第二章守恒定律

第二章守恒定律第一页，共七十六页，2022年，8月28日目录2-1功动能定理2-2保守力势能2-3机械能守恒定律能量守恒定律2-4动量定理动量守恒定律*2-5质心质心运动定理2-6质点的角动量和角定量守恒定律*2-7对称性与守恒定律第二页，共七十六页，2022年，8月28日三个定律牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第三定律三个定理动量定理角动量定理动能定理三个守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律机械能守恒定律守恒量：对于物体系统内发生的各种过程，如果某物理量始终保持不变，则称其为守恒量。第三页，共七十六页，2022年，8月28日力的瞬时效应：牛顿第一、第二、第三定律与力的累积效应（空间累积、时间累积）相关的三个定理：动量定理、动能定理、角动量定理特殊情况下就有：动量守恒定律、机械能守恒定律、角动量守恒定律守恒量：对于物体系统内发生的各种过程，如果某物理量始终保持不变，则称其为守恒量。表面上看，能量、动量和角动量三个定律仅是牛顿第二定律的数学变形，但是实际上它们是更为基本的物理量，它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的意义。第四页，共七十六页，2022年，8月28日空间累积效应时间累积效应瞬时效应第五页，共七十六页，2022年，8月28日2-1功、动能定理一、功——力的空间积累外力作功是外界对系统过程的一个作用量AB（1）恒力的功（2）变力的功元位移：元功：积分形式微分形式第六页，共七十六页，2022年，8月28日直角坐标系中若质点同时受到几个力的作用，则合力的功等于各分力功之和。单位：焦耳（J）功的其它单位：1eV=1.6×10-19J第七页，共七十六页，2022年，8月28日功率力在单位时间内所作的功瞬时功率等于力与物体速度的标积单位：瓦特W第八页，共七十六页，2022年，8月28日例1作用在质点上的力为在下列情况下求质点从处运动到处该力作的功：1.质点的运动轨道为抛物线2.质点的运动轨道为直线XYO第九页，共七十六页，2022年，8月28日做功与路径有关XYO第十页，共七十六页，2022年，8月28日例题2劲度系数为k，原长为BC的轻质弹簧，一端固定在B点，另一端系一质量为m的物体，在力F的作用下，物体沿着半径为R的光滑圆柱面切向匀速的由C移到D，如图所示，求力F对物体所做的功。解：分析受力，小球在4个力的作用下运动，根据功的定义：切向方向匀速运动切向加速度为零切向作用力平衡第十一页，共七十六页，2022年，8月28日可见，力F的大小随着角度的变化而变化（变力）功的大小与始末的位置有关第十二页，共七十六页，2022年，8月28日ABDrifi二、质点的动能定理功是质点动能变化的量度过程量状态量物体受外力作用运动状态变化末态动能初态动能动能是相对量做功第十三页，共七十六页，2022年，8月28日合力对质点所做的功等于质点动能的增量。质点的动能定理注意：合力做正功时，动能增加，反之，动能减小功是一个过程量；而动能是一个状态量

(物体的动能之所以会发生变化是因为外界对它做了功)动能定理中功和动能都是标量，因此动能的变化只注重物体运动的初始状态，方便分析动能定理只适于惯性系第十四页，共七十六页，2022年，8月28日对质点系：m1m2初速度：外力：内力：末速度：三质点系的动能定理对单一质点有动能定理第十五页，共七十六页，2022年，8月28日两式相加得：外力的功之和＋内力的功之和=系统末动能－系统初动能质点系的动能增量等于作用于同一时间内质点系的一切外力所做的功和一切内力所做的功的代数之和质点系的动能定理第十六页，共七十六页，2022年，8月28日注意：不能先求合力，再求合力的功只能先求每个力的功，再对这些功求和内力虽然是成对出现，而且矢量和为零，但是每一个内力对应的位移不一定相同，故内力总功不一定为零例题质量为的车上有一质量为的木箱，车以速度沿水平方向行驶，若车紧急刹车，则经过某段时间后，车与木箱同时静止，且木箱在车上相对于车滑行了距离，已知车与木箱的动摩擦系数为，车与地面的动摩擦系数为，求车滑行的距离。第十七页，共七十六页，2022年，8月28日外力的功之和＋内力的功之和=系统末动能－系统初动能第十八页，共七十六页，2022年，8月28日例2-3物体B的质量为m，弹簧劲度系数为k，A板及弹簧质量忽略不计，求自弹簧原长O处，突然无初速地加上物体B时，弹簧的最大压缩量。题目中的A板质量忽略不计。可以视为不存在。物体受重力P

