第二章极限与连续高等数学

第二章极限与连续高等数学第一页，共一百三十四页，2022年，8月28日设函数yn=f(n),其中n为正整数,

那么按自变量n增大的顺序排列的一串数f(1),f(2),f(3),,f(n),,称之为数列,记作{yn

}或数列yn.

…

…简单地说：数列就是定义在正整数集合上的函数一、数列的极限数列第一张幻灯片第二页，共一百三十四页，2022年，8月28日------单调减少------单调增加------有界但不单调例第三页，共一百三十四页，2022年，8月28日前面三个数列当n无限增大时的极限可分别表示为第四页，共一百三十四页，2022年，8月28日显然，数列yn

无限地接近于1，可用数列yn与1之差的绝对值可以任意地小来描述.如果用符号e

表示任意小的正数，那么就可用|yn-1|<e表示.于是数列yn的极限现象可表述为：当n无限变大时，就有|yn-1|<e.一般地，当n无限变大时，数列yn无限接近于一个常数A的极限现象可定义如下：

第五页，共一百三十四页，2022年，8月28日

对任意给定的正数

e，总存在正数N，当n＞N时，恒有

|yn

A|<e

成立，则称数列{yn}当n→∞时以A为极限。定义如果数列有极限，则称该数列是收敛的第六页，共一百三十四页，2022年，8月28日存在一充分大正整数N，当n>N时，点yn都落在点A的

e

邻域内，而不管

e有多么小(如图)，形象一点讲，数列yn会密集在点A的周围.AA-

eA+eyN+1yN+2Ox如果把数列yn中每一项都用数轴Ox上一个点来表示，那么数列yn趋向于A可解释为:数列极限的几何意义第七页，共一百三十四页，2022年，8月28日发散数列：当n→∞时,数列不趋于某个固定常数A，称为发散数列

.第八页，共一百三十四页，2022年，8月28日A∞发散不确定------收敛收敛的数列一定有界返回本章目录第九页，共一百三十四页，2022年，8月28日函数极限第一张幻灯片第十页，共一百三十四页，2022年，8月28日对于任意给定的正数，总存一个正数M，当时，恒有

成立，则称当时，函数以为极限，记作或当时，的极限第十一页，共一百三十四页，2022年，8月28日yx0(1)∵第十二页，共一百三十四页，2022年，8月28日(2)(3)0xyxy0第十三页，共一百三十四页，2022年，8月28日例第十四页，共一百三十四页，2022年，8月28日作直线y=A+e和y=A-e

A+eAA-eNyOx不管它们之间的距离有多么小，当x>N时，曲线y=f(x)一定落在这两条直线之间.的几何意义第十五页，共一百三十四页，2022年，8月28日当x→1时，趋向于什么？当时，函数的极限显然有0xy1f(x)在当x→1时是否有极限与在X=1点处是否有定义无关和第十六页，共一百三十四页，2022年，8月28日定义：如果当x无限接近于x0时，恒有|f(x)-

A|<e

(e是任意小的正数)

则称当自变量x趋于x0时，函数f(x)趋于A，记作

x无限接近x0即为0<|x-x0|<d.（d充分小的正数）第十七页，共一百三十四页，2022年，8月28日A

-e

<

f(x)<A+e．AA+eA-ey=f(x)x0-dx0+dx0yxO

不论它们之间的距离有多么小.只要x进入

是指：当0<|x-

x0|<d时，

恒有|f(x)-

A|<e.即作两条直线：y=A-e

y=A+e

的d邻域内，曲线y=f(x)就会落在这两条直线之间.几何意义第十八页，共一百三十四页，2022年，8月28日当自变量x从不同方向趋于x0时，函数f(x)趋向于A的极限，此时称A是函数f(x)的单侧限。-----------右极限-----------左极限极限存在定理左右极限第十九页，共一百三十四页，2022年，8月28日例1试求函数≤≤解:

函数f(x)在x=0

处左、右极限存在但不相等，所以不存在.第二十页，共一百三十四页，2022年，8月28日

函数f(x)在x=1

处左、右极限存在而且相等，所以有第二十一页，共一百三十四页，2022年，8月28日例2解例

3解第二十二页，共一百三十四页，2022年，8月28日解例

4设函数求第二十三页，共一百三十四页，2022年，8月28日例2,3和4说明了下列几种重要现象：

(1)函数f(x)在x0处极限存在，但函数f(x)在x0处可以没有定义(如例2).

