第二章通信原理

第二章通信原理第一页，共五十二页，2022年，8月28日第三章随机信号分析引言随机过程的一般表述平稳随机过程平稳随机过程的相关函数与功率谱密度高斯过程平稳随机过程通过线形系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程高斯白噪声和带限白噪声第二页，共五十二页，2022年，8月28日引言

随机信号：信号的某个或几个参数不能预知或不能完全预知的信号随机噪声：不能预测的噪声随机过程：随机信号和噪声统称为随机过程第三页，共五十二页，2022年，8月28日3.1随机过程的一般表述1定义及特征 无穷多个样本函数的集合称为随机过程,计为ζ(t).它有两个基本属性:ζ(t)是时间t的函数;在任一时刻t1上，观察到的全体样本却是不确定的，是一个随机变量。图3.1－1n部接收机噪声记录

第四页，共五十二页，2022年，8月28日2随机过程的统计特性①概率分布——分布函数和概率密度函数设ξ(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t)的一维分布函数：F1(x1,t1)=P[ξ(t1)≤x1]ξ(t)的一维概率密度函数：=f1(x1,t1)ξ(t)的n维分布函数：Fn(x1x2…xn;t1,t2…,tn)=P[ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2…ξ(tn)≤xn]ξ(t)的n维概率密度函数：=fn(x1x2…xn;t1,t2…,tn)

F1(x1,t1)x1

nF1(x1x2…xn;t1,t2…,tn)x1x2…xn

n越大，用n维分布函数或n维概率密度函数去描述ξ(t)的统计特性就越充分。

第五页，共五十二页，2022年，8月28日②数字特征——数学期望、方差和相关函数数学期望：并记为E[ξ(t)]=a(t)。这里，它本该在某一时刻t1上求得，因此数学期望与t1有关。然而，t1是任意取得，故可把t1直接写成t。所以，随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。

数学期望的物理意义：信号或噪声的直流分量。方差：

方差的物理意义：信号或噪声交流功率。

(3.1-5)(3.1-6)第六页，共五十二页，2022年，8月28日自协方差与自相关函数衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量得统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。

（1）自协方差函数

式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；

用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。(3.1-7)第七页，共五十二页，2022年，8月28日（2）自相关函数

用途：a用来判断广义平稳；

b用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。（3）自协方差与自相关函数之间的关系

显然，由式（3.1-7）及(3.1-8)可得到二者之间的关系式，

(3.1-9)(3.1-8)dx1dx2第八页，共五十二页，2022年，8月28日互协方差与互相关函数

协方差函数和相关函数的概念也可引入到两个或更多个随机过程中去，从而获得互协方差及互相关函数。

设ξ(t)与η(t)分别表示两个随机过程（1）互协方差定义

（2）互相关函数定义如果t2>t1，并令t2=t1+τ，即τ是t2与t1之间的时间间隔，则相关函数R（t1，t2）可表示为R（t1，t1+τ）。这说明，相关函数依赖于起始时刻（或时间起点）t1及时间间隔τ，即相关函数是t1和τ的函数。

(3.1-10)(3.1-11)第九页，共五十二页，2022年，8月28日3.2平稳随机过程1狭义平稳随机过程：随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间的起点无关。fn(x1x2…xn;t1,t2…,tn)=fn(x1x2…xn;t1+τ,t2+τ…,tn+τ)(3.2-1)含义：指随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，即当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数不变。且有：一维分布则与时间无关：f1(x1,t1)=f1(x1)二维分布只于时间间隔τ有关：f2(x1,x2,t1,t2)=f2(x1,x2,

τ)数字特征：数学期望与方差与时间无关自相关函数只与时间间隔有关R（t,t+τ)=R(τ)第十页，共五十二页，2022年，8月28日2广义平稳随机过程：随机过程的数学期望与方差与时间无关,自相关函数只与时间间隔有关。通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。α(t)=α,σ2(t)=σ2R(t1,t1+τ)=R(τ)注意：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。第十一页，共五十二页，2022年，8月28日3、各态历经的平稳随机过程

1）问题的提出2）各态历经性“时间平均”代替“统计平均”一个随机过程的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称该随机过程具有各态历经性。设x1(t)是ξ(t)的一个样本，若下列式子成立，则具有"各态历经性"的平稳随机过程

