第七章 相似矩阵及二次型

第七章相似矩阵及二次型第一页，共一百一十九页，2022年，8月28日定义1设有维向量令,则称为向量与的内积。

§7.1标准正交基第二页，共一百一十九页，2022年，8月28日内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有＝内积满足下列运算规律（其中为维向量，为实数）i

(ii)(ⅲ)

第三页，共一百一十九页，2022年，8月28日

利用向量的内积概念，我们可以定义维向量的长度.

定义2设是一个维实向量，令

,

称为维向量的长度（或范数）。向量的长度具有下述性质：1、非负性：当时，；当时，；第四页，共一百一十九页，2022年，8月28日2、齐次性：；3、三角不等式：。当时，称为单位向量。向量的内积满足，上式称为Schwarz(施瓦兹)不等式。由此可得（当是非零向量时），于是有下面的定义：当时称为维向量的夹角.第五页，共一百一十九页，2022年，8月28日当时，称向量与正交。显然，若，则与任何向量都正交。定义3如果向量组中任意两个向量都是正交，而且每个都不是零向量，那么这个向量组就称为正交向量组。下面证明关于正交向量组一个重要性质。定理1正交向量组一定是线性无关的。证明：设是一个正交向量组，如果第六页，共一百一十九页，2022年，8月28日那么以左乘上式两端，得

因，故，从而必有。类似可证。于是向量组线性无关。我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基。显然任意个两两正交的维非零向量都可以构成向量空间的一个正交基。第七页，共一百一十九页，2022年，8月28日例1已知3维向量空间中的两个向量正交，试求一个非零向量，使两两正交。解：记

应满足齐次线性方程组,由

第八页，共一百一十九页，2022年，8月28日得，从而有基础解系，取即可。

第九页，共一百一十九页，2022年，8月28日定义4设维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称是的一个正交规范基。例如，，，就是的一个正交规范基。第十页，共一百一十九页，2022年，8月28日

若是的一个正交规范基，那么中任一向量应能由线性表示，设表示式为为求其中的系数，可用左乘上式，有即 设是向量空间的一个基，要求的一个正交规范基。这也就是要找一组两两正交的单位向量，使与等价。这个问题称为把这个基正交规范化.我们有下面的定理：

第十一页，共一百一十九页，2022年，8月28日定理2设是一组线性无关的向量，那么，可以找到一组正交的向量，使得与等价。证明只要令第十二页，共一百一十九页，2022年，8月28日

这个证明过程给出了求与已知线性无关向量组等价的正交向量组的方法.通常称为Schimidt（施密特）正交化方法.如果再将所得的正交向量组单位化,即令

,就得到一组与等价的正交单位向量组 .第十三页，共一百一十九页，2022年，8月28日

例２设，，，试用Schimidt(施密特)正交化方法把这组向量正交规范化.

解取

;第十四页，共一百一十九页，2022年，8月28日 .再把它们单位化,取

,, .

即为所求．第十五页，共一百一十九页，2022年，8月28日例３已知,求一组非零向量,使两两正交.解应满足方程，即它的基础解系为，．第十六页，共一百一十九页，2022年，8月28日把基础解系正交化，即合所求．取 ．其中于是得

第十七页，共一百一十九页，2022年，8月28日定义５如果阶方阵满足

那么称为正交矩阵．

例如，实矩阵，和都是正交矩阵。

第十八页，共一百一十九页，2022年，8月28日

正交矩阵有以下一些性质：性质1．正交矩阵的行列式等于1或证明：设是正交矩阵，则两边取行列式得：于是，由此即得。第十九页，共一百一十九页，2022年，8月28日性质2．如果是正交矩阵，则.性质3．如果是正交矩阵，则也是正交矩阵。性质4.如果是同阶正交矩阵，则它们的乘积也是正交矩阵。这些性质都可以简单地验证。第二十页，共一百一十九页，2022年，8月28日设是一个阶正交矩阵，它的行向量为由式，我们易得的元素间的下述关系式这说明：阶方阵是正交矩阵的充分必要条件是它的个行向量恰好是两两正交的单位向量组，因而可以构成向量空间的一个正交规范基。类似地，的个列向量也构成向量空间的一个正交规范基.第二十一页，共一百一十九页，2022年，8月28日