(2)函数f(x)在x0处虽然有定义，且在x0处有极限，但两者不等，

(3)函数f(x)在x0处有定义，也有极限且两者相等.第二十四页，共一百三十四页，2022年，8月28日

若

x→x0(或

x→∞

)时，函数f(

x

)的极限存在,则函数

f(

x

)在

x0的一个空心小邻域内(或|x|充分大范围内)有界.定理第二十五页，共一百三十四页，2022年，8月28日设变量在变化过程中无限地趋于一个常数A，就称该变量以A为极限，记作三、变量的极限变量y若为具体函数，则不能使用通用记号，必须在极限符号下面要写明所研究的变量的自变量的变化过程.

第一张幻灯片第二十六页，共一百三十四页，2022年，8月28日第二十七页，共一百三十四页，2022年，8月28日①②

③

④

返回本章目录第二十八页，共一百三十四页，2022年，8月28日四、无穷小量与无穷大量第一张幻灯片第二十九页，共一百三十四页，2022年，8月28日无穷大量如果，则称变量是在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大。第三十页，共一百三十四页，2022年，8月28日无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小．即，常用等表示。零是唯一可以作为无穷小量的常数第三十一页，共一百三十四页，2022年，8月28日

如果变量以A为极限的充分必要条件是变量可以表示为A与无穷小量之和，即

定理第三十二页，共一百三十四页，2022年，8月28日在相同的变化趋势下有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量（常数与无穷小量之积仍是无穷小量）。②两个无穷小量的代数和仍是无穷小量（可推广）。③两个无穷小量之积仍是无穷小量（可推广）定理第三十三页，共一百三十四页，2022年，8月28日例第三十四页，共一百三十四页，2022年，8月28日

为有界函数，证例第三十五页，共一百三十四页，2022年，8月28日无穷大量与无穷小量的关系在变量的变化过程中，如果是无穷大量，则是无穷小量；是无穷小量，则是无穷大量。①②第三十六页，共一百三十四页，2022年，8月28日无穷小量阶的比较定义：第三十七页，共一百三十四页，2022年，8月28日例第三十八页，共一百三十四页，2022年，8月28日极限的运算法则

定理:在某一变化过程中，若幻灯片1第三十九页，共一百三十四页，2022年，8月28日故由无穷小量的定理可推得

lim(x

y

)=A

B=limx

limy

证第四十页，共一百三十四页，2022年，8月28日(2)因为x

y=(A

a

)(B

b)

=AB(Ab

Ba

a

b)因为Ab,Ba，a

b

均为无穷小量，所以商的极限运算法则的证明从略.lim(x

y

)=AB=limx

limy第四十一页，共一百三十四页，2022年，8月28日推论1

limcy

=climy推论2

第四十二页，共一百三十四页，2022年，8月28日求极限

例第四十三页，共一百三十四页，2022年，8月28日第四十四页，共一百三十四页，2022年，8月28日第四十五页，共一百三十四页，2022年，8月28日第四十六页，共一百三十四页，2022年，8月28日第四十七页，共一百三十四页，2022年，8月28日第四十八页，共一百三十四页，2022年，8月28日m、n为正整数。为常数第四十九页，共一百三十四页，2022年，8月28日

证

第五十页，共一百三十四页，2022年，8月28日求极限

第五十一页，共一百三十四页，2022年，8月28日第五十二页，共一百三十四页，2022年，8月28日第五十三页，共一百三十四页，2022年，8月28日

第五十四页，共一百三十四页，2022年，8月28日

第五十五页，共一百三十四页，2022年，8月28日第五十六页，共一百三十四页，2022年，8月28日例分别讨论当时，的极限是否存在，并求第五十七页，共一百三十四页，2022年，8月28日

