第7章有限脉冲响应数字滤波器设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特色线性相位条件关于长度为N的h(n)，传输函数为N1H(ej)h(n)ejnHg()ej()n0Hg()称为幅度特征，()称为相位特征。线性相位是指()是的线性函数，即()，为常数。假如()知足：()0，0是开端相位。严格地说，此时()不拥有线性相位，但以上两种状况都知足群时延是一个常数，即

d()d也称这类状况为线性相位。一般称知足(7.1.3)式是第一类线性相位；知足(7.1.4)式为第二类线性相位。知足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N偶对称，即1)/2h(n)h(Nn1)知足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N1)/2奇对称，即h(n)h(Nn1)N1N1(1)第一类线性相位条件证明H(z)h(n)zn，H(z)h(Nn1)znn0n0令mNn1，则有N1h(m)z(Nm1)z(NN1z(N1)H(z1)H(z)1)h(m)zm，H(z)m0m0依据上式能够将H(z)表示为H(z)1[H(z)z(N1)H(z1)]2N1N11N1)z(h(n)[[znn02

1N1h(n)[znz(N1)n2nz]0nN1]]z2jj(N1)N12H(e)eh(n)cos[(nn0N1N1所以，Hg()h(n)cos[(n)n02()1(N1)2

1)]2]第二类线性相位条件N1N1H(z)h(n)znh(Nn1)znn0n0设m=N-n-1,N1N1H(z)h(m)z(Nm1)z(N1)h(m)zmn0n0H(z)z(N1)H(z1)相同，H(z)1[H(z)z(N1)H(z1)]2N1N11N1z2nh(n)[z2n02

1N1h(n)[zn2n0N1nz2]

z(N1)zn]jjN1N1H(e)H(z)je2h(n)sin[(nzejn0N1j2N1N1ejh(n)sin[(n)]n02所以，幅度函数和相位函数分别为

1)]2N1N1Hg()h(n)sin[n)](2n0()(N1)222.线性相位FIR滤波器幅度特征Hg()的特色1)h(n)h(Nn1),N=奇数N1N1)]Hg()h(n)cos[(nn02Hg()h(N(N3)/2N1)]1)2h(n)cos[(n2n02N1(N1)/2Hg()h()2n0(N1)/2

N12h(m)cosn2Hg()n0a(n)cosna(0)h(N1)2a(n)2h(N1n),n1,2,3,,N1222)h(n)h(Nn1),N为偶数N/2Hg()m1N/2Hg()n1

2h(Nm)cos[(m1)]221b(n)cos[(n)]2b(n)2h(Nn),n1,2,,N)]223)h(n)h(Nn1),N=奇数(N1)/2Hg()c(n)sinnn1c(n)2h(N1n),n1,2,,N1224）h(n)h(Nn1),N=偶数N/2Hg()m1N/2Hg()n1

Nm)sin[(m12h()]22d(n)sin[(n1)]2d(n)2h(Nn),n1,2,3,N223.线性相位FIR滤波器零点散布特色线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有NN11N12H(z)h(n)znh(n)znh(n)znn0m0nN2N1N21h(n)zn21)z(Nm1)H(z)h(Nmn0m0h(n)h(Nn1)N1H(z)2h(n)[znz(Nn1)]n0假如N为奇数(N1)1z(Nn1)]h(NN2H(z)h(n)[zn11)z2n02第一类线性滤波器第二类线性滤波器7.2利用窗函数法设计FIR滤波器设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应。Hd(ej)hd(n)ej，hd(n)1Hd(ej)ejndn2Hd(ej)eja,c0,c1cjajnsin(c(na))hd(n)eed2(na)c为了结构一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即h(n)hd(n)RN(n)H(ej)1Hd(ej)RN(ej()d2此中，Hd(ej)和RN(ej)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，N1N1j1(N1)sin(N/2RN(ej)RN(n)ejnejnjae2sin(RN()en0n0/2)RN()sin(N/2,N1sin(/2)2假如Hd(ej)Hd()ejaHd()1,c0,cH(ej)1Hd()ejaRN()ej()ad2eja1Hd()RN()d2经过以上剖析可知，对hd(n)加矩形窗办理后，H()和原理想低通Hd()的差异有以下两点：(1)在理想特征不连续点c处邻近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()的主瓣宽度，即4/N。通带内增添了颠簸，最大的峰值在

c2/c处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c2/c处。在主瓣邻近，RN()可近似为RN()sin(N/2)Nsinx/2x几种常用的窗函数：1、矩形窗：WR(n)RN(n)W(ej)sin(N/2)eRsin(/2)