和支持力N初始动能和末动能都等于0根据动能定理：第十九页，共七十六页，2022年，8月28日如果将重物“缓慢放下”，则最后物体会达成静平衡。第二十页，共七十六页，2022年，8月28日作业：P742-4，5第二十一页，共七十六页，2022年，8月28日一保守力与非保守力某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。典型的保守力：重力、万有引力、弹性力与保守力相对应的是耗散力典型的耗散力：摩擦力2－2保守力势能第二十二页，共七十六页，2022年，8月28日1、重力的功m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.可见，重力是保守力。初态量末态量重力做功只与质点初、末位置有关，而与所经过的路径无关。第二十三页，共七十六页，2022年，8月28日2、万有引力的功两个质点之间在万有引力作用下相对运动时，以M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。可见，万有引力是保守力。rabrdrFMmrdrab第二十四页，共七十六页，2022年，8月28日3、弹力的功可见，弹性力是保守力。弹簧振子初态量末态量第二十五页，共七十六页，2022年，8月28日4、摩擦力的功设一质点在粗糙的水平面上运动，滑动摩擦力的方向始终与质点运动方向相反即摩擦力做功与质点运动的具体路程（路径）相关可见，摩擦力是非保守力。第二十六页，共七十六页，2022年，8月28日保守力：作功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关。例如：重力、弹性力、万有引力。非保守力：作功与路径有关的力。例如：摩擦力、磁力、冲击力。在保守力作用下，物体沿闭合路径运动一周，力所做的功为零。第二十七页，共七十六页，2022年，8月28日二、势能在受保守力的作用下，质点从A-->B，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数，A点的函数值减去B点的函数值，定义为从A-->B保守力所做的功，该函数就是势能函数。AB物体能够对外做功，说明物体具有能量做功和能量应该存在某种关系第二十八页，共七十六页，2022年，8月28日势能（势函数）保守力所作的功等于势能增量的负值第二十九页，共七十六页，2022年，8月28日外力做正功等于相应动能的增加；外力做负功等于相应动能的减少。比较保守力做正功等于相应势能的减少；保守力做负功等于相应势能的增加。势能的值与零点的选择有关重力势能（以地面为零势能点）第三十页，共七十六页，2022年，8月28日引力势能（以无穷远为零势能点）弹性势能（以弹簧原长为零势能点）势能具有相对意义系统的机械能质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。第三十一页，共七十六页，2022年，8月28日注意：1、势能函数是与位置相关的函数；对应于一种保守力的函数就可以引进一种相应的势能函数。2、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，其量值与零势能点的选取有关。3、势能是由保守力和相对位置所决定的，故它是属于整个物体系统所共有的。4、保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。第三十二页，共七十六页，2022年，8月28日三、势能曲线几种典型的势能曲线（d）原子相互作用势能曲线势能曲线:势能随位置变化的曲线hEp（h）O21（a）lEp（l）O（b）rEp（r）OpE（c）r0Ep（r）Or2（d）（a）重力势能曲线（b）弹性势能曲线（c）引力势能曲线第三十三页，共七十六页，2022年，8月28日势能曲线提供的信息1、质点在轨道上任意位置时，质点系所具有的势能值。2、势能曲线上任意一点的斜率的负值，表示质点在该处所受的保守力。3、势能曲线在分子物理、原子物理、核物理、固体物理等领域中有重要的应用。第三十四页，共七十六页，2022年，8月28日2－3机械能守恒定律能量守恒定律一、功能原理回顾：质点系的动能定理机械能E第三十五页，共七十六页，2022年，8月28日外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量------功能原理功能原理根据动能原理推导而来，不同之处在于将保守力所作的功用势能代替（引入势能）系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能保持不变第三十六页，共七十六页，2022年，8月28日例题：如图所示,一雪橇从高度为50m的山顶上点A沿冰道由静止下滑.坡道AB长500m.雪橇在水平冰道继续滑行若干米后停止在C.若雪橇与冰道的动摩擦系数为0.02。求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.A•BC解:坡道上受力分析如图PFNFf以雪橇、冰道、地球为系统，只有非保守内力——摩擦力作功和保守内力——重力做功h由功能原理在A点EP0=mgh,Ek0=0,在C点EP=0,Ek=0第三十七页，共七十六页，2022年，8月28日A非保－摩擦力

