2023年首发江西省吉安市樟山中学届九年级中考最后一模数学试题

第[首发]江西省吉安市樟山中学202x届九年级中考最后一模数学试题

[首发]江西省吉安市樟山中学202x届九年级中考最后一模数学试题

一、选择题

1.（202x?鼓楼区二模）图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）

A．B．C．D．

答案B解析

试题分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解：由图中阴影部分的位置，首先可以排除C、D，

又阴影部分正方形在左，三角形在右，而且相邻，故只有选项B符合题意．故选：B．

点评：此题主要考查了几何体的展开图，本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．

2.如图，菱形ABCD放置在直线l上（AB与直线l重合），AB=4，∠DAB=60°，将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为（）.

A．B．C．D．

答案A.解析

试题分析：如图，从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止，点A运动经过的路径的长度为图中弧线长．由题意可知，∠DOA2=120°，DO=，所以点A运动经过的路径的长度=2×故选：A．

+

=

.

考点：轨迹；菱形的性质．二、解答题

1.如图1，A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．甲是一名游泳运动健将，乙是一名游泳爱好者，甲在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙在赛道A2B2上以2m/s的速度从B2处出发，到达A2后以相同的速度回到B2处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两人同时出发，设离开池边B1B2的距离为y（m），运动时间为t（s），甲游动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．

（1）赛道的长度是m，甲的速度是m/s；（2）经过多少秒时，甲、乙两人第二次相遇？

（3）若从甲、乙两人同时开始出发到2分钟为止，甲、乙共相遇了次．2分钟时，乙距池边B1B2的距离为多少米．答案（1）50，2．5；（2）解析

试题分析：（1）由函数图象可以直接得出赛道的长度为50米，由路程÷时间=速度就可以求出甲的速度．

（2）设经过x秒时，甲、乙两人第二次相遇，根据甲游过的路程+乙游过的路程=150米建立方程求出其解即可；

（3）分别求出相遇一次的时间就可以求出相遇次数，再由速度与时间的关系就可以求出结论．

；（3）5，40米．

试题解析：（1）由图象，得赛道的长度是：50米，甲的速度是：50÷20=2．5m/s．

（2）设经过x秒时，甲、乙两人第二次相遇，由题意，得2．5x+2x=150，解得：x=

；

，

（3）由题意可以得出第一次相遇的时间为：第二次相遇的时间为：第三次相遇的时间为：第四次相遇的时间为：第五次相遇的时间为：第六次相遇的时间为：∴甲、乙共相遇5次．

，，，，＞120s，

2分钟时，乙距池边B1B2的距离为：2×（120-100）=40米．考点：一次函数的应用．

2.太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）答案1.9米解析

试题分析：在直角三角形BCD中，由BC与sinB的值，利用锐角三角函数定义求出CD的长，在直角三角形ACD中，由∠ACD度数，以及CD的长，利用锐角三角函数定义求出AD的长即可．

试题解析：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=，∴CD=BC?sinB=10×0.59=5.9，

∵在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°，∴∠ACD=∠BCD﹣∠ACB=54°﹣36°=18°，∴在Rt△ACD中，tan∠ACD=

，∴AD=CD?tan∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米），

则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．考点：解直角三角形的应用

3.如图，已知直线y＝mx＋n与反比例函数

交于A、B两点，点A在点B的左边，与x轴、

y轴分别交于点C、点D，AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F(1)若m＝k，n＝0，求A、B两点的坐标(用m表示)

(2)如图1，若A(x1，y1)、B(x2，y2)，写出y1＋y2与n的大小关系，并证明(3)如图2，M、N分别为反比例函数

图象上的点，AM∥BN∥x轴．若

，且

AM、BN之间的距离为5，则k－b＝_____________

答案（1）A(－1，m)、B(1，m)；（2）y1＋y2＝n，证明见解析；（3）k－b＝3

解析试题分析：(1)、根据反比例函数和一次函数的交点坐标的求法得出两点的坐标；(2)、首先联立方程组，得出m)，则BN＝

和

的值，然后得出

的值；(3)、设N(

，m)、B(

，

设A(，n)、M(，n)，则AM＝，根据题意得出m-n=5，然后代入

得出答案.

试题解析：(1)A(－1，m)、B(1，m)(2)联立

，整理得mx＋nx－k＝0∴x1＋x2＝

2

，x1x2＝

∴y1＋y2＝m(x1＋x2)＋2n＝－n＋2n＝n(3)设N(

，m)、B(

，m)，则BN＝

设A(，n)、M(，n)，则AM＝

∵∴∵AM、BN之间的距离为5∴m－n＝5

∴k－b＝(m－n)＝3

4.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．（1）求证：AC是⊙E的切线；

（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE

＝．

答案（1）证明见解析；（2）①⊙E的半径为20；②IE＝

解析试题分析：(1)利用三角形相似证得∠EDC＝∠A＝90°,即可得到结论;(2)①根据△BHE∽△EDC得到

,就能求出⊙E的半径;