第五十八页，共一百三十四页，2022年，8月28日练习第五十九页，共一百三十四页，2022年，8月28日第六十页，共一百三十四页，2022年，8月28日解：

练习即所以当x

1时为无穷大量，第六十一页，共一百三十四页，2022年，8月28日解练习第六十二页，共一百三十四页，2022年，8月28日

解

练习第六十三页，共一百三十四页，2022年，8月28日练习求极限第六十四页，共一百三十四页，2022年，8月28日

（无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量）第六十五页，共一百三十四页，2022年，8月28日例第六十六页，共一百三十四页，2022年，8月28日极限存在准则第六十七页，共一百三十四页，2022年，8月28日在某个变化过程中，三个变量总有关系，且准则1：夹值定理第六十八页，共一百三十四页，2022年，8月28日证明证明：第六十九页，共一百三十四页，2022年，8月28日准则2：单调有界定理单调有界数列一定有极限定义第七十页，共一百三十四页，2022年，8月28日(1)是单调增加数列，且，所以有(2)是单调减少数列，且，所以有例幻灯片1第七十一页，共一百三十四页，2022年，8月28日两个重要极限幻灯片1第七十二页，共一百三十四页，2022年，8月28日

AOB面积<扇形AOB面积<AOD面积证明：因为，所以当改变符号时，的值不变，故只讨论当的情形即可。作单位圆OxABDC设圆心角∠则第七十三页，共一百三十四页，2022年，8月28日所以即同除得即由于所以第七十四页，共一百三十四页，2022年，8月28日第七十五页，共一百三十四页，2022年，8月28日例第七十六页，共一百三十四页，2022年，8月28日第七十七页，共一百三十四页，2022年，8月28日第七十八页，共一百三十四页，2022年，8月28日第七十九页，共一百三十四页，2022年，8月28日幻灯片1第八十页，共一百三十四页，2022年，8月28日例第八十一页，共一百三十四页，2022年，8月28日第八十二页，共一百三十四页，2022年，8月28日第八十三页，共一百三十四页，2022年，8月28日第八十四页，共一百三十四页，2022年，8月28日例幻灯片1第八十五页，共一百三十四页，2022年，8月28日利用无穷小量等价代换求极限等价无穷小量代换只能用于乘除运算，对于加减项的无穷小量不能随意代换。

幻灯片1第八十六页，共一百三十四页，2022年，8月28日常用的等价无穷销量第八十七页，共一百三十四页，2022年，8月28日利用无穷小量等价代换法求极限例幻灯片89幻灯片90幻灯片91幻灯片92幻灯片93幻灯片94幻灯片87第八十八页，共一百三十四页，2022年，8月28日幻灯片87第八十九页，共一百三十四页，2022年，8月28日幻灯片87第九十页，共一百三十四页，2022年，8月28日幻灯片87第九十一页，共一百三十四页，2022年，8月28日幻灯片87第九十二页，共一百三十四页，2022年，8月28日幻灯片87第九十三页，共一百三十四页，2022年，8月28日幻灯片87第九十四页，共一百三十四页，2022年，8月28日函数的连续性幻灯片1第九十五页，共一百三十四页，2022年，8月28日函数的改变量（函数的增量）

0xy改变量：终值与初始值之差。第九十六页，共一百三十四页，2022年，8月28日设正方形边长为，若边长由变到时，面积改变了多少。例解：（1）若边长由2米变到2.05米时，（2）若边长由2米变到1.95米时，第九十七页，共一百三十四页，2022年，8月28日函数连续的概念第九十八页，共一百三十四页，2022年，8月28日定义1设函数y=f(x)在x0