在坡道上的功为第三十八页，共七十六页，2022年，8月28日系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能保持不变二、机械能守恒定律机械能守恒定律:如果一个系统中只有保守内力作功，其它内力和一切外力都不作功，则系统的总机械能能保持不变。第三十九页，共七十六页，2022年，8月28日三、能量守恒定律在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各种形式能量之间无论怎样转换，但总的能量将保持不变，这就是能量守恒定律。（能量不能消失也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式）*能量守恒定律是自然界中的普遍规律。不仅适用于物的机械运动、热运动、电磁运动、核子运动等物理运动形式，而且也适用于化学运动、生物运动等运动形式。它体现了运动的守恒。第四十页，共七十六页，2022年，8月28日h解：（1）以小球为研究系统外力：重力、弹性力；内力：无。2.以小球+地球+弹簧为研究系统外力：无；内力：重力、弹性力；是保守力思考题:一弹簧固定于水平桌面上,小球从ｈ高度以初速下落，撞到弹簧后，又反弹回ｈ高，速度仍为试分析(1)以小球为研究系统；(2)以小球+地球+弹簧为研究系统，系统的机械能是否守恒?第四十一页，共七十六页，2022年，8月28日例题1质量为m的小球，如图所示，系在绳的一端，另一端固定在O点，绳长为。若将小球以水平速度从A点抛出，使小球在竖直平面内绕一周。求证：必须满足下列条件：解：以小球、绳、地球为系统，经过分析，机械能守恒（只有重力做功）以A点处为零势能点，则有：使小球能绕平面绕一周的条件？第四十二页，共七十六页，2022年，8月28日在B点：完成圆周运动的条件第四十三页，共七十六页，2022年，8月28日解：取绳索、光滑面、地球为系统，机械能守恒。取AB面为重力势能零点，系统初始状态的机械能为例题2一质量为m的均匀绳索长度为L，t=0时放在光滑面ABC上，绳子在斜面部分长为l，如图所示，求绳索D端滑到B点时的速率。系统末状态的机械能为由机械能守恒：第四十四页，共七十六页，2022年，8月28日例题3一链条总长为L，质量为m。放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌面时的速率是多少？al-a

xO解：(1)建坐标系如图注意：摩擦力作负功！第四十五页，共七十六页，2022年，8月28日(2)对链条应用动能定理：前已得出：第四十六页，共七十六页，2022年，8月28日（力对时间的积累效应）冲量：力和力作用时间的乘积（单位：牛顿·秒(N·s)）动量：质点质量m和速度的乘积单位：千克·米·秒-1(kg·m·s-1)恒力变力在dt时间内的元冲量：在t1至t2时间段内的冲量：2-4动量动量守恒定律第四十七页，共七十六页，2022年，8月28日一、质点的动量定理可得：作用于质点上的合力的冲量等于同一时间内质点动量的增量——质点的动量定理（力对时间的积累效应）第四十八页，共七十六页，2022年，8月28日分量表示式二、质点系的动量定理第i个质点受到的合外力为对第i个质点运用动量定理有：第四十九页，共七十六页，2022年，8月28日因为：三、动量守恒定律在某一时间间隔内，若质点系（系统不受外力作用）或所受外力矢量和为零，则该时间内质点的总动量保持不变。即：动量守恒定律。在一段时间内作用于质点系上的合外力的冲量等于同一时间内质点系动量的增量——质点系的动量定理第五十页，共七十六页，2022年，8月28日注意动量是动力学参量，动量大并不意味速度大；速度描述的是物体的运动状态动量是矢量，是力对时间的积累；动能是标量，是力对空间的积累对质点系而言，若要判断动量是否守恒，只要关注系统所受外力是否为零（或外力与内力相比很小可以忽略不计）；而要判断机械能是否守恒，需要关注所有的力所做的功动量定理只在惯性系中适用第五十一页，共七十六页，2022年，8月28日解：欲求“小球给桌面的平均冲力”，可以根据牛顿第三定律，先求“桌面给小球的作用力”。因桌面光滑，桌面对小球的作用力是沿桌面法线方向。设平均冲力为F。令小球弹起时的速度为v2。小球受力及初、末速度如图所示。根据动量定理，有：v2v1例2-10