例4已知正交单位向量， 。求使是正交单位向量组；求一个以为第1，2列的正交矩阵。解由于是线性无关的，所以可取两个向量 ， 使线性无关。

第二十二页，共一百一十九页，2022年，8月28日

将正交化得一个正交向量组： ， ，

第二十三页，共一百一十九页，2022年，8月28日再将这组向量单位化，即得到一个正交单位向两组： ，

第二十四页，共一百一十九页，2022年，8月28日

，其中向量即为所求。 （2）以的转置为列作一个矩阵：这个矩阵即为所求。第二十五页，共一百一十九页，2022年，8月28日这个例题表明：正交单位向量与在正交化和单位化的过程中都不会改变。这说明任意个维正交的单位向量都可以作为某个阶正交矩阵的个行（或列）.定义6若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。设为正交变换，则有

由于表示向量的长度，就表示正交变换保持向量的长度不变。第二十六页，共一百一十九页，2022年，8月28日§7.2实对称矩阵的对角化

设复空间中的向量，称为的共轭向量，其中表示的共轭复数。

定理4实对称矩阵的特征值为实数.

证明设复数为实对称矩阵的特征值,复向量为对应的特征向量,即.

第二十七页，共一百一十九页，2022年，8月28日

用表示的共轭复数,表示的共轭向量,则=.于是有及两式相减,得第二十八页，共一百一十九页，2022年，8月28日但因,所以故即，这说明是实数.

显然,当特征值为实数时,齐次线性方程组是实系数方程组，必有实的基础解系，所以对应的特征向量可以取实向量。第二十九页，共一百一十九页，2022年，8月28日

定理5设是一个实对称矩阵.那么属于的不同的特征值的特征向量是正交的．证明设分别是的属于不同特征值的实特征向量:,,.于是第三十页，共一百一十九页，2022年，8月28日而所以但是,所以,即与是正交的．第三十一页，共一百一十九页，2022年，8月28日

定理6设为阶对称矩阵,是的特征方程的重根,则方阵的秩

,从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量.

这个定理在这里不予证明.

第三十二页，共一百一十九页，2022年，8月28日

定理7设为阶对称矩阵,则必有正交阵,使,其中是以的个特征值为对角元素的对角阵.

证明设的互不相等的特征值为,它们的重数依次为.第三十三页，共一百一十九页，2022年，8月28日

根据定理6及定理7知,对应特征值

,恰有个线性无关的特征向量,把它们正交化并单位化,可得个单位正交的特征向量.由,知这样的特征向量共可得个.第三十四页，共一百一十九页，2022年，8月28日

根据定理5知对应于不同特征值的特征向量正交，故这个单位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成正交阵,并有其中对角阵的对角元素含个,个,个,恰是的个特征值。第三十五页，共一百一十九页，2022年，8月28日可按以下步骤求出具体的正交矩阵：1.求出特征多项式的全部根,即的特征值,设的全部不同的特征值为．2.对每个解齐次线性方程组3.找出一个基础解系第三十六页，共一百一十九页，2022年，8月28日4.将正交化，单位化，得到一组正交的单位向量．它们是的属于线性无关的特征向量．5.因为各不相同,向量组仍是正交的单位向量组．它们总共有个．以这一组向量为列向量，作一个矩阵，则就是所要求的正交矩阵．第三十七页，共一百一十九页，2022年，8月28日例10设求一个正交阵，使为对角阵．解第三十八页，共一百一十九页，2022年，8月28日故得特征值当时，由

第三十九页，共一百一十九页，2022年，8月28日基础解系为，单位化得

第四十页，共一百一十九页，2022年，8月28日

当时，由得基础解系第四十一页，共一百一十九页，2022年，8月28日

由于这两个向量正好正交，单位化即得两个正交的特征向量于是得正交阵第四十二页，共一百一十九页，2022年，8月28日可以验证知的确有第四十三页，共一百一十九页，2022年，8月28日例11设求正交矩阵，使为对角形．第四十四页，共一百一十九页，2022年，8月28日解首先求的特征值．因为所以的特征值为１（３重），５．第四十五页，共一百一十九页，2022年，8月28日当时，由求得一个基础解系：第四十六页，共一百一十九页，2022年，8月28日把它正交化，得第四十七页，共一百一十九页，2022年，8月28日再单位化，得第四十八页，共一百一十九页，2022年，8月28日当时，由基础解系为.再将单位化，得

第四十九页，共一百一十九页，2022年，8月28日（一定与正交），是的一组正交的单位特征向量。以它们为列，作一个矩阵第五十页，共一百一十九页，2022年，8月28日

是一个正交矩阵，而且有第五十一页，共一百一十九页，2022年，8月28日§7.3实二次型及其标准形

二次型的问题起源于化二次曲线和二次曲面为标准型的问题．在解析几何中，当坐标原点与中心重合时，有心二次曲线的一般方程是：

（7.6）为便于研究这个二次曲线的几何性质，可以用适当的坐标旋转变换第五十二页，共一百一十九页，2022年，8月28日把方程化为标准形第五十三页，共一百一十九页，2022年，8月28日式（7.6）左端是一个二次齐次多项式，从代数学的观点看,化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项。这样一个问题,不但在几何中常会遇到,而且在数学的其他分支以及物理，力学中也常会遇到。这一节里我们介绍二次齐次多项式的一些重要性质及其化简问题。第五十四页，共一百一十九页，2022年，8月28日定义8含有个变量的二次齐次函数

(7.7)称为二次型.