注意：只有平稳随机过程才具有各态历经性即各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程则需要满足一定的条件才是各态历经的。

例3.1第十二页，共五十二页，2022年，8月28日平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1、自相关函数平稳随机过程的自相关函数和时间t无关，而只与时间间隔τ有关，即

R(τ)＝E{ξ(t)ξ(t+τ)}(3.2-8)2、自相关函数的性质设ξ(t)为实平稳随机过程R(0)=E[ξ2(t)]=s（3.2-9）

R(0)为ξ(t)的均方值(ξ(t)的平均功率)。

自相关函数在τ=0处的数值等于该过程的平均功率(包括直流功率和交流功率)。

对偶性R(τ)=R(-τ)

自相关函数R(τ)是τ的偶函数证明：第十三页，共五十二页，2022年，8月28日|R(τ)|≤R(0)

当τ＝0时,自相关函数取最大值证明:R(∞)=E2[ξ

(t)]（3.2-10）

R(∞)是ξ(t)的直流功率，在时间间隔很大的时候,可将二者看成是相互独立的。

R(0)-R(∞)=σ2

方差，ξ(t)的交流功率R(τ)R(0)R(0)-R(∞)R(∞)τ利用R(τ)的图形就可以求出该过程的各种成份的功率(直流功率,交流功率,总功率)第十四页，共五十二页，2022年，8月28日3、功率谱密度概念：从频率的角度描述ξ(t)的统计规律的最主要的数字特征。它的物理意义表示ξ(t)的平均功率关于频率的分布。设ξ(t)一次实现的截断函数为ξT(t)，ξT(t)的付氏变换为FT(ω)，则该样本函数的功率谱为整个随机过程的平均功率谱为该随机过程的平均功率为

T→∞|FT(ω)|2

TPξT(ω)=lim(3.2-14)第十五页，共五十二页，2022年，8月28日平稳过程的自相关函数与其功率谱之间为傅立叶变换关系。根据上述关系式及自相关函数的性质，推演功率谱密度的性质：对功率谱密度进行积分,可以得到平稳过程的总功率;各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度;功率谱密度具有非负性和实偶性.Pξ（ω）＞＝0，非负性Pξ（-ω）＝Pξ（ω），偶函数单边功率谱密度：Pξ1（ω）＝2Pξ（ω）

ω〉=0Pξ(ω)R(τ)例3.2第十六页，共五十二页，2022年，8月28日（3.3-1）

3.3高斯过程1、高斯分布定义（又称正态随机过程）若随机过程ξ(t)的任意n维概率密度函数都服从正态分布，则称它为高斯过程。其中:

第十七页，共五十二页，2022年，8月28日2、一维概率密度函数和分布函数

α均值，σ2方差（3.3-2）第十八页，共五十二页，2022年，8月28日αxf(x)f(x)对称与x=α直线，即f(α+x)=f(α-x)f(x)在内单调上升，在内单调下降，且在点α处达到极大值。且有α表示分布中心,

σ表示偏离程度.对不同的α，表现为f(x)的图形左右平移；对不同的σ，f(x)的图形将随σ的减小而变高和变窄。另外,当a＝0,σ＝1时,则称为标准高斯(正态)分布.第十九页，共五十二页，2022年，8月28日3、误差函数(互补误差函数)与概率分布函数的关系

N(0,1/2)误差函数的定义：它是自变量的递增函数：erf(0)=0,erf(∞)=1,且erf(-x)=-erf(x)互补误差函数的定义：它是自变量的递减函数：erfc(0)=1,erfc(∞)=0,且erfc(-x)=2-erfc(x)当x>>1时，有（3.3-3）

（3.3-4）

第二十页，共五十二页，2022年，8月28日对式（3.3-2)进行变量代换，令新的积分变量为则，并利用式（3.3-3)和(3.3-4)，则分布函数可表示为：4.概率积分函数x≤α时：x≥α时：第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日3、重要性质高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。高斯过程若是广义平稳随机过程，则又是狭义平稳随机过程；若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是相互独立的；若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯过程；高斯过程经过线形变换后的过程仍是高斯过程。第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日3.4随机过程通过线形系统一、一般分析(经典系统分析的回顾)

