线性代数课件行列式的概念和性质详解

线性代数课件行列式的概念和性质详解演示文稿当前1页，总共27页。（优选）线性代数课件行列式的概念和性质当前2页，总共27页。1、概念2、性质§3.1行列式的概念和性质当前3页，总共27页。一、概念

对任一n阶矩阵用式子或用大写字母

D

表示,常把上述表达式称为

A的行列式

(determinant),记作detA

表示一个与

A相联系的数，而把相联系的那个数称为行列式的值.今后，称上述具有n

行n

列的表达式为n

阶行列式.当前4页，总共27页。定义把删去第i行及第j列后所得的(n–1)阶子矩阵称为对应于元aij

的余子矩阵，并以Sij

记之.

对一n阶矩阵对

n=2,3,…,用以下公式递归地定义

n阶行列式之值：def定义一阶矩阵[a11

]的行列式之值定义为数a11

，即det[a11

]defa11当前5页，总共27页。例设def，计算该行列式的值解

因有

S11=[a22],S12=[a21],

故—+当前6页，总共27页。例设,计算detA

的值.解def当前7页，总共27页。若写出计算3阶行列式值的公式为当前8页，总共27页。以下表的形式记3阶行列式值的计算公式

说明

三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.

结论

n阶行列式的值是

n！个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行列式不同行又不同列的n个元之乘积.当前9页，总共27页。定义

对

n阶行列式detA，称detSij

为元

aij的余子式

,称为元

aij的代数余子式.例如当前10页，总共27页。根据该定义，可重新表达行列式的值def其中

A1k

是元

a1k对A或detA

的代数余子式.相当于把行列式按第一行展开注行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子式.当前11页，总共27页。性质1行列式与它的转置行列式相等.说明

行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.2、性质定理

对n阶矩阵

A，有行列式的值也可按第1列展开计算.当前12页，总共27页。例如推论

若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.性质2

互换行列式的两行(列),行列式值反号.

性质3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,

等于用数

k

乘此行列式.当前13页，总共27页。请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用乘以此行列式.思考推论

对

n阶矩阵A

，有

推论

行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．证当前14页，总共27页。推论一行(或列)元素全为0的行列式值等于零．性质4若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和则D等于下列两个行列式之和例如当前15页，总共27页。性质5把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．例如

行列式等值变形法则当前16页，总共27页。定理

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或表达为若行列式按列展开，有定理

行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即行列式的展开定理当前17页，总共27页。证将行列式按第i行展开,有如果将行列式中的aij换成akj，那么自然有当前18页，总共27页。行列式含有两个相同的行,值为0.综上所述,得公式当前19页，总共27页。注

在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的．

利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算：方法

计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.当前20页，总共27页。例

计算行列式解当前21页，总共27页。定理

设

L是有如下分块形式的(n+p)阶矩阵其中

A是

n阶矩阵，

B是

p阶矩阵，则有在A、B是方阵时也成立定理

若A、B是两个同阶矩阵，则注意

公式中C的元之具体值对结果无影响.当前22页，总共27页。例设

证明

当前23页，总共27页。证明对作运算，把化为下三角形行列式设为对作运算，把化为下三角形行列式设为当前24页，总共27页。证明：对作运算，把化为下三角形行列式对D的前k行作运算，则当前25页，总共27页。对作运算，把化为下三角形行列式对D的