为方便起见，二次型常简记为.取,则第五十五页，共一百一十九页，2022年，8月28日于是(7.7)式可以写成

(５.8)第五十六页，共一百一十九页，2022年，8月28日

由(7.8)式,利用矩阵,二次型可表示为第五十七页，共一百一十九页，2022年，8月28日第五十八页，共一百一十九页，2022年，8月28日记则二次型可记为（7.10）其中为对称矩阵．

第五十九页，共一百一十九页，2022年，8月28日例12用矩阵表示二次型解由二次型的矩阵的元素与二次型的系数的关系，令第六十页，共一百一十九页，2022年，8月28日得任给一个二次型，就唯一地确定一个对称阵，反之，任给一个对称阵,也可唯一地确定一个二次型。这样,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。第六十一页，共一百一十九页，2022年，8月28日

因此,我们把对称阵叫做二次型的矩阵,也把叫做对称阵的二次型.对称阵的秩就叫做二次型的秩.

容易看出,二次型(7.8)的矩阵的对角线元素正好就是(7.8)中的系数；而正好就是的系数的一半。

第六十二页，共一百一十九页，2022年，8月28日

定义9设；是两组变量,则下面一组关系式

(7.9)称为由到的一个线性变换,简称线性变换.

第六十三页，共一百一十九页，2022年，8月28日如果系数矩阵是可逆的，就称线性变换(7.9)是可逆的．当是正交矩阵时，就称(7.9)是正交的。正交的线性变换简称正交变换．第六十四页，共一百一十九页，2022年，8月28日

由此看出,若已知二次型,我们可以容易地写出它对应的矩阵,反之,已知实对称矩阵,由可以容易地写出它对应的二次型.

记,把可逆变换(7.9)记作代入(7.8),有第六十五页，共一百一十九页，2022年，8月28日

对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换(7.9)使二次型(7.7)能简化为只含平方项,也就是用(7.9)代入(7.7)时,能使这种只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式).第六十六页，共一百一十九页，2022年，8月28日

当为复数时,称为复二次型,当为实数时,称为实二次型。这里，我们只讨论实二次项,所求的线性变换(7.9)也限于实系数范围.

在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此我们先把二次型用矩阵来表示。第六十七页，共一百一十九页，2022年，8月28日

定理10任给可逆矩阵,令,如果为对称阵,则也是对称阵,且证明为对称矩阵,于是有,从而即为对称阵。第六十八页，共一百一十九页，2022年，8月28日再证.

因,故因,故.于是.

这定理说明经可逆变换后,二次型的矩阵由变为,且二次型的秩不变.

第六十九页，共一百一十九页，2022年，8月28日

如果两个矩阵和满足=,其中是一个可逆矩阵,则称与是合同的.要使二次型经可逆变换变成标准型,就是要使第七十页，共一百一十九页，2022年，8月28日也就是要使成为对角阵.因此,我们的主要问题就是:对于对称矩阵,寻求可逆矩阵,使为对角阵;或者说是寻找与合同的对角阵.第七十一页，共一百一十九页，2022年，8月28日

定理11任给二次型,总存在正交变换,使化为标准形其中是的矩阵的特征值．

证明由第2节定理９知,任给一个实对称矩阵,总可以找到一个正交矩阵,使为对角矩阵第七十二页，共一百一十九页，2022年，8月28日因为是正交矩阵,所以,于是

=.

由于一个二次型经可逆线性变换后得到的仍是二次型,且当一个二次型的系数矩阵是对角矩阵时,这个二次型就是平方和的形式。

第七十三页，共一百一十九页，2022年，8月28日例13用正交变换化实二次型为标准形.解的矩阵为第七十四页，共一百一十九页，2022年，8月28日首先求一个正交矩阵,使为对角形.

