第九章 平面控制测量

第九章平面控制测量第一页，共七十七页，2022年，8月28日第一节控制测量概述在测量工作中，为了限制测量误差的积累，保证必要的测量精度，都要遵循“从整体到局部，由高级到低级，先控制后碎部”的原则。首先在全测区范围内选定若干个具有控制作用的点位，按一定的规律和要求组成网状几何图形，称之为控制网。对控制网进行布设、观测和计算，确定控制点的位置，这种测量工作称之为控制测量。控制测量分为平面控制测量和高程控制测量，平面控制测量确定控制点的平面位置（X、Y），高程控制测量确定控制点的高程（H）。第二页，共七十七页，2022年，8月28日控制测量的任务

在测绘各种大比例尺地形图时，要进行必要的图根控制测量；在工程建设施工阶段，要进行一定精度的施工控制测量；在工程竣工后的营运阶段，为进行各种变形观测而作的专用控制测量。由此可见，控制测量是进行其他各项测量工作的基础，它具有传递点位坐标并高精度控制全局的作用，具有限制测量误差的传播和积累的作用。第三页，共七十七页，2022年，8月28日控制测量的种类平面控制网的常规布设方法主要采用三角网、导线网、GPS网。三角网是把控制点按三角形的形式连接起来，测定三角形的所有内角及少量边，通过计算确定控制点间的相对平面位置。导线网是把控制点连成一系列折线，或构成相连接的多边形，测定各边的边长和相邻边的水平夹角，计算它们的相对平面位置。GPS网则是将控制点构成一定的几何图形，利用GPS接收机来测定控制点的平面位置。第四页，共七十七页，2022年，8月28日控制测量作业内容

技术设计、实地选点、标石埋设、观测和平差计算等主要步骤。在常规的高等级平面控制测量中，当某些方向受地形条件限制不能使相邻控制点直接通视时，就需要在控制点上建造觇标。采用GPS定位技术建立平面控制网，由于不要求相邻点之间通视，因此不需要建造觇标。第五页，共七十七页，2022年，8月28日布设控制网的要求

控制网中控制点坐标是由起算数据和观测数据经平差计算得到的。控制网中只有必要的一套起始数据，例如三角网中已知一个点的坐标、一条边长和一边的坐标方位角，这种控制网称为独立网。如果控制网中已知数据多于必要的起算数据，则这种控制网称为非独立网。控制网中的观测数据按控制网的种类不同而不同，有水平角或水平方向、边长、高差以及三角高程测量的竖直角或天顶距，外业观测工作完成后，应对观测成果进行整理和检核，保证观测成果满足限差要求，然后进行平差计算。对于高等级控制网需要进行严密平差计算，而低级的控制网可以采用近似平差计算。第六页，共七十七页，2022年，8月28日第二节导线测量外业工作和内业计算

一、导线测量的外业工作

导线测量是平面控制测量的方法之一，导线测量常用于城市建设的平面控制、地形测图的平面控制和工程建设的平面控制等方面。将相邻控制点用直线连接而构成的折线，称为导线。构成导线的控制点，称为导线点。导线测量就是依次测定各导线边的边长和各转折角；根据起算数据，推算各边的坐标方位角，从而求出各导线点的坐标。第七页，共七十七页，2022年，8月28日

用经纬仪测定各转折角，用钢尺测定其边长的导线，称为经纬仪导线，用光电测距仪测定边长的导线，则称为光电测距导线。导线测量是建立小地区平面控制网的主要方法，特别适用了地物分布比较复杂的城市建筑区，通视较困难的隐蔽地区、带状地区以及地下工程等控制点的测量。第八页，共七十七页，2022年，8月28日图根导线量距的技术要求：第九页，共七十七页，2022年，8月28日导线布设的形式

根据测区的地形及测区内控制点的分布情况，导线可以布设成单一导线（附合导线、闭合导线、支导线）、结点导线（单结点导线、多结点导线）和导线网等形式。第十页，共七十七页，2022年，8月28日附合导线如图所示，导线起始于一个已知控制点A，经过P1、P2、P3，而终止于另一个已知控制点B。附合导线两端可以有和一条或两条已知坐标方位角，也可以没有已知坐标方位角。因此，附合导线又可分为：双定向附合导线、单定向附合导线和无定向附合导线。附合导线的优点是具有检核观测成果的作用。第十一页，共七十七页，2022年，8月28日闭合导线如图所示，从一个已知控制点A出发，经过P1、P2、P3、P4、P5，最后又回到该已知点上，形成一个闭合多边形，在闭合导线中必须要有一个已知点坐标和一条已知边的坐标方位角。闭合导线的优点是图形本身有着严密的几何条件，具有检核作用。第十二页，共七十七页，2022年，8月28日支导线如图所示，从一个已知控制点出发，既不附合到另外一个已知控制点上，也不回到原来的起始点。由于支导线没有检核条件，故一般只限于地形测量的图根导线中采用，同时，边数一般不超过3条。第十三页，共七十七页，2022年，8月28日单结点导线

