积分与路径无关

积分与路径无关第一页，共四十六页，2022年，8月28日引例.计算，其中L为:(1)从点O(0，0)沿上半圆x2+y2=2x到点A(2，0)。从点O(0，0)沿折线y=1-|1-x|到点A(2，0)。(3)从点O(0，0)沿x轴到点A(2，0)。yxoBA12可以算得:注意：被积函数相同，起点和终点也相同，路径不同而积分结果相同!.第二类曲线积分与路径无关？第二页，共四十六页，2022年，8月28日第7.4节曲线积分与路径无关四、全微分方程一、曲线积分与路径无关的定义二、平面曲线积分与路径无关的条件三、求原函数第三页，共四十六页，2022年，8月28日一、曲线积分与路径无关的定义设D是平面开区域，函数P(x,y)、Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数.如果D内任意两个指定点A,B,以及在D内从点A到点B的任意两条有向曲线L1，L2,成立，则称曲线积分在D内与路径无关,问题：在什么条件下，第二类曲线积分与积分路径无关？恒有：第四页，共四十六页，2022年，8月28日定理1设D为平面内的单连通区域，函数P(x，y)，Q(x，y)在D上有连续的一阶偏导数，则下列四个命题等价，二平面曲线积分与路径无关的条件(1)沿D内任一闭曲线L，有(2)在D内与积分路径无关；(3)P(x，y)dx+Q(x，y)dy在D内是某一函数u(x，y)的全微分，(4)在D内每一点满足即du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy.第五页，共四十六页，2022年，8月28日1.选取为积分路径：求函数方法：（M0(x0,y0)为定点，M(x,y)为任意点,YX且积分与路径无关！）第六页，共四十六页，2022年，8月28日2.选取为积分路径：YX第七页，共四十六页，2022年，8月28日1、在D内与积分路径无关2、P(x，y)dx+Q(x，y)dy是D内某一函数u(x，y)的全微分，即du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy.由定理1知：（两个常用结论）设D为单连通区域，函数P(x，y)，Q(x，y)在D内有连续的一阶偏导数，（称u(x,y)为P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一个原函数）第八页，共四十六页，2022年，8月28日引例.计算，其中L为:(1)从点O(0，0)沿上半圆x2+y2=2x到点A(2，0)。从点O(0，0)沿折线y=1-|1-x|到点A(2，0)。(3)从点O(0，0)沿x轴到点A(2，0)。yxoBA12可以算得:所以该积分与路径无关第九页，共四十六页，2022年，8月28日例1计算：解：O12(2，1)由于在整个平面(单连通区域)上均成立，则此积分与路径无关，故可如图选取路径：

第十页，共四十六页，2022年，8月28日

例2：求，其中L:x2+xy+y2=1为逆时针方向

由在整个平面上均成立，解：在整个平面上与路径无关第十一页，共四十六页，2022年，8月28日总结:2.若L是未封闭的曲线，可选取简单的路径来计算积分.1.若L是封闭曲线，且则该积分在单连通区域D内与路径无关!计算(D为单连通区域，P,Q有连续偏导数)第十二页，共四十六页，2022年，8月28日注意:第二类曲线积分与路径无关的定理要求区域D是单连通的，且函数P(x，y)，Q(x，y)在D内有连续的一阶偏导数，否则结论未必成立。例如：所以在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关。OL即当L不包含原点时，（L为简单闭曲线，方向为逆时针，见P186,例3）第十三页，共四十六页，2022年，8月28日当L所围区域D含原点时，P、Q在（0，0）点无意义（如图）。LO（L方向为逆时针）第十四页，共四十六页，2022年，8月28日例3：求，其中L为从点(1，0)沿上半圆x2+y2=1到点(-1，0)。解：在整个平面上除原点外均成立，则OL则此积分在不含原点的单连通区域内与路径无关，故可选取新路径：第十五页，共四十六页，2022年，8月28日其中t从0到O第十六页，共四十六页，2022年，8月28日计算的方法：方法三:直接转化为定积分。方法二:格林公式。方法一:积分与路径无关。(平面上的第二类曲线积分)第十七页，共四十六页，2022年，8月28日三、求原函数若存在可微函数u(x,y),则称u(x,y)是P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一个原函数.使du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,由定理1知，若P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域D且P(x，y)dx+Q(x，y)dy是D内某一函数u(x，y)的全微分，即du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy.且积分与路径无关!）内存在连续的一阶偏导数，则（M0(x0,y0)为D内定点，M(x,y)为任意点,第十八页，共四十六页，2022年，8月28日1.选取为积分路径：求原函数的方法：（M0(x0,y0)为定点，M(x,y)为任意点,YX且积分与路径无关！）第十九页，共四十六页，2022年，8月28日2.选取为积分路径：YX第二十页，共四十六页，2022年，8月28日