一弹性小球，质量m=20g，速率v1=5.0m/s，与光滑的水平桌面碰撞后跳回。设碰撞是完全弹性的，则跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和桌面法线所夹的角都是60。设碰撞时间Δt=0.050s，求小球给桌面的平均冲力。第五十二页，共七十六页，2022年，8月28日(1)矢量作图法求解XY根据牛顿第三定律，小球给桌面的平均冲力的大小

F’＝F＝2.2N，方向与F相反。(2)用分量式求解第五十三页，共七十六页，2022年，8月28日例题

质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。45o30o

nv2v1解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为则有：第五十四页，共七十六页，2022年，8月28日45o30o

nv2v1Oxy取坐标系，将上式投影，有：为平均冲力与x方向的夹角。第五十五页，共七十六页，2022年，8月28日此题也可用矢量法解45o30o

nv2v1Oxyv2v1v1t第五十六页，共七十六页，2022年，8月28日例题2-12如图所示有一冲击摆。两根长度为l的轻绳上端固定，下端悬挂着一个质量比子弹大的多的木块。子弹沿水平方向射入木块后，镶入木块内，木块摆到一定的高度，设子弹的质量为m，木块的质量为M，摆过的角度为θ，求子弹射入时的速度。解：分析运动状态，一阶段以子弹开始射入木块开始到子弹在木块内部不再运动子弹在木块内的运动是由于初动能，克服摩擦力做功机械能守恒？动量守恒？水平方向第五十七页，共七十六页，2022年，8月28日以子弹和木块为一个系统，水平方向用动量守恒定理二阶段：子弹在木块内不再运动开始到子弹和木块一起运动到一定的高度机械能守恒？选择最低点为零势能点第五十八页，共七十六页，2022年，8月28日例题3

如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、人逆车运动方向从车头经t到达车尾。求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；2、车的运动路程；3、若人以变速率运动，上述结论如何？解：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。第五十九页，共七十六页，2022年，8月28日1、2、3、第六十页，共七十六页，2022年，8月28日2-6质点的角动量和角动量守恒定律一、角动量力矩O质点相对O点的矢径与质点的动量的矢积定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用表示。单位：kgm2/s方向：右手螺旋定则判定第六十一页，共七十六页，2022年，8月28日直角坐标系中角动量的分量表示在圆周运动中：PLro力矩单位：牛·米（N·m）设在某时刻质点m对定点O的位矢为，作用在质点上的合力为，则与矢积定义为力对定点O的力矩，用表示：第六十二页，共七十六页，2022年，8月28日O力矩的分量式:对轴的力矩（2）力的作用线与矢径共线（即）力矩为零的情况:（1）力等于零；第六十三页，共七十六页，2022年，8月28日例题一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。解：已知第六十四页，共七十六页，2022年，8月28日二、角动量定理角动量力矩第六十五页，共七十六页，2022年，8月28日质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。表示成积分形式：冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）质点的角动量定理：对同一固定参考点，作用于质点的冲量矩等于同一时间内质点角动量的增量第六十六页，共七十六页，2022年，8月28日例2-16试用角动量定理求质量为m的质点自由下落过程中的加速度。rRmvmg解任取一固定点O为参考点，设某时刻质点自由下落速度为v，位矢为r。`质点m对固定点O的力矩M

和角动量L的大小分别为：M=rmgsin

L=rmvsin由右手螺旋法则确定，M、L的方向均垂纸面向里。由图可知，rsin=R，得：M=Rmg，L=Rmv由可得：Rmg=Rmdv/dtdv/dt=g第六十七页，共七十六页，2022年，8月28日三、角动量守恒定律如果对固定参考点，质点所受的合力矩为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。注意：1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。2、M＝0，可以是r=0,也可以是F=0,还可能是r与F同向或反向，例如有心力情况。第六十八页，共七十六页，2022年，8月28日一内壁光滑的圆环形细管，正绕竖直光滑固定轴自由转动，环半径为R，质量为M的小球静止于管的最高点A处，由于微小扰动，