全等三角形题型归类和解析

./全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形,所以我们要充分的利用它的轴对称性,常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形,二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形,角平分线与垂线构成等腰三角形。如图,在ΔABC中,D是边BC上一点,AD平分∠BAC,在AB上截取AE=AC,连结DE,已知DE=2cm,BD=3cm,求线段BC的长。已知：如图所示,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,判断PM与PN的关系．已知：如图E在△ABC的边AC上,且∠AEB=∠ABC。求证：∠ABE=∠C；若∠BAE的平分线AF交BE于F,FD∥BC交AC于D,设AB=5,AC=8,求DC的长。．5、如图所示,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延长线于M,求证：2∠M=〔∠ACB-∠B6、如图,已知在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE⊥BD于E．若BD平分∠ABC,求证CE=EQ\F<1,2>BD；若D为AC上一动点,∠AED如何变化,若变化,求它的变化范围；若不变,求出它的度数,并说明理由。如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证：AC=AE+CD．二、中点型由中点应产生以下联想：1、想到中线,倍长中线利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线2、已知：如图,中,,于,平分,且于,与相交于点是边的中点,连结与相交于点．〔1求证：；〔2求证：3、如图,△ABC中,D是BC的中点,DE⊥DF,试判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论。4、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EFEEFCDBA多个直角型在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等,而最难找的是锐角相等,所以"同角的余角相等"这个定理就显得非常重要,它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。1、如图,已知:AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．2、如图,已知：AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF．求证：AC=EF．3、如图,∠ABC=90°,AB=BC,BP为一条射线,AD⊥BP,CE⊥PB,若AD=4,EC=2.求DE的长。4、如图,ΔABC的两条高AD、BE相交于H,且AD=BD,试说明下列结论成立的理由。〔1∠DBH=∠DAC；〔2ΔBDH≌ΔADC。如图∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2、5cm,DE=1.7cm,求BE的长如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M．求证：MB=MD,ME=MF当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．如图<1>,已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E试说明:BD=DE+CE.若直线AE绕A点旋转到图<2>位置时<BD<CE>,其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?为什么？若直线AE绕A点旋转到图<3>位置时<BD>CE>,其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果,不需说明.〔4归纳前二个问得出BD、DE、CE关系。用简洁的语言加以说明。四、等边三角形型由于等边三角形是轴对称图形,所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形,另外等边三角形又具有60度和120度的旋转对称性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答,同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质,因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。1、如图,已知为等边三角形,、、分别在边、、上,且也是等边三角形．除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的；你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．2、已知等边三角形ＡＢＣ中,ＢＤ＝ＣＥ,ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ,求∠ＡＰＥ的大小。3、如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由．EEDCBA4、已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上.求证：BE=AD5、已知P是等边△ABC内的一点,的度数为多少？6、已知P是正方形ABCD内的一点,PA∶PB∶PC=1∶2∶3,的度数为多少？.五、等腰三角形型由于等腰三角形是轴对称图形,所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形,另外等腰三角形又具有旋转对称性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答1、如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。AEBMAEBMCF在△ABC中,,AB=AC,在AB边上取点D,在AC延长线上取点E,使CE=BD,连接DE交BC于点F,求证DF=EF.如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系,并给予证明.折叠型２３、如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠<点E、F分别在边AB、CD上>,使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,