例4验证在整个xOy面上是某一函数的全微分，并求出一个这样的函数。解：故在整个平面上是某函数u(x,y)的全微分；且O(x，0)(x，y)在整个平面上均成立第二十一页，共四十六页，2022年，8月28日判别：四、全微分方程若P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域D内存在连续的一阶偏导数，则第二十二页，共四十六页，2022年，8月28日求解全微分方程：故求解全微分方程(C为任意常数)亦即求P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数u(x,y)。与同解.的通解为:第二十三页，共四十六页，2022年，8月28日例5求解微分方程(2x-y2)dx-(2xy+1)dy=0。解：故(2x-y2)dx-(2y+1)dy=0是全微分方程；(如图取积分路径)O(x，0)(x，y)则方程的通解：第二十四页，共四十六页，2022年，8月28日1.判定方程是否为全微分方程3.写出通解u(x，y)=C；2.求P(x，y)dx+Q(x，y)dy的原函数u(x，y)；求解全微分方程的步骤：第二十五页，共四十六页，2022年，8月28日如xdy-ydx=0不是全微分方程，得(全微分方程!)而乘以注:有些非全微分方程可以转化为全微分方程.称为方程的一个积分因子.第二十六页，共四十六页，2022年，8月28日为全微分方程，则称函数为方程的积分因子。一般来讲，求积分因子的难度较大，在常微分方程中有详细的涉及。若一阶常微分方程：P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0不是全微分方程。但存在使方程第二十七页，共四十六页，2022年，8月28日练习：故在不包含y轴的区域内,该积分与路径无关解：第二十八页，共四十六页，2022年，8月28日第二十九页，共四十六页，2022年，8月28日第三十页，共四十六页，2022年，8月28日第三十一页，共四十六页，2022年，8月28日思考题:(单元检测题)第三十二页，共四十六页，2022年，8月28日例5：验证在右半平面(x>0)上是某一函数的全微分，并求出一个这样的函数。由于上式在整个平面上除原点外均成立，故在右半平面上是某一函数的全微分；解：且第三十三页，共四十六页，2022年，8月28日如图所示,取积分路径，O(x，0)(x，y)1第三十四页，共四十六页，2022年，8月28日例5设函数具有连续的导数，且，试确定使方程为全微分方程，并求其通解。解：要使方程为全微分方程，只需即：又，从而C=-2，代入原方程得全微分方程：(见P203例7)第三十五页，共四十六页，2022年，8月28日于是则方程的通解：O(x，0)(x，y)第三十六页，共四十六页，2022年，8月28日§7.5场论初步场向量场的通量与散度向量场的环流量与旋度第三十七页，共四十六页，2022年，8月28日当物理量为数量时,称之为数量场.、场若在空间区域V中每一个点,都对应着某个物理量的一个确定的值,则称V中确定了该物理量的一个场.当物理量为向量时,称之为向量场.(如温度场,密度场等)(如力场,流速场等)第三十八页，共四十六页，2022年，8月28日二.向量场的通量与散度:设空间区域V内有向量场S为空间区域V内有向光滑曲面,则称为向量场通过S流向指定一侧的通量.Gauss公式:即散度,第三十九页，共四十六页，2022年，8月28日三.向量场的环流量与旋度:设空间区域V内有向量场L为空间区域V内有向光滑封闭曲线,则称为向量场沿L的环流量.Stokes公式:可表示为：旋度,第四十页，共四十六页，2022年，8月28日填空题:(2001年考研一)第四十一页，共四十六页，2022年，8月28日第四十二页，共四十六页，2022年，8月28日xyzo解作辅助面S1：Z=0,作辅助面S2：S1S2取下侧；（为适当小的正数）:计算其中S为曲面