②根据相似求得BC=45,AB=36,r=9,过I作IH⊥BC,在三角形IEH中，根据勾股定理即可求得IE=

.试题解析：（1）证明：∵CD·BC＝AC·CE∴

∵∠DCE＝∠ACB．∴△CDE∽△CAB∴∠EDC＝∠A＝90°∴ED⊥AC

又∵点D在⊙O上，∴AC与⊙E相切于点D．

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，

∴BH＝FH．

在四边形AHED中，∠AHE＝∠A＝∠ADE＝90°，∴四边形AHED为矩形，∴ED＝HA，ED∥AB，∴∠B＝∠DEC．

设⊙O的半径为r，则EB＝ED＝EG＝r，∴BH＝FH＝r－4，EC＝r＋5．在△BHE和△EDC中，

∵∠B＝∠DEC，∠BHE＝∠EDC，∴△BHE∽△EDC．∴∴r＝20．即⊙E的半径为20（3）

（2）

，即

．

5.计算与解分式方程：（1）答案(1)

；(2)x=\经检验是原方程的解

解析试题分析：（1）原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：(1)原式=2×

2

?1?2

2

+2=1?；

(2)去分母得：x?2x?3?2x?6=x?9，解得：x=0，

经检验x=0是分式方程的解。

6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长至点F，

使EF＝DE，连接AF，DC．求证：四边形ADCF是菱形．

答案证明见解析.

解析试题分析：先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DE是△ABC的中位线，得出DE∥BC，证出AC⊥DF，即可得出结论.

试题解析：证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE．∵EF＝DE，

∴四边形ADCF是平行四边形．∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC．∴∠AED＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，

∴∠AED＝90°，即AC⊥DF．∴□ADCF是菱形．

7.在正方形网格中，我们把，每个小正方形的顶点叫做格点，连接任意两个格点的线段叫网格线段，以网格线段为边组成的图形叫做格点图形，在下列如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．

（1）请你在图1中画一个格点图形，且该图形是边长为的菱形；

（2）请你在图2中用网格线段将其切割成若干个三角形和正方形，拼接成一个与其面积相等的正方形，并在图3中画出该格点正方形．答案（1）画图见解析；（2）画图见解析；

解析试题分析：（1）直接利用菱形的性质结合其面积得出答案；（2）利用正方形的性质结合正方形面积求法得出答案．

试题解析：（1）如图1所示：四边形即为菱形；

（2）如图2，3所示：即为所求答案．

8.甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率；

（2）请利用若干个除颜色外其余都相同的乒乓球，设计一个摸球的实验（至少摸两次），并根据该实验写出一个发生概率与（1）所求概率相同的事件．答案（1）列表见解析，恰好选中甲、乙两位同学的概率为；（2）设计的方案见解析.

解析试题分析：（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率；（2）根据题意设计合理的方法即可．

试题解析：（1）从中选出两位同学打第一场比赛所有可能出现的结果有：

共有12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好选中甲、乙两位同学”（记为事件A）的结果有2种，所以P(A)＝

＝．

（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．

法一：在不透明的袋中，放入2个红色1个白色3个乒乓球，它们除颜色外都一样，摇匀．第一次摸出1个球，不放回；第二次摸出1个球记下颜色，放回；第3次摸出1个球．则三次摸出的球都是红色球的概率．

法二：在不透明的袋子中，放入四个除颜色外完全一样的乒乓球，它们的颜色分别为红、黄、蓝、黑，摇匀．第一次摸出一个球后，不放回；再从袋中摸出一个球．则两次摸出的球是一红一黄的概率．

法三：在不透明的袋子中，放入2个红色2个白色共4个乒乓球．它们除颜色外都一样，摇匀．连续摸2次不放回，则两次摸到的球都是红色球的概率．

法四：在不透明的袋子中，放入编号为1、2、3、4、5、6的6个乒乓球，它们除

编号外其它都一样，摇匀．第一次摸出1个球记下颜色后放回；第二次摸出1个球.则两次摸出颜色相同的球的概率．

9.如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．

（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．

（2）引申：如果∠C90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是

________．

答案（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.

解析试题分析：（1）因为AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，从而△ABC与△DFC的面积相等；

（2）延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因为S△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，所以S△ABC=S△DFC；

（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3××3×4=18．试题解析：（1）证明：在△ABC与△DFC中，∵

，

∴△ABC≌△DFC．

∴△ABC与△DFC的面积相等；（2）解：成立．理由如下：

如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，

∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴

，

△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．

又∵S△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，∴S△ABC=S△DFC；

（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3××3×4=18．考点：四边形综合题．

10.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）求出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请求出△PDE周长最小时“好点”的

坐标，并直接写出所有“好点”的个数．

答案（1）抛物线的解析式为：y=﹣+8；

（2）正确，理由见解析；

（3）共有11个好点，P坐标为（﹣4，6）．

解析试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先表示出P，F

点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；（3）根据题意当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，进而得出P点坐标以及利用△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案．