1、时域(考虑到物理可实现性)

确定性信号经过线性系统（如图3.4-1所示）的输出为

2、频域

3.谱密度之间的关系3.4-1（3.4-1）（3.4-2）（3.4-3）第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日3.4随机过程通过线形系统二、输入是平稳随机过程

如图3.4-2所示，随机过程经过线性系统的过程中，这里只能理解成对随机过程的一个样本函数积分，而不是对随机过程积分。在此，需要解决两个问题：

a、输入平稳.输出平稳否?

b、输入、输出功率谱密度之间的关系。

首先解决第一个问题。

条件假设：ξi(t)平稳，E[ξi(t)]为已知，h(t)为已知,

问题：ξo(t)平稳否。

思路：首先判定ξo(t)是否广义平稳:

3.4-2（3.4-4）第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日3.4随机过程通过线形系统假定输入ξi(t)是平稳随机信号，现在来分析系统的输出过程ξ0(t)的统计特性。1、ξ0(t)的数学期望E[ξ0(t)]E[ξ0(t)]=E[ξi(t)]·H（0）2、ξ0(t)的相关函数R0（t1,t1+τ)

R0（t1,t1+τ)=Ri(τ)*h(τ)*h(-τ)=R0（τ)结论：

平稳随机过程经线性系统传输后,输出仍然为平稳随机过程。

推论：(1)输入是各态历经的随机过程,输出也是各态历经的随机过程。

(2)输入是高斯过程,输出也是高斯过程,只是均值和方差发生了变化。

第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日3、功率谱密度Pξ0(ω)=F[R0（τ）]Pξ0(ω)=Pξi(ω)·|H(ω)|2平稳随机过程通过线性系统，输出过程是平稳过程，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pξi(ω)与|H(ω)|2的乘积。4、输出过程ξ0(t)的分布如果线性系统输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。例3.3例3.4第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日3.5窄带随机过程一、引言

1.必要性2.窄带条件

在通信系统中，许多实际信号和噪声都满足“窄带”的假设，其频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率离开零频率又相当远。-fcfcΔfΔf0fPs(f)s(t)频率近似为fc缓慢变化的包络α(t)Δf<<fc本节主要内容：

*窄带随机过程的表示方式*窄带过程的统计特性第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日二、窄带过程的数学表示

1、用包络和相位的变化表示

(3.5-1)

其中：aξ(t)是窄带随机过程包络函数；

ψξ(t)是窄带随机过程的随机相位函数。

二者均为随机过程。

包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来，只能理解。

第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日2、用同相分量和正交分量表示由公式（3.5-1）演变而来

其中:思考题：如果随机过程的ξc(t)与ξs(t)为已知，那么怎样确定它的包络和相位呢？(即由第二种表达方式确定第一种表达方式)同相分量正交分量第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日三、窄带过程的统计特性

1、ξc(t),ξs(t)的统计特性需要解决的问题:

*ξ(t)与ξc(t)、ξs(t)的数学期望;

*ξc(t)、ξs(t)的自相关函数、互相关函数及它们之间的关系；

*ξc(t)、ξs(t)各自的概率密度函数及联合概率密度函数；讨论这几个问题是有条件的，即窄带过程ξ(t)是平稳的，且是均值为0的高斯过程(即窄带高斯过程)。1）、数学期望第三十页，共五十二页，2022年，8月28日2）、自相关函数（3.4-7）（3.4-6）第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日3.5-10根据互相关函数的性质，应有将（3.5-10)带入上式：令同理ξ(t)和ξc(t),ξs(t)的关系：(1)具有相同的概率密度函数；

(2)ξc(t)与ξs(t)互不相关，若为高斯过程则统计独立；

(3)具有相同的平均功率(均方值)。3.5-9结论：

（1）均值为零的窄带高斯平稳过程ξ(t)，ξc(t)、ξs(t)是高斯平稳随机过程。

（2）同一时刻的ξc(t)与ξs(t)是不相关的，即统计独立。第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日2.ξc(t)与ξs(t)的联合概率密度函数(3.5-11)3.aξ(t)与φξ(t)的统计特性重点分析:aξ(t)与φξ(t)的联合概率密度函数,及aξ(t)与φξ(t)各自的概率密度函数。同相分量正交分量第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日利用概率论中边际分布知识：≥0αξ(t)服从瑞利分布；ψξ服从均匀分布第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日结论一个均值为零、方差为σ2的平稳高斯窄带随机过程：其包络αξ(t)的一维分布服从瑞利分布；Ψξ（t)的一维服从均匀分布αξ(t)与Ψξ（t)统计独立它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，且均值为零，方差相同