如图所示，从三个或多个已知控制点开始，几条导线汇合于一个结点，这种导线称之为单结点导线。第十四页，共七十七页，2022年，8月28日多结点导线网

如图所示，导线网中有两个以上（含两个）结点或有两个以上的闭合环，这种导线称为多结点导线或导线网。第十五页，共七十七页，2022年，8月28日导线测量的外业工作

导线测量的外业包括踏勘选点及建立标志、量距、测角等工作。在踏勘选点前，应调查收集已有的地形图和高等级控制点的成果资料，然后到现场踏勘，了解测区现状和寻找已知点，根据已知控制点的分布、测区地形条件和测图要求等具体情况，在测区原有的地形图上拟订导线的布设方案，最后到实地去踏勘，核对、修改、落实点位和建立标志。第十六页，共七十七页，2022年，8月28日布设选点时应注意下列事项：1）相邻导线点间应通视良好，地面较平坦，便于测角和量距。2）导线点应选在土质坚实、便于保存标志和安置仪器的地方。3）导线点应选在视野开阔处，以便施测周围地形。4）导线各边的长度应尽可能大致相等，其平均边长应符合测量规范的规定。5）导线点应有足够的密度，分布均匀合理，以便能够控制整个测区。第十七页，共七十七页，2022年，8月28日埋点导线点的位置选定后，一般可用临时性标志将点固定，即在每个点位上订下—个大木桩，桩顶订一小铁钉，周围浇筑混凝土。如果导线点需要长期保存，应埋设混凝土桩或石桩，桩顶刻上“十”字，以“十”字的交点作为点位的标志。导线点建立完后，应该统一编号。为便于寻找，应量出导线点与附近固定而明显的地物点的距离，绘一草图，注明尺寸，称为“点之记”。第十八页，共七十七页，2022年，8月28日导线点临时标志

第十九页，共七十七页，2022年，8月28日混凝土桩和点之记图9-7导线点混凝土桩

图9-8点之记第二十页，共七十七页，2022年，8月28日水平角观测

导线的转折角有左角和右角之分，位于前进方向左侧的水平角，称为左角，反之则为右角。对于附合导线，通常观测左角；对于闭合导线，应观测内角。观测方法一般使用测回法，观测结束后，对外业的成果要进行仔细的检查，检查手簿的记录、计算是否符合规范要求，其精度是否在规定的限差以内。为了使测区的导线点坐标与国家坐标系统相统一，布设的导线应与国家的高等级控制点进行连测。第二十一页，共七十七页，2022年，8月28日测角精度的评定

当多条导线测量完毕后，可以使用下式求出测角中误差，以评定测角的精度：

N为导线条数为每条导线的角度闭合差n+1为每条导线的角度个数第二十二页，共七十七页，2022年，8月28日量距工作：

导线边长可以用光电测距仪测定，也可以用检定过的钢尺按精密量距的方法进行丈量，并加尺长、温度和倾斜改正，对于较长的导线边还要进行归算至大地水准面和改正和归算至高斯投影面上的改正。第二十三页，共七十七页，2022年，8月28日归算至大地水准面的改正边长改正数的计算公式为：Hm为导线边的平均高程R为地球半径S′为导线边的边长第二十四页，共七十七页，2022年，8月28日化算至高斯投影面的改正边长改正数的计算公式为：y为导线边的中点离开高斯投影带轴子午线的距离R为地球半径S为球面上的边长第二十五页，共七十七页，2022年，8月28日二、导线测量内业计算

导线测量内业目的就是根据已知的起始数据和外业的观测成果计算出导线点的坐标。进行内业工作以前，要仔细检查所有外业成果有无遗漏、记错、算错，成果是否都符合精度要求，保证原始资料的准确性。第二十六页，共七十七页，2022年，8月28日坐标正算已知一个点的坐标及该点至未知点的距离和坐标方位角，计算未知点坐标，称为坐标正算。已知A（xA、yA）、SAB、，求B（xB、yB）。由图可知：