（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（﹣8，0），设抛物线解析式为：y=ax+c，则

，

2

解得：

故抛物线的解析式为：y=﹣（2）正确，

+8；

理由：设P（a，∵D（0，6），∴PD=

+8），则F（a，8），

，

，

PF=8﹣（+8）=

∴PD﹣PF=2；

（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，

∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为﹣4，

将x=﹣4代入y=+8，得y=6，

∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”，∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为：（﹣4，6），由（2）得：P（a，

+8），

∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），∴设直线DE的解析式为：y=kx+b，则

，

解得：

∴直线DE的解析式为：y=x+6，设FP与直线DE交于点N则PN=

+8﹣a﹣6，

+8﹣a﹣6）

∴S△PDE=×4×（==

∵﹣8≤a≤0，∴4≤S△PDE≤13，

﹣3a+4

，

∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，

所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个。

综上所述：共有11个好点，P（﹣4，6）．

点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形面积的计算，解决本题的关键是理由条件表示点的坐标。解决这类问题关键是善于将函数问题

转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.三、判断题

1.某学校为了解本校2400名学生对某次足球赛的关注程度，以利于做好教育和引导工作，随机抽取了本校内的六、七、八、九四个年级部分学生进行调查，按“各年级被抽取人数”与“关注程度”，分别绘制了条形统计图(图①)、扇形统计图(图②)和折线统计图(图③)．

(1)本次共随机抽查了________名学生，根据信息补全图①中条形统计图，图②中八年级所对应扇形的圆心角的度数为________；

(2)如果把“特别关注”“一般关注”“偶尔关注”都看成关注，那么全校关注足球赛的学生大约有多少名？

(3)①根据上面的统计结果，谈谈你对该校学生对足球关注的现状的看法及建议；②如果要了解中小学生对校园足球的关注情况，你认为应该如何进行抽样？答案(1)200；补全如图；144°；（2）1320人；（3）答案见解析.解析（1）200；补全如图；144°（每空1分）

（2）根据题意得：关注的学生所占的百分比为×100%＝55%，

所以全校关注足球赛的学生大约有2400×55%＝1320（人）．

（3）①根据以上结果可得出：只有55%的学生关注足球赛，有45%的学生不关注，可以看出仍有部分学生忽略了对足球赛的关注，希望学校做好教育与引导工作，加大对足球进校园的宣传力度，让校园足球得到更多的关注和支持，推动校园足球的发展．

②考虑到样本具有的随机性、代表性、广泛性，如果要了解中小学生对校园足球的关注的情况，抽样时应针对不同的年级、不同性别、不同年龄段的学生进行随机抽样．四、填空题1.满足不等式组

的整数解为_________．

答案－2解析解不等式组得

,

所以不等式组的整数解为x=-2.故填-2.2.函数答案

自变量的取值范围是_________．

解析根据题意得：x?1?0，解得，x?1，故答案为：x?1.

3.请写出一个经过第一、二、三象限，并且与y轴交与点（0,1）的直线表达式____________．答案y=x+1

解析试题分析：由一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴交于点（0，1）得到b=1，再根据一次函数的性质由一次函数y=kx+b（k≠0）经过第一、三象限，则k＞0，可取k=1，然后写出满足条件的一次函数解析式即可．考点：一次函数的性质

4.如图，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，且量得CD＝12mm，则零件的厚度x=____________mm．

答案3.解析

试题分析：要求零件的厚度，由题可知只需求出AB即可．因为CD和AB平行，可得△AOB∽△COD，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答：∵两条尺长AC和BD相等，OC=OD，∴OA=OB.∵OC：OA=1：2，∴OD：OB=OC：OA=1：2.

∵∠COD=∠AOB，∴△AOB∽△COD．∴CD：AB=OC：OA=1：2.

∵CD=12mm，∴AB=24mm∴2x+24=30。∴x=3mm．

考点：相似三角形的应用．

5.将一张半径为4的圆形纸片（如图①）连续对折两次后展开得折痕AB、CD，且AB⊥CD，垂足为M（如图②），之后将纸片如图③翻折，使点B与点M重合，折痕EF与AB相交于点N，连接AE、AF（如图④），则△AEF的面积是__________．

答案解析

.

试题分析：如图，连接EM，

由折叠的性质和垂径定理，知MN=MB=2，MN⊥EF且EN=NF.∴AN=6.在Rt△EMN中，根据勾股定理，得EN=∴

.

，∴EF=

.

考点：1.折叠问题；2.垂径定理；3.勾股定理.

6.若D点坐标(4，3)，点P是x轴正半轴上的动点，点Q是反比例函数动点，若△PDQ为等腰直角三角形，则点P的坐标是________．答案

解析∵3×4=12，∴点D在反比例y=

(x>0)图象上，

图象上的

当QP=QD,∠PQD=90°，如图1，作QA⊥x轴于A，DH⊥x轴与H，QB⊥DH于B，

易证得△QPA≌△QDB，则BQ=QA，设Q点坐标为(x,∴QA=∴

)，

，BQ=x?4，

=x?4,解得x=6(x=2舍去)，

∴Q点坐标为(6,2)，∴QA=2，PA=BD=3?2=1，∴PQ=∴DP=

PQ=

,，

在Rt△DPH中，DH=3，∴PH=∴OP=5