第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日3.6正弦波加窄带高斯过程本节主要内容：

1、讨论正弦波＋窄带高斯过程的表达方式

a.同相、正交

b.包络、相位

2、讨论它们各自的概率密度函数及联合概率密度函数

重点掌握:包络的概率密度函数f(z/θ)；同相分量,正交分量的概率密度函数。第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日3.6正弦波加窄带高斯过程一、用同相分量，正交分量描述

设信号：窄带高斯噪声：

混合信号：r(t)=Acos(ωct+θ)+n(t)=Acos(ωct+θ)+x(t)cos(ωct)-y(t)sin(ωct)=Acosωctcosθ-Asinωctsinθ+x(t)cos(ωct)-y(t)sin(ωct)=[Acosθ+x(t)]cos(ωct)–[Asinθ+y(t)]sin(ωct)其中同相分量：

3.6-3正交分量：3.6-13.6-23.6-43.6-5第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日对于窄带高斯过程来说，同相分量和正交分量是不相关的，或者也可以说是统计独立的，而对于正弦波+窄带高斯过程来说,它仍然属于窄带的范畴，所以其同相分量和正交分量也是相互独立的，而且也是高斯过程。对于同相分量:

由此可得同相分量Zc(t)的概率密度函数同理正交分量Zs(t)的概率密度函数3.6-63.6-73.6-93.6-83.6-10第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日所以在相位θ给定的情况下，Zc与Zs的联合概率密度函数为:

二、用包络和相位描述

目的：由f(Zc,Zs/θ)推导出f(Z,φ/θ)及f(Z)、f(φ/θ)。

正弦波+窄带高斯过程的合成波形用包络与相位表示如下：

3.6-123.6-13第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日包络的概率密度函数其中引入了０阶修正贝塞尔函数：

3.6-14公式（3.6-14）的分布叫做广义瑞利分布或莱斯（Rice）分布。

可知:

(1)如果A＝0，则Rice分布就成了瑞利分布。

(2)若A>3σ时，Rice分布近似于高斯分布。

这两种分布图形如图所示。第四十页，共五十二页，2022年，8月28日包络

相位同理还可以求出相位的pdf

令信噪比

当r>>1时,上式中的第一项为0，所以

用途：接收多相调相信号时推导误码率公式，用该结论。第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日应掌握的内容：1.高斯过程(定义,相互独立时的pdf)

2.窄带高斯过程

1)窄带条件;

2)表示方式(两种);

3)统计特性，即f(ξc,ξs)，f(ξc)，f(ξs)，f(aξ)，f(φξ)；ξc(t),ξs(t)与ξ(t)的关系;

3.正弦波加窄带高斯过程,要求同窄带,重点掌握f(z)服从Rice分布;

4.瑞利,莱斯,高斯分布的关系。

第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日3.7高斯白噪声和带限白噪声1、白噪声概念:功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声。2、自相关函数

功率谱密度为Pξ(ω)=n0/2；n0是一个常数，单位：W/Hz自相关函数R(τ)=n0/2δ(τ)τR(τ)0Pξ(ω)ω物理意义：表明该随机过程上任何两个随机变量之间都是不相关的，只有当τ＝0时例外。

高斯白噪声概念：满足以下两个条件的噪声称为高斯白噪声：

(1)Pn(ω)＝n0/2

(2)服从高斯分布。

本节主要内容：

*介绍白噪声的功率谱密度，自相关函数，及一个特例--带限白噪声的自相关函数和功率谱密度。第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日Pξ(f)ff0-f0τR(τ)0-1/2f01/2f03、带限白噪声白噪声被限制在（-f0,f0)之内，即在该频率区上有Pξ(ω)=n0/2,而在该区间外Pξ(ω)=0，这样的白噪声称为带限白噪声。常见的限带白噪声有两种：

a.理想低通型白噪声

b.理想带通型