1j(N1)2、三角形窗2n,0n1(N1)N12Br(n)22n,1(N1)nN1N12其频次响应为jNsin(N)2j(N1)WBr(e[4]e2)sin(2/2)3、汉宁(Hanning)窗——升余弦窗Hn(n)0.5[1cos(2n)]R(n)N1NjjN12WR(e)FT[RN(n)]WR()eWHn(ej)FT[WHn(n)]{0.5WR()0.25[WR(2)N12)]}eWR(N1

jN1jN12WHn()e2当N很大时，WHn()0.5WR()0.25[WR(2)WR(2)]NN4、哈明(Hamming)窗——改良的升余弦窗Hm(n)[0.540.46cos(2n)]RN(n)N1频域函数WHm(ej)为W(ej)0.54W(ejj(2)j(2))0.23W(eN1)0.23W(eN1)HmRRRWHm()0.54WR(ej)0.23WR(2)0.23WR(2)N1N1当N>>1时，可近似表示为：Bl(n)0.54WR()0.23WR(2)0.23WR(2)NN5、布莱克曼(Blackman)窗Bl(n)[0.420.5cos2n0.08cos4n]RN(n)N1N1其频域函数为j(2)j(2WBl(ej)0.42WR(ej))0.25[WR(eN1)WR(eN1)]j(2)j(2)0.04[WR(eN1)WR(eN1)]其幅度函数为WBl()0.42WR()0.25[WR(22)]N1)WR(N10.04[WR(4)WR(4)]NN116、凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-BaselWindow)I0()，2n2，I0(x)11xk2k(n),0nN11(1)(())I0()N1k1k!2用窗函数设计FIR滤波器的步骤：（1）依据技术要求确立待求滤波器的单位取样响应h(n)；假如给出待求滤波器的频响为dHd(ej)，那么单位取样响应用下式求出：11M122hd(n)Hd(ej)ejd，h(n)Hjkjknd(eM)eM2MMk0依据频次采样定理：hM(n)hd(nrM)r(2)依据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并预计窗口长度N。(3)计算滤波器的单位取样响应h(n)，h(n)hd(n)w(n)验算技术指标能否知足要求。设计出的滤波器频次响应用下式计算N1H(ej)h(n)ejnn0例用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设11,0.2.Ncrad解用理想低通作为迫近滤波器，hd(n)sin(c(n))n，11)5(n),010(N2hd(n)sin(0.2(n5))n10(n5),0用汉宁窗设计h(n)hd(n)Hn(n),0n10，Hn(n)0.5(1cos2n)10用布莱克曼窗设计h(n)hd(n)Bl(n)Bl(n)(0.420.5cos2n0.08cos2n)R11(n)10107.3利用频次采样法设计FIR滤波器：一定利用计算机进行办理运算1、IIR与FIR数字滤波器的比较IIR滤波器存在着输出对输入的反应，所以能够用比FIR滤波器少的阶数来知足技术指标，这样，IIR滤波器所用的储存单元和所需的运算次数都比FIR滤波器少。比如用频次抽样法设计阻带衰减为－20dB的FIR滤波器，其阶数要33阶才能达到要求，而假如用双线性变换法设计一个切比雪夫IIR滤波器，只要4-5阶就能够达到相同的指标，所以FIR滤波器的阶数要高5－10倍。FIR滤波器可获得严格的线性相位，而IIR滤波器则做不到这一点。IIR滤波器的选频特征越好，则相位的非线性就越严重。假如要求IIR滤波器拥有线性相位，同时又要求它满足幅度要求，那么就一定用一个全通网络进行相位校订，这必定会大大增添滤波器的节数和复杂性。所以在需要严格线性相位的状况下应当选择FIR滤波器。IIR滤波器一定采纳递归纳构实现，只有当全部极点都在单位圆内时滤波器才是稳固的。但实质中因为存在有限字长效应，滤波器有可能变得不稳固。而FIR滤波器主要采纳非递归纳构，因此从理论上以及从实质的有限精度的运算中，都是稳固的。此外，FIR滤波器可以采纳迅速傅立叶变换（FFT）来实现，在相同阶数下，运算速度能够快得多。IIR滤波器可利用模拟滤波器现成的设计公式、数据和表格，因此计算工