第二课时 向量的坐标表示

第二课时向量的坐标表示第一页，共二十二页，2022年，8月28日1．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理

定理：如果e1，e2是同一平面内的两个

的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，

一对实数λ1，λ2，使a＝

.

其中，

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线有且只有λ1e1＋λ2e2不共线的向量e1、e2(2)平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的

．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的

．(3)平面向量的坐标表示对于向量a，当它的起点移至原点O时，其终点坐标(x，y)称为向量a的

，记作a＝

．分解正交分解坐标(x，y)第二页，共二十二页，2022年，8月28日2．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)第三页，共二十二页，2022年，8月28日(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量

的坐标减去

的坐标．(3)向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝

⇔

.终点始点x1y2－x2y1＝0λb第四页，共二十二页，2022年，8月28日1．(2010·南京市第九中学高三调研测试)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若(λa＋b)⊥(a－b)，则λ＝________.解析：(λa＋b)·(a－b)＝(λ＋2,2λ＋3)·(－1，－1)＝0.－λ－2－2λ－3＝0，λ＝答案：

第五页，共二十二页，2022年，8月28日2.已知点A（2，3），B（-1，5），且则点C，D的坐标分别是________，________.解析：

∵

＝(－3,2)，设C(x，y)，则由

得：(x－2，y－3)＝(－3,2)，

∴x＝1，y＝，∴C(1，)．同理得D(－7,9)．答案：(1，)(－7,9)第六页，共二十二页，2022年，8月28日1．由平面向量基本定理知，平面内的任一向量都可以用一组基底表示， 基底不同，表示的方法也不同．2．利用基底表示向量，主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行 向量的线性运算．第七页，共二十二页，2022年，8月28日【例1】如右图，

在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，

已知

试用c，d表示

思路点拨：直接用c，d表示

有难度，可换一个角度，

由表示，进而求解：解法一：设

则 ，①b＝

，②将②代入①得a＝

，代入②得b＝c＋第八页，共二十二页，2022年，8月28日解法二：设

.因M，N分别为CD，BC中点，所以

，因而⇒

即

第九页，共二十二页，2022年，8月28日1．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知 有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意 方程思想的运用．2．利用向量的坐标运算解题．主要是根据相等的向量坐标相同这一 原则，通过列方程(组)进行求解．3．利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示 向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数．4．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现 了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几 何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．第十页，共二十二页，2022年，8月28日【例2】已知A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且

， 求点M、N及

的坐标． 思路点拨：由A、B、C三点的坐标易求得

的坐标， 再根据向量坐标的定义就可求出M、N的坐标．第十一页，共二十二页，2022年，8月28日解：∵A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴

＝(1,8)，

＝(6,3)，∴

设M(x，y)，则有

＝(x＋3，y＋4)，∴∴M点的坐标为(0,20)．同理可求得N(9,2)，因此

＝(9，－18)，故所求点M、N的坐标分别为(0,20)、(9,2)，

的坐标为(9，－18)．第十二页，共二十二页，2022年，8月28日1．平面向量a与b(b≠0)共线的充要条件是a＝λb，用坐标表示为： a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0)．2．向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为 点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法．解题时要注意共线向 量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方 程，以便用函数与方程的思想解题．第十三页，共二十二页，2022年，8月28日【例3】向量

＝(k,12)，

＝(4,5)，

＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线．思路点拨：根据向量共线的充要条件，若A、B、C三点共线， 只要 满足

(或

)，就可以列方程求出k的值或利用向量平行的充要条件求出k的值．解：解法一：∵

＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，

＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三点共线，∴

，即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)．∴ 解得k＝11或－2.解法二：接解法一，∵A、B、C三点共线，∴(4－k)(k－5)＝6×(－7)，解得k＝11或－2.第十四页，共二十二页，2022年，8月28日1．向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向量的基 本定理是平面向量坐标表示的基础．2．利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过程大致为： (1)适当选择基底(两个彼此不共线向量)； (2)用基底显示几何问题的条件和结论； (3)利用共线向量的充要条件、向量垂直的充要条件，通过向量的运算解决平行、 垂直、成角和距离的证明和计算等问题．【规律方法总结】第十五页，共二十二页，2022年，8月28日【例4】已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t为正实数，

x＝a＋(t2＋1)b，y＝ (1)若x⊥y，求k的最大值； (2)是否存在k，t，使x∥y？若存在，求出k的取值范围；

若不存在，请说明理由.

第十六页，共二十二页，2022年，8月28日本题最易出错的是向量的坐标运算，如计算向量x，y时，对数与向量的乘积只乘向量的一个坐标；以坐标形式的向量加减运算时，漏掉其中的某个坐标；当向量x，y垂直时数量积的运算错误，向量x，y平行时，向量的坐标之间的关系用错等．如把x∥y的条件是两个向量坐标交叉相乘之差等于零写成交叉之积的和等于零，即： ，其结果是k＝ 这样只要给正数t一个大于的值，就得到一个正数k，其结果就是存在的．

【错因分析】第十七页，共二十二页，2022年，8月28日解：x＝(1,2)＋(t2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)，y＝(1)若x⊥y，则x·y＝0，即

整理得，k＝ ，当且仅当t＝，即t＝1时取等号，∴kmax＝(2)假设存在正实数k，t，使x∥y，则化简得＝0，即t3＋t＋k＝0.(2)因为k、t为正实数，故不存在正数k使上式成立，从而不存在k、t，使x∥y.,【答题模板】第十八页，共二十二页，2022年，8月28日向量的模与数量积．向量的模与数量积之间有关系式|a|2＝a2＝a·a，这是一个简单而重要但又容易用错的地方，由这个关系还可以得到如|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2，|a＋b＋c|＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2c·a等公式，是用向量的数量积解决向量模的重要关系式．在解决与向量模有关的问题时要仔细辨别题目的已知条件，用好向量的模与数量积之间的关系.

【状元笔记】第十九页，共二十二页，2022年，8月28日1．如图，在平行四边形ABCD中，A(1,1)，

＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若=(3,5)，求点C的坐标；(2)当时，求点P的轨迹方程．

分析：(1)可根据两个向量相等，对应的坐标相等求出C的坐标；(2)设出点P的坐标，用坐标表示两个对角线所表示的向量，根据菱形的对角线互相垂直，求出P的轨迹方程．第二十页，共二十二页，2022年，8月28日解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)．∵ =(9,5)，∴(x0-1，y0-1)=(9,5)，∵x0=10，y0=6，即点C的坐标为(10,6)．(2)设点P的坐标为(x，y)，则 =