先求的特征多项式：得的特征值是５（２重）和－４．第七十五页，共一百一十九页，2022年，8月28日

当时，由解得基础解系：

第七十六页，共一百一十九页，2022年，8月28日正交化后，得当时得到的等价的齐次线性方程组为第七十七页，共一百一十九页，2022年，8月28日得基础解系：单位化后得第七十八页，共一百一十九页，2022年，8月28日由组成正交矩阵则二次型经正交变换第七十九页，共一百一十九页，2022年，8月28日即化为标准形第八十页，共一百一十九页，2022年，8月28日例14设二次型通过正交变换可化为标准形式：求参数及所用的正交变换。第八十一页，共一百一十九页，2022年，8月28日解对应的矩阵为标准形对应的矩阵为第八十二页，共一百一十九页，2022年，8月28日设正交阵使得，两边取行列式得，即由，得。因为，所以有特征值第八十三页，共一百一十九页，2022年，8月28日

当时，由基础解系为，单位化得

第八十四页，共一百一十九页，2022年，8月28日

当时，由基础解系为，取；第八十五页，共一百一十九页，2022年，8月28日

当时，由基础解系为，单位化得；第八十六页，共一百一十九页，2022年，8月28日显然是两两正交的单位向量，以为列即得所求的正交矩阵

第八十七页，共一百一十九页，2022年，8月28日

用非退化的线性变换化二次型成标准形

二次型中最简单的一种是只包含平方项的形式,即平方和的形式

(5.11)在用正交变换化二次型成标准形时,标准形中各项的系数恰好是二次型的矩阵的特征值。除了可以用正交变换化二次型为标形外,也可以用多个可逆线性变换化二次型为标准形.这里介绍拉格朗日配方法.第八十八页，共一百一十九页，2022年，8月28日例15化二次型成标准形,并求出所用的可逆线性变换.解由于中含有变量平方项,故把含的项归并起来,配方可得第八十九页，共一百一十九页，2022年，8月28日上式右端除第一项外已不再含有,继续配方,可得第九十页，共一百一十九页，2022年，8月28日

令即这就把化成标准形,所用的变换矩阵为第九十一页，共一百一十九页，2022年，8月28日例１6化二次型为标准形.并写出所用的可逆变换。解作可逆线性变换:第九十二页，共一百一十九页，2022年，8月28日则

第九十三页，共一百一十九页，2022年，8月28日

再令即得也就是将化成了平方和.

第九十四页，共一百一十九页，2022年，8月28日

把上面所作的两个线性变换复合起来就得到总的线性变换：

=

第九十五页，共一百一十九页，2022年，8月28日所用的线性变换为一般地，任何二次型都可用上面两例的方法，找到可逆线性变换，把二次型化为标准形。由定理10知，标准形中含有的项数就是二次型的秩。应该注意的是，当所用的可逆线性变换不同时，得到的标准形可能不同。第九十六页，共一百一十九页，2022年，8月28日§7.4实二次型的规范形

一个二次型化为标准形时,由于所用的可逆线性变换不同,得到的标准形也可能不同.例如,二次型经可逆线性变换第九十七页，共一百一十九页，2022年，8月28日化为

;而经可逆线性变换化为

第九十八页，共一百一十九页，2022年，8月28日

这就是说,二次型的标准形不是唯一的,但是一个二次型化为标准形后,标准形中的项数是唯一的(这个项数就是二次型的秩).当限定二次型的系数为实数,且所用的可逆线性变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的,从而负系数的个数也是不变的.

第九十九页，共一百一十九页，2022年，8月28日

设是一个实系数二次型.经过一个非退化的线性变换,再适当排列变量的次序(这也可看成是作可逆线性变换),可使变成标准形第一百页，共一百一十九页，2022年，8月28日其中,是的秩.因为实数可以开平方,而且其平方根不等于０,所以可再作一次可逆线性变换第一百零一页，共一百一十九页，2022年，8月28日前面的标准形又变成这个式子称为二次型的规范形.显然,规范形由两个数决定.

第一百零二页，共一百一十九页，2022年，8月28日

定理12设有实二次型,它的秩为,有两个实的可逆变换使

及

第一百零三页，共一百一十九页，2022年，8月28日则中正数的个数与中正数的个数相等.

这个定理通常称为惯性定理.在此不予证明。推论任何一个实系数的二次型都可以通过的可逆的线性变换变成规范形.

第一百零四页，共一百一十九页，2022年，8月28日

定义10在实系数二次型的规范形中,正平方项的个数称为的正惯性指数；负平方项的个数称为的负惯性指数;它们的差称为的符号差.第一百零五页，共一百一十九页，2022年，8月28日§7.5正定二次型与正定矩阵

定义11设有实二次型,如果对任何,都有,则称为正定二次型