第二节数项级数及审敛法

第二节数项级数及审敛法第一页，共四十八页，2022年，8月28日若则称为正项级数.的收敛（发散）问题归结为数列的收敛（发散）问题。次都直接用定义去判断级数收敛与否，除在少数场合外，往往是很困难的。因此，需要简单易行的判敛法。如果数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数.级数对于同号级数，只需研究正项级数.如果每但在具体应用中，一、正项级数及其审敛法第二页，共四十八页，2022年，8月28日定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”对于正项级数由于可见部分和数列单调增加。趋于无穷或有极限单调有界数列必有极限.此定理是本节诸判敛法的理论基础.其部分和发散趋向收敛准则第三页，共四十八页，2022年，8月28日证例1该正项级数的部分和为:所以原级数收敛.第四页，共四十八页，2022年，8月28日

正项级数的收敛或发散，直观看，可以说决定于其通项趋于0的快慢.若通项趋于0足够快，那么正项级数收敛.若通项趋于0不够快或不趋于0，那么正项级数发散.但是，什么是趋于0足够快或不够快？因为快慢是相对的.将它和已知是收敛或发散的正项级数的通项来比较，即可知道趋于0足够快或不够快.第五页，共四十八页，2022年，8月28日都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示两个级数的部分和,则有是两个正项级数,因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨第六页，共四十八页，2022年，8月28日(1)若级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若级数因此显然不是有界数列。这说明级数也发散.也收敛.发散,收敛,级数第七页，共四十八页，2022年，8月28日注：怎样使用比较审敛法？当需要判别一个正项级数如果能把它的（从某项起的）各项适当的放大，使放大后的级数是已知收敛的正项级数时，那么就可判断是收敛的；如果能把的（从某项起的）各项使缩小后的级数那么就可判断是否收敛时，是已知发散的正项级数，是发散的。适当的缩小（保持非负），第八页，共四十八页，2022年，8月28日例2解发散,故原级数发散.（2）对于任何x>1,都有则对于任何自然数，有第九页，共四十八页，2022年，8月28日例3.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.2)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,解:1)若原级数为调和级数发散.第十页，共四十八页，2022年，8月28日由图可知3)小结第十一页，共四十八页，2022年，8月28日重要参考级数:几何级数、p-级数和调和级数.常用方法:如，判定下列级数的敛散性第十二页，共四十八页，2022年，8月28日证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例4.第十三页，共四十八页，2022年，8月28日定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞证:

据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞时,(l可以代表普通实数，也可以代表）第十四页，共四十八页，2022年，8月28日由定理2

可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2

知收敛,若第十五页，共四十八页，2022年，8月28日的敛散性.～例5.判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例6.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～第十六页，共四十八页，2022年，8月28日说明：用比较判敛法来判断正项级数的敛散性，虽然有时是很方便的，但使用比较判敛法需要另外找到一个适当的正项级数作为比较级数。在实践上，找到这样一个级数，往往不是一件轻而易举的事。

能否不必另外寻找（至少是表面上不必另外寻找）

比较级数，而从级数本身判断它是否收敛？第十七页，共四十八页，2022年，8月28日定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.(3)当时级数可能收敛也可能发散.证明：第十八页，共四十八页，2022年，8月28日

原级数收敛.因此所以级数发散.时(2)当从而(1)公比r<1的等比级数

第十九页，共四十八页，2022年，8月28日比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:例如,2.条件是充分的,而非必要

第二十页，共四十八页，2022年，8月28日解例7第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日比值审敛法失效,改用比较审敛法.第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日例8.讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日例9.讨论级数的敛散性.解:

则对于任何n,均有第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日一般的，当正项级数的一般项是因子的乘积形式且中含有时，用比值法较方便。比值法失效；如何使用比值审敛法判别正项级数的敛散性？第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则数,且

注：根值审敛法的实质与比值审敛法相同，都是把给定的的级数与等比级数相比较.第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日时,级数可能收敛也可能发散.例如

,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日例10.讨论级数的敛散性.解:根据定理5可知:级数收敛;级数发散;所以级数发散。第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日例11极限不存在，因此，无法使用比值判敛法.解法一：根据根值审敛法知所给级数收敛.问题：能否用比值审敛法判别？能用根值审敛法判别的级数，不一定能用比值审敛法来判别。第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日并且其和为此级数也可以看作是由两个收敛的等比级数的对应项相加所得的级数.根据级数的线性性质，当然是收敛的.解法二：第三十页，共四十八页，2022年，8月28日解法三：第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日时，用根值判敛法比较方便。如何使用根值审敛法判别正项级数的敛散性？或是一些因子的乘积，其内含有根值判别法法失效；

能用比值判别法判别的正项级数，都能用根值法判别，反之，不一定.第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz

判别法)

若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足二、交错级数及其审敛法第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日证:

是单调递增有界数列,又故（第一章习题1-2第6题结论）故级数收敛于S,且第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛

.三、绝对收敛与条件收敛第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:

设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日定理7表明：上述定理的作用：任意项级数敛散性问题正项级数敛散性问题使得一大类级数的收敛判定问题，转化为正项级数的收敛问题.第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日例12.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日(2)令因此收敛,绝对收敛.第四十页，共四十八页，2022年，8月28日例13.判别下列级数的敛散性，如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛:第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日解:故级数条件收敛.因此原级数绝对收敛.Leibnitz

判别法，即第四十二页，共四十八页，2022年，8月28日解:因此原级数非绝对收敛.第四十三页，共四十八页，2022年，8月28日满足Leibnitz

判别法，所以原级数条件收敛.解:所以原级数发散.第四十四页，共四十八页，2022年，8月28日分析：这是交错级数，但不满足，无法用Leibniz判别法.故加括号后级数发散，所以原级数发散.解:加括号第四十五页，共四十八页，2022年，8月28日例14.证明:分析：只需证收敛即可.解:第四十六页，共四十八页，2022年，8月28日其和分别为*定理8.

绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.

(P265定理9)说明:

证明参考P265～P268,