图9-9坐标正算第二十七页，共七十七页，2022年，8月28日坐标反算

已知两个点的坐标，反求两点之间的距离和坐标方位角，称为坐标反算。已知A（xA,yA），B（xB,yB），求、SAB。（第Ⅰ象限）（第Ⅱ、Ⅲ象限）（第Ⅳ象限）式中：的象限，可根据坐标增量△xAB、△yAB的符号确定。第二十八页，共七十七页，2022年，8月28日坐标方位角的推算

在进行坐标计算之前，必须要先推算出各边的坐标方位角，它是通过与已知坐标方位角的直线连测后，推算出导线其它各条边的坐标方位角。如图，已知直线12的坐标方位角α12，推算其它各边的坐标方位角，从图中可以看出：

第二十九页，共七十七页，2022年，8月28日坐标方位角的推算……第三十页，共七十七页，2022年，8月28日规律总结：由上面推导可以看出：（1）求直线的反坐标方位角时，将其正坐标方位角±180°，就得其反坐标方位角。当正方位角是第Ⅰ、Ⅱ象限时，正坐标方位角加180°得其反坐标方位角；当正方位角在第Ⅲ、Ⅳ象限时，正方位角减去180°得其反坐标方位角。（2）后一条直线的坐标方位角等于相邻的前一条直线的坐标方位角±180°后再加左折角或减右折角。第三十一页，共七十七页，2022年，8月28日三、导线测量的近似平差计算第三十二页，共七十七页，2022年，8月28日支导线的计算其计算步骤如下：1.由A、M两点的坐标，使用坐标反算公式计算出坐标方位角αAM。2.由αAM起始，并根据观测角β1、β2…推算出各边的坐标方位角。3.由各边的坐标方位角及边长，按正算公式计算出相邻两导线点的坐标增量。4.依次计算出P2、P3…各导线点的坐标。第三十三页，共七十七页，2022年，8月28日仅有一个连接角的附合导线的计算

这种导线的计算顺序与支导线相同，只是最后一点为已知点，所以就产生了一个坐标闭合差，即：

然后按边长成比例分配坐标闭合差。即：最后计算改正后的坐标增量为：方位角的推算、坐标增量与坐标的计算与支导线计算方法相同。

第三十四页，共七十七页，2022年，8月28日具有两个连接角的附合导线的计算

这种导线为标准的附合导线，它相对于一个连接角的附合导线来说，又多了一个坐标方位角闭合差，即：

在各观测角精度相同的情况下，将角度闭合差平均分配给各个角，即：推算坐标方位角时，βi(左角)前为正号时用：

推算坐标方位角时，βi(右角)前为负号时用：其它计算方法同一个连接角的导线相同。第三十五页，共七十七页，2022年，8月28日未测连接角的附合导线计算

由于这种导线的两端均未测连接角，无法直接从已知的坐标方位角推算出各边的坐标方位角。计算时先假定起始导线边AP2的坐标方位角，依此推算出各边的假定坐标方位角，然后按支导线的计算顺序求出各点的坐标。再利用已知点A、B的真实坐标和计算出的B′点假定坐标，计算出整个导线的旋转角，然后再将各边方位角改正过来。以上图（d）为例，其具体步骤如下：第三十六页，共七十七页，2022年，8月28日未测连接角的附合导线计算步骤（1）假定第一条导线边AP2的坐标方位角αAP2为某一值。（2）按支导线的计算方法，计算出各点的假定坐标。（3）用坐标反算公式计算出：和

并计算出导线的旋转角：（4）将各边的假定坐标方位角加以改正：（5）用改正后的坐标方位角再次计算出各点的坐标，并计算出整个路线的坐标闭合差：

（6）按导线边长成比例分配坐标闭合差，并计算出最后的各点坐标。第三十七页，共七十七页，2022年，8月28日闭合导线的计算

闭合导线的计算基本上可以看作是附合导线的特例，只是把B点看作与A点重合即可。其角度闭合差为：观测内角时：观测外角时：按角度的个数平均分配角度闭合差，其连接角不参与平差计算。坐标闭合差为：其它计算与附合导线相同。第三十八页，共七十七页，2022年，8月28日导线计算中闭合差的限差

