再应用应变矩阵[B]和薄板弯曲的弹性矩阵[D]，即可得到单元的内力上式中[D][B]=[S]为薄板弯曲应力矩阵，为3X12的长方矩阵。第二十九页，共四十一页，2022年，8月28日将板弯曲的曲率代入板弯曲的应变能表达式(5.6)，可得到单元的应变能简写为而其中即为板弯曲的单元刚度矩阵。(5.16)第三十页，共四十一页，2022年，8月28日板弯曲的单元刚度矩阵，其计算式与一般单元刚阵（如平面问题）完全一样，只是这里应代入板弯曲的弹性系数矩阵[D][式(5.5)]和板弯曲的应变矩阵[B][式(5.13)]。第三十一页，共四十一页，2022年，8月28日节点载荷板结构上如受有集中荷载，一般在划分单元时宜将此力作用点划分为网格中的一个节点，此集中力可直接加入结构的总载荷列阵{Q}中。如板面承受有面分布的横向载荷p(x,y)，则应按式(3.10)逐个单元将分布力等效分配到各节点上。第三十二页，共四十一页，2022年，8月28日任一单元e形成的单元节点载荷为其中[N]为板弯曲的形状函数矩阵，由式(5.11)决定。第三十三页，共四十一页，2022年，8月28日当横向分布载荷为常值p时（均布载荷），对图5-5所示的矩形板单元，其分配得到的单元节点载荷为其中Zi和Mxi、Myi为i节点沿z向的力和绕x、y轴的力偶。(5.17)由上式可见，单元在均布的横向载荷p作用下，每个节点不但分配有全部单元横向力4pab的1/4，而且对各节点还分配有绕x、y轴的力偶。第三十四页，共四十一页，2022年，8月28日5.3薄板弯曲的相容性问题薄板弯曲的总势能表达包含w的二阶导数。完备性要求：所假定的单元位移模式应能实现任意的刚体位移和常曲率状态；相容性要求：所假定的单元位移模式保证单元间挠度及其一阶导数都是连续的。第三十五页，共四十一页，2022年，8月28日(5.7a)的假定位移模式满足完备性要求；但该假定的位移模式不满足相容性要求，其在各单元边界上挠度的导数或是不连续的。第三十六页，共四十一页，2022年，8月28日例如：在单元ij边界y=b

(常数)上有其中四个常数Ak,k=0,1,2,3

可以由四个条件wi,wj,及来确定，故此时变形的挠度和沿x方向的转角是连续的。第三十七页，共四十一页，2022年，8月28日而对边界上的转角

有式中的Bk,k=0,1,2,3

也需要四个条件才能确定，但现在只有二个条件，不足以确定Bk，故转角不能唯一确定。此单元相容性条件并不满足。第三十八页，共四十一页，2022年，8月28日我们知道相容性只是充分性条件；不满足相容性条件的单元不保证收敛性；但实践证明，这种单元的收敛性还是很好的。为什么？第三十九页，共四十一页，2022年，8月28日薄板问题总结薄板