点及其的某邻域内有定义，若则称函数y=f(x)在x0

处连续.第九十九页，共一百三十四页，2022年，8月28日定义2设函数y=f(x)在x0

点及其某邻域内有定义，则称函数y=f(x)在x0

点处连续。若第一百页，共一百三十四页，2022年，8月28日总结：第一百零一页，共一百三十四页，2022年，8月28日3.定义(1)如果函数在开区间上每一点处都连续，则称在区间上连续。在开区间上每一点处都连续，且有

则称在闭区间上连续。(2)如果函数第一百零二页，共一百三十四页，2022年，8月28日例证明函数在处连续。在处有定义，且又即

所以在处连续。证明：因为第一百零三页，共一百三十四页，2022年，8月28日例

证明函数y=sinx在其定义域内连续.证：任取x0(-

,

+

)，则因y=

f(x0

+

x)-

f(x0)=sin(x0

+

x)-sinx0这表明y=sinx在x0处连续，由于

x0的任意性可知它在定义域内连续.≤≤≤第一百零四页，共一百三十四页，2022年，8月28日解因为所以f(x)在x=0处连续.第一百零五页，共一百三十四页，2022年，8月28日例

证：因为即f(x)在x=0点处连续。第一百零六页，共一百三十四页，2022年，8月28日如果在点处连续，则即连续函数极限符号和函数符号可以交换。因为在处连续，所以注意第一百零七页，共一百三十四页，2022年，8月28日函数间断点及其分类间断点：使函数y=f(x)不连续的点称为y=f(x)的间断点。判断间断点的方法第一百零八页，共一百三十四页，2022年，8月28日讨论函数在处是否连续。例解：幻灯片113第一百零九页，共一百三十四页，2022年，8月28日

讨论函数在处的连续性。

例

因为故点不连续，也称函数的间断点。但所以在在1-10xy幻灯片112第一百一十页，共一百三十四页，2022年，8月28日讨论函数在处的连续性。例解：幻灯片112第一百一十一页，共一百三十四页，2022年，8月28日第一类间断点（可去间断点或跳跃间断点）

间断点的分类幻灯片111幻灯片110幻灯片114幻灯片115第一百一十二页，共一百三十四页，2022年，8月28日第二类间断点（若在点处至少有一侧是的第二类间断点）的极限值不存在，则称幻灯片109第一百一十三页，共一百三十四页，2022年，8月28日

例

证明x=0为函数的第一类间断点.

证:因为该函数在x=0处没有定义,所以x=0是它的间断点，又因为所以x=0为该函数的第一类间断点.yxO幻灯片112第一百一十四页，共一百三十四页，2022年，8月28日例

证明函数在x=0处是第一类间断点.因此x=0是该函数的第一类间断点

.也为可去间断点.证:即该函数在x=0处的左、右极限存在，但是由于1xyOp2p-p-2p幻灯片112第一百一十五页，共一百三十四页，2022年，8月28日因为，如果修改定义f(0)=1，所以，左、右极限存在且相等的间断点称为可去间断点.在x=0连续.则函数1xyOp2p-p-2p第一百一十六页，共一百三十四页，2022年，8月28日例

证明x=1是的第二类间断点.

证：所给函数在x=1处没有定义，因此x=1是它的间断点，又因为因此，x=1为所给函数的第二类间断点

．幻灯片113第一百一十七页，共一百三十四页，2022年，8月28日例

设讨论f(x)的连续性.解：当x0时，函数表达式为初等函数所以f(x)在x0处是连续的。因此f(x)在x=0处连续.故函数f(x)在(，)内是连续的.第一百一十八页，共一百三十四页，2022年，8月28日例解：第一百一十九页，共一百三十四页，2022年，8月28日连续函数的基本性质（2）基本初等函数在其定义域内都是连续的。（3）初等函数在其定义域上都是连续的。第一百二十页，共一百三十四页，2022年，8月28日故由极限的运算法则可得因此f(x)·

g(x)在x0处连续

.证：仅证明f(x)·

g(x)的情形.因为f(x)，g(x)在