导线测量的观测精度可以通过导线的闭合差反映出来，角度闭合差反映角度的观测质量，坐标闭合差反映距离的观测质量，在进行导线计算时，常对闭合差给以一个容许值，即限差。第三十九页，共七十七页，2022年，8月28日坐标方位角闭合差的限差

在不考虑已知坐标方位角误差的情况下，坐标方位角闭合差的大小只与导线的转折角有关：由误差传播定律并考虑各转折角的观测精度相等，则得：取2倍中误差作为容许误差，则：而算得的导线闭合差应满足：第四十页，共七十七页，2022年，8月28日导线全长闭合差与相对闭合差导线全长闭合差：全长相对闭合差：第四十一页，共七十七页，2022年，8月28日附合导线坐标计算实例第四十二页，共七十七页，2022年，8月28日计算步骤：（1）角度闭合差的计算因为：所以，角度观测值合格。

第四十三页，共七十七页，2022年，8月28日

按照公式：将闭合差按相反符号平均分配给各观测角，若有余数时，应遵循短边相邻角多分的原则，然后求出改正后的角值。检验：正确。改正后的观测角值用公式计算，具体数据见计算表。计算完改正后的角度值，再推导出各边的坐标方位角。第四十四页，共七十七页，2022年，8月28日（2）坐标增量闭合差的计算

先计算各观测边的坐标增量，再利用下式计算坐标增量闭合差：再计算全长闭合差和全长相对闭合差如果全长相对闭合差不超限，就认为合格，接着往下计算。第四十五页，共七十七页，2022年，8月28日坐标增量改正数的计算

调整的原则：将坐标增量闭合差反号按与边长成正比例分配到各边的纵、横坐标增量中去。分配完后进行检验，使得：第四十六页，共七十七页，2022年，8月28日（3）计算各点坐标

由起点的已知坐标及改正后的坐标增量，用下式可依次推算出其余各点坐标。检验：B点的计算坐标与已知坐标要一致。第四十七页，共七十七页，2022年，8月28日附合导线计算表第四十八页，共七十七页，2022年，8月28日闭合导线坐标计算第四十九页，共七十七页，2022年，8月28日计算步骤：（1）将整理并校核过的己知数据和观测数据填入导线计算表中，并绘制计算草图。（2）角度闭合差的计算和调整。根据公式得：

图根导线测量的方位角限差要求为：

因为：所以，角度观测值合格。第五十页，共七十七页，2022年，8月28日角度闭合差的调整：

按照公式：将闭合差按相反符号平均分配给各观测角，若有余数时，应遵循短边相邻角多分的原则，然后求出改正后的角值。检验：正确改正后的观测角值为：第五十一页，共七十七页，2022年，8月28日（3）推算各边坐标方位角根据公式由α12和改正后的角度值推算各边坐标方位角：为已知数据检核：第五十二页，共七十七页，2022年，8月28日（4）坐标增量的计算及其闭合差的调整

先求出各边的坐标增量。再由公式计算出坐标增量的闭合差。导线全长闭合差fD：

导线全长相对闭合差：

第五十三页，共七十七页，2022年，8月28日坐标闭合差的调整：

调整的原则是将闭合差反号按与边长成正比例分配到各边的纵、横坐标增量中。检核计算：

第五十四页，共七十七页，2022年，8月28日（5）计算各点坐标

由起点的已知坐标及改正后的坐标增量，用下式可依次推算出其余各点坐标。为了计算方便，导线计算一般都采用列表进行计算，本如下表所示：第五十五页，共七十七页，2022年，8月28日闭合导线计算表第五十六页，共七十七页，2022年，8月28日导线网的平差

单结点导线是一种最简单的导线网，如图所示，图中A、B、C为三已知点，AA′、BB′、CC′，为已知方向，M为结点。计算前先在M点至边数较多的一条路线上选一条结边，即MN。该结点导线的计算步聚如下：第五十七页，共七十七页，2022年，8月28日单结点的导线网计算步骤：（1）结边方位角和平差角计算1）结边方位角计算由图可知，该结点导线网是由三条导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组合而成。若由三条导线的起始方位角和观测角，分别推算出MN的方位角为：式[β]i为各导线的观测角之和，ni为转折角的个数第五十八页，共七十七页，2022年，8月28日三个结边方位角的权为：式中的c为任意常数

结边方位角的加权平均值为：

第五十九页，共七十七页，2022年，8月28日2）平差角计算现在可将作为MN边方位角的最或然值，推算各条导线的方位角闭合差fβ，即：将各条线路的方位角闭合差按反号平均配赋到各转折角中去，解得平差角,即可算得各导线边的坐标方位角，即：第六十页，共七十七页，2022年，8月28日（2）结点坐标和各点坐标之计算1）结点坐标计算按观测的导线边长和改正后的方位角，计算出各条边的坐标增量，并分别取和[△x]、[△y]。再由各起始点坐标分别推算结点M的坐标，即：

由于误差的影响，三坐标并不一致，因此，也要按加权平均的办法求出M点坐标的最或然值。按照导线的权与导线长度成反比的规律，就有：第六十一页，共七十七页，2022年，8月28日各段路线的观测权：结点M坐标的最或然值为：

第六十二页，共七十七页，2022年，8月28日2）各未知点坐标各导线的纵横坐标闭合差分别为：将坐标闭合差按边长成比例配赋到坐标增量中去，最后得出各所求点的坐标为：式中：Vxi、Vyi为坐标增量闭合差改正数

第六十三页，共七十七页，2022年，8月28日检查导线测量错误的方法

在单一导线的计算中，当角度闭合差或全长相对闭合差超过其容许值时，很可能是测角或量边发生了错误，也可能是计算过程的错误。测角错误将首先表现于角度闭合差的超限，边长错误或计算错误将表现于全长闭合差的超限。当发现闭合差超限时，应首先检查原始记录手簿及草图数据有无错误，然后检查计算过程有无错误，如均查不出错误，需到实地进行外业检查，从最可能发生错误的地方先查，有可能尽快发现错误，以节省人力或时间。第六十四页，共七十七页，2022年，8月28日角度闭合差超限，检查角度错误对双定向附合导线来说，分别从两端开始，计算两组坐标，两组坐标相对照，如果只有一个点的坐标极为接近，而其它点的坐标相差较大，则该点存在有测角错误。如果角度闭合差超过5°以上时，可用图解法检查其错误，对闭合导线来说，以顺时针和逆时针两方向进行对向计算与检查。第六十五页，共七十七页，2022年，8月28日第三节其它测量方法简述

交会法测量也是加密控制点常用的方法，它可以采用在数个已知控制点上设站，分别向待定点观测方向和距离，也可以在待定点上设站向数个已知控制点观测方向和距离，然后计算出待定点的坐标。常用的交会法测量有前方交会、侧方交会、后方交会、测边交会等。第六十六页，共七十七页，2022年，8月28日一、前方交会如右图所示，在三角形ABP中，A、B两点为已知点，其坐标为A（xA，yA）、B（xB，yB）。在A、B两点设站，观测A、B两水平角为α、β。通过解算三角形可以求P点的坐标（xp，yp）。若AP边的距离和方位角已知，就可用坐标正算的方法求出P（xp，yp），即：第六十七页，共七十七页，2022年，8月28日前方交会计算由图可知：按三角学正弦定理得：将αAP、SAP代入上式得：

第六十八页，共七十七页，2022年，8月28日前方交会计算---余切公式

同理可证：应用这个公式进行计算时，必须注意A、B、P三点的相互位置应与上图中的情形一致，即A、B、P是按逆时针依次编号的，同时还应保持α、β与相应已知点对应。

第六十九页，共七十七页，2022年，8月28日检核它是在三个已知点的A、B、C上观测了四个角α1、β1、α2、β2，分两组计算P点坐标。即先在△ABP中，由已知A、B的坐标（xA，yA）、（xB，yB）和α1、β1，按余切公式计算出P点的一组坐标（xp，yp）；再在△BCP中，由已知点B、C的坐标（xB，yB）、（xc，yc）和α2、β2，仍按余切公式计算出P点的另一组坐标（xp，yp）。当这两组坐标的较差在容许限差内时，则取它们的平均值作为P点的最后坐标，即：双前方交会图形第七十页，共七十七页，2022年，8月28日二、侧方交会分别在已知点B(或A)和未知点P上设站，测得<β(或<α)和<γ。在计算P点坐标时，先求出α角：<α=180°-(<β+<γ)，然后用前方交会的余切公式来计算P点坐标。为了检查观测角和已知点A、B的坐标是否有错，以及计算是否正确，侧方交会常采用检查角法检核，即根据已知点B